衡陽縣二中2023-2024年上期高一期中考試數(shù)學第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.不等式恒成立的一個充分不必要條件可以為（）．A． B．C． D．2.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（）A．， B．，C．， D．，3.設(shè)函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列說法一定正確的有（）①；②；③；④A.個 B.個 C.個 D.個4.已知正數(shù)，滿足，且恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.5.下列對應(yīng)是從集合到集合的函數(shù)的是（）A．B．C．是三角形，是圓，每一個三角形對應(yīng)它的內(nèi)切圓D．是圓，是三角形，每一個圓對應(yīng)它的外切三角形6.已知是定義在上的偶函數(shù)，則以下函數(shù)中圖象一定關(guān)于點成中心對稱的是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)（且），對任意，，當時總有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值的范圍是（）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合為，則下列判斷錯誤的是（）A． B． C． D．10.下列說法正確的是（）A．很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合B．集合與集合是同一個集合C．由這些數(shù)組成的集合有個元素D．集合是指第二或第四象限內(nèi)的點集11.下列說法正確的序號是（）A．偶函數(shù)的定義域為，則B．設(shè)，若，則實數(shù)的值為或C．奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且最大值為，最小值為，則D．若集合中至多有一個元素，則12.設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者.說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.當時，有C.當時，D.當時，第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.己知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍.14.若正實數(shù)，滿足，則的最小值為_______．15.已知命題；命題，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為__________．16.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有且僅有個不等實數(shù)根，則的取值范圍是______.四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，設(shè)命題，命題，已知命題是命題的充分不必要條件，求實數(shù)的取值圍.18.已知正實數(shù)滿足.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.設(shè)函數(shù).（1）當時，若對于，有恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若對于一切實數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.20.已知定義域為實數(shù)集的函數(shù)（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明.（2）若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.21.為減少人員聚集，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式上班.分析顯示，當中有的成員自駕時，自駕群體的人均上班路上時間為：，(單位：分鐘)而公交群體中的人均上班路上時間不受的影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回家下列問題：（1）當取何值時，自駕群體的人均上班路上時間等于公交群體的人均上班路上時間？（2）已知上班族的人均上班時間計算公式為：，討論的單調(diào)性，并說明實際意義.(注：人均上班路上時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.)22.若不恒為零的函數(shù)對任意，恒有．（1）指出的奇偶性，并給予證明；（2）若時，，證明在上單調(diào)遞減；（3）在（2）的條件下，若對任意實數(shù)，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案及解析1.答案：D解析：，解得，故不等式恒成立的一個充分不必要條件可以為．故選：D.2.答案：B解析：A.的定義域為，的定義域為，故不是同一函數(shù)；B.與定義域都為，且解析式相同，故是同一函數(shù)；C.的定義域為，的定義域為，故不是同一函數(shù)；D.與解析式不同，故不是同一函數(shù)；故選：B.3.答案：B解析：由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點對稱，所以，所以②正確；令，則，又由是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，則有，令，則，所以③正確.在中，將用替換，則，在中，將用替換，則，所以，再將用替換，則，所以，所以①正確；對于④中，由，無法推出其一定相等.故選：B.4.答案：B解析：因為正數(shù)滿足，所以.因為，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為.若恒成立，則的最大值為.故選：B.5.答案：A解析：【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐個分析可得答案.【詳解】對于選項，符合函數(shù)的定義，故正確；對于選項，集合的元素在集合中沒有元素與之對應(yīng)，故不正確；對于選項，因為集合不是數(shù)集，故正確；對于選項，因為集合不是數(shù)集，故不正確.故選：A.6.答案：B解析：是奇函數(shù)，關(guān)于點對稱，函數(shù)圖象左移個單位，可關(guān)于點對稱.故選：B.7.答案：A解析：【分析】由題意，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，列出不等式組，解出即可．