專題30機械能守恒定律1.機械能守恒的三種表達式對比守恒角度轉化角度轉移角度表達式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA增=ΔEB減物理意義系統(tǒng)初狀態(tài)機械能的總和與末狀態(tài)機械能的總和相等表示系統(tǒng)(或物體)機械能守恒時,系統(tǒng)減少(或增加)的重力勢能等于系統(tǒng)增加(或減少)的動能若系統(tǒng)由A、B兩部分組成,則A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等最適合的研究對象單個物體一個或多個物體兩個物體選用技巧在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點,轉化觀點不用選取參考平面2.求解單個物體機械能守恒問題的基本思路(1)選取研究對象——物體。(2)根據(jù)研究對象所經歷的物理過程,進行受力、做功分析,判斷機械能是否守恒。(3)恰當?shù)剡x取參考平面,確定研究對象在初、末狀態(tài)時的機械能。(4)選取合適的機械能守恒定律的方程形式(Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp)進行求解。3.連接體系統(tǒng)幾種實際情景的分析(1)輕繩模型三點提醒:①分清兩物體是速度大小相等,還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。③對于單個物體,一般繩上的力要做功,機械能不守恒;但對于繩連接的系統(tǒng),機械能則可能守恒。(2)輕桿模型三大特點:①平動時兩物體線速度相等,轉動時兩物體角速度相等。②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒。③對于桿和球組成的系統(tǒng),忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功,則系統(tǒng)機械能守恒。(3)輕彈簧模型四點注意:①含彈簧的物體系統(tǒng)在只有彈簧彈力和重力做功時,物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能之間相互轉化,物體和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒,而單個物體和彈簧機械能都不守恒。②含彈簧的物體系統(tǒng)機械能守恒問題,符合一般的運動學解題規(guī)律,同時還要注意彈簧彈力和彈性勢能的特點。③彈簧彈力做的功等于彈簧彈性勢能的改變量,而彈簧彈力做功與路徑無關,只取決于初、末狀態(tài)彈簧形變量的大小。④由兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng),當彈簧形變量最大時,彈簧兩端連接的物體具有相同的速度;彈簧處于自然長度時,彈簧彈性勢能最小(為零)。4.解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的注意點(1)對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中,系統(tǒng)的機械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。(3)列機械能守恒方程時,一般選用ΔEk=-ΔEp或ΔEA增=ΔEB減的形式?！镜淅?】[機械能守恒的判斷]（多選）一物塊在高3.0?m、長5.0?m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10?m/s2。則

(

)A.物塊下滑過程中機械能不守恒

B.物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5

C.物塊下滑時加速度的大小為6.0?m/s2

D.當物塊下滑2.0?m【答案】AB【解析】AB:由圖象Ⅰ可知，物塊開始靜止時，其重力勢能為Ep=mg?=30J①斜面長為5m，高為3m，則可知斜面傾角為37°，對物塊在斜面上運動沿斜面方向受力分析可知：F合=mgsin37°?μmgcos37°=ma②由圖可知Ⅱ圖線的斜率為2，由動能定理：ΔEk=F合s可知，物體在該過程中合外力：F合=2N，帶入②可知μ=0.5，且存在摩擦力故物塊運動過程機械能不守恒，故AB正確。C:F合=ma故物塊加速度為：a=2m/【典例2】[單個物體機械能守恒]如圖所示，豎直平面內有一半徑為R=0.50?m的光滑圓弧槽BCD，B點與圓心O等高，水平面DQ與圓弧槽相接于D點，一質量為m=0.10?kg的小球從B點的正上方H=0.95?m高處的A點自由下落，由B點進入圓弧槽軌道，從D點飛出后落在水平面上的Q點，DQ間的距離x=2.4?m，球從D點飛出后的運動過程中相對水平面上升的最大高度?=0.80?m，取g=10?m/s2，不計空氣阻力，求：

(1)小球經過C點時軌道對它的支持力大小FN；

(2)小球經過P點時的速度大小vP；

(3)D點與圓心O的高度差?【解析】(1)設小球經過C點時的速度為v1，由機械能守恒定律有由牛頓第二定律有FN?mg=mv1(2)從P到Q小球做平拋運動豎直方向有?=12g代入數(shù)據(jù)解得vP(3)小球從開始運動到P點的過程中，機械能守恒，取DQ水平面為零勢能面，則1代入數(shù)據(jù)解得?OD【典例3】[細繩連接體的機械能守恒]如圖所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d。現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處)，下列說法正確的是(??)A.環(huán)減少的機械能大于重物增加的機械能

B.小環(huán)到達B處時，重物上升的高度也為d

C.環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比為22

D.環(huán)在B處的速度為【答案】D【解析】A.由于小環(huán)和重物系統(tǒng)機械能守恒，故重物機械能的增加量等于環(huán)機械能的減小量，故A錯誤；

B..結合幾何關系，重物上升的高度：，故B錯誤。C.兩個物體沿著繩子方向的分速度，故：v環(huán)cos45°=v重，故環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比為2:1，故C錯誤；D.小環(huán)和重物系統(tǒng)機械能守恒，故：mgd=12mv環(huán)【典例4】[桿連接體的機械能守恒]（多選）如圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的四分之一圓弧軌道BC，與豎直軌道AB和水平軌道CD相切，軌道均光滑?，F(xiàn)有長也為R的輕桿，兩端固定質量均為m的相同小球a、b(可視為質點)，用某裝置控制住小球a，使輕桿豎直且小球b與B點等高，然后由靜止釋放，桿將沿軌道下滑。設小球始終與軌道接觸，重力加速度為g。則(????)A.下滑過程中a球機械能增大