【詳解】∵對任意，，當時總有，∴函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，∴，解得：．故選：A．8.答案：A解析：【分析】分別討論、、和情況下，單調(diào)性及的正負，綜合分析，即可得答案.【詳解】當時，在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，符合題意，當時，無單調(diào)性，不符合題意，當時，在上單調(diào)遞減，且，不符合題意，當時，在上單調(diào)遞減，，符合題意，還需，解得，綜上實數(shù)的取值的范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.答案：A、B解析：當都大于零時，；當中一個大于零，另一個小于零時，；當都小于零時，．根據(jù)元素與集合的關(guān)系，可知，，，．故選：AB．10.答案：C、D解析：A選項：很小的實數(shù)標準不確定，故不能構(gòu)成集合；B選項：其中第一個集合是數(shù)集，第二個集合是點集，故不是同一集合．C選項：因為，故這些數(shù)組成的集合有個元素．D選項：因為，故點是第二或第四象限內(nèi)的點．綜上，CD正確．故選：CD.11.答案：A、C解析：A：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以它的定義域關(guān)于原點對稱，有，故A正確；B：，由得，當時，；當時，；當時，；所以的取值為，故B錯誤；C：由為奇函數(shù)，，得，所以，故C正確；D：由A中至多有一個元素，得當時，，符合題意；當時，，所以的取值為或，故D錯誤.故選：AC.12.答案：A、B、C解析：在同一坐標系中畫出的圖象（如圖所示），故的圖象為圖中粗線所示．的圖象關(guān)于軸對稱，故為偶函數(shù)，故A正確；當時，，；當時，，；當時，，；當時，，此時有，故B成立．從圖象上看，當時，有成立，令，則，故，故C成立．取，則，，，故D不成立．故選：ABC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.答案：解析：首先解出集合,若滿足，則當時，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當時，恒成立，即，當時恒成立，即，，而是增函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值，且當時，恒成立，，解得：綜上：.14.答案：解析：由，得，因為，為正實數(shù)，所以，所以，當且僅當，即時，取等號（此時），所以的最小值為，故答案為：.15.答案：【分析】解一元二次不等式求命題的解集，解一元一次方程求命題的解集，再由是的充分不必要條件列不等式組，求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，命題為，命題為，若是的充分不必要條件，必有，解得．故答案為：.16.答案：因為，作出其圖象如下：

因為關(guān)于的方程有且僅有個不等實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，由圖象可知，當時，顯然不滿足題意；當時，因為，，橫坐標為對應(yīng)的空心點的坐標為.由圖象可得，當直線過點時，直線與函數(shù)的圖象有五個不同的交點，此時；當直線過點時，直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，此時；因此，為使直線與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，只需.故答案為：.四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.答案：【分析】（1）由時，求得，得到，再結(jié)合集合的交集運算，即可求解；（2）當時，得到，根據(jù)命題是命題的充分不必要條件，得到，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）當時，，可得，又由，所以.（2）當時，可得.因為命題是命題的充分不必要條件，則，可得，等號不能同時成立，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.18.解析：（1），所以，解得，當且僅當取等號，∴的最大值為.（2），當且僅當，取等號，∴，解得.即的取值范圍是.19.答案：【分析】（1）據(jù)題意知，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大致，即可求解.（2）由題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，進而利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）據(jù)題意知，對于，有恒成立，即恒成立，因此，設(shè)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，，∴（2）由對于一切實數(shù)恒成立，可得，且，由存在，使得成立可得，∴，∴，，當且僅當時等號成立，∴.20.答案：【分析】（1），進而判斷函數(shù)為減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.【詳解】（1），因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以可判斷函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：設(shè)且，則，因為且，所以，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以等價于，即由于恒成立，所以實數(shù)的取值范圍為21.答案：解析：（1）依題意得：①當時，，不符，②當時，，若公交群體的人均上班時間等于自駕群體的人均上班時間，則，解得或，即當或時自駕群體的人均上班時間等于公交群體的人均上班時間.（2）①當時，，②當時，即，∵當時，單調(diào)遞減，則，當時，，在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，∴當時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增.說明該地上班族中有小于的人自駕時，人均上班時間遞減；當大于的人自駕時，人均上班時間遞增；當自駕人數(shù)等于時，人均上班時間最少.22.答案：【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性找出自變量之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）為奇函數(shù)；證明：由題意知：的定義域為關(guān)