B.下滑過程中b球機械能守恒

C.小球a滑過C點后，a球速度為3gR

D.從釋放至a球到滑過C點的過程中，輕桿對b球做正功為1【答案】CD【解析】AB.下滑的過程中，若以兩球為整體，則系統(tǒng)機械能守恒。若分開研究分析，則桿對a球做負功，a球機械能減小，桿對b球做正功，則b球機械能增加，故AB錯誤；C.以兩球為系統(tǒng)進行研究，由機械能守恒得mgR+mg2R=12?2m?v2，解得v=3gR，故C正確；D.對b球分析，其機械能的變化量為，由功能關系可知，輕桿對b球做正功為12【典例5】[彈簧類機械能守恒]（多選）如圖所示，豎直固定的光滑直桿上套有一個質量為m的小球，初始時靜置于a點．一原長為l的輕質彈簧左端固定在O點，右端與小球相連．直桿上還有b、c、d三點，且b與O在同一水平線上，Ob=l，Oa、Oc與Ob夾角均為37°，Od與Ob夾角為53°.現(xiàn)釋放小球，小球從a點開始下滑，達到d點時速度為0，在此過程中彈簧始終處于彈性限度內，則下列說法正確的是(重力加速度為g，sin37°=0.6)(????)A.小球在b點時加速度為g，速度最大

B.小球從a點下滑到c點的過程中，加速度為g的位置有兩個

C.小球在c點的速度大小為3gl

D.小球從c點下滑到d點的過程中，彈簧的彈性勢能增加了25【答案】CD【解析】A.從a到b，彈簧對滑塊由沿彈簧向下的拉力，滑塊的速度不斷增大；從b到c，彈簧對滑塊有沿彈簧向上的拉力，開始時拉力沿桿向上的分力小于滑塊的重力，滑塊仍在加速，所以滑塊在b點時速度不是最大，此時合力為mg，則加速度為g，故A錯誤。B.從a下滑到c的過程中，只有b點豎直方向合力為mg，加速度為g，故B錯誤。C.小球從a點下滑到c點的過程中，由小球和彈簧的系統(tǒng)機械能守恒得：mg?2ltan37°=12mvc2，可得滑塊在c點的速度大小為：vc=3gl，故C正確。D.【典例6】[鏈條下滑的機械能守恒]如圖，手持質量為m、長為L的勻質鐵鏈AB靜止于光滑的水平桌面上，鐵鏈的L3懸于桌面外。現(xiàn)釋放鐵鏈至A端恰好離開桌面，此時B端還未落地(????)A.鐵鏈重力勢能的減少量為49mgL

B.鐵鏈重力勢能的減少量29mgL

C.鐵鏈此時速度為5【答案】A【解析】AB、取桌面為零勢能面，整個軟繩的質量為m，重力勢能減小量為：△Ep=?13mg?13L?12?(?mg?0.5L)=49【點對點01】如圖，在地面上以初速度v0拋出質量為m的物體，拋出后物體落在比地面低h的海平面上，重力加速度為g，若以地面為參考平面，且不計空氣阻力，則(

)A.物體在海平面上的重力勢能為mgh

B.重力對物體做的功為?mg?

C.物體在海平面上的動能為12mv0【答案】C【解析】A.以地面為參考平面，海平面低于地面的高度為h，所以物體在海平面上時的重力勢能為?mg?，故A錯誤；B.重力做功與路徑無關，與初、末位置的高度差有關，拋出點與海平面的高度差為h，并且重力做正功，所以整個過程重力對物體做功為mgh，故B錯誤；C.由動能定理得mg?=Ek2?12mv02，則物體在海平面上的動能為Ek2=1【點對點02】將某一物體由地面開始豎直上拋，不計空氣阻力，物體能夠達到的最大距地高度為H。選取地面為參考平面，當物體在上升過程中通過某一位置時，它的動能恰好等于其重力勢能的一半，則這一位置的距地高度為A.H2 B.2H3 C.3H4【答案】B【解析】物體總的機械能為mgH，當高度為h時，動能是重力勢能的一半，即動能EK=12mg?，

由機械能守恒定律可得：12mg?+mg?=mgH，則?=2【點對點03】如圖所示，有一條長為1?m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中，當鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10?m/s2A.2.5?m/s B.552

m/s C.5m/s D.【答案】A【解析】由機械能守恒定律得：12mg·L2+12mg·【點對點04】（多選）如圖所示，水平光滑長桿上套有小物塊A，細線跨過位于O點的輕質光滑定滑輪，一端連接A，另一端懸掛小物塊B，物塊A、B質量相等．C為O點正下方桿上的點，滑輪到桿的距離OC=?，重力加速度為g.開始時A位于P點，PO與水平方向的夾角為30°，現(xiàn)將A、B由靜止釋放，下列說法正確的是(????)A.物塊A由P點出發(fā)第一次到達C點過程中，速度先增大后減小

B.物塊A經過C點時的速度大小為2g?

C.物塊A在桿上長為23?的范圍內做往復運動

D.在物塊A由P點出發(fā)第一次到達C點過程中，物塊B克服細線拉力做的功小于B【答案】BC【解析】A、物塊A由P點出發(fā)第一次到達C點過程中，繩子拉力對A做正功，其余的力不做功，所以物體A的動能不斷增大，速度不斷增大，故A錯誤。B、物塊A到C點時物塊B的速度為零。設物塊A經過C點時的速度大小為v。根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得：mg(?sin30°??)=12mv2，得v=2g?，故B正確。C、由幾何知識可得AC?=?tan30°=3?，由于A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，由對稱性可得物塊A在桿上長為23?的范圍內做往復運動。故C正確?！军c對點05】（多選）如圖所示，兩小滑塊P、Q的質量分別為2m、m，P、Q用長為L的輕桿通過鉸鏈連接，P套在固定的豎直光滑桿上，Q放在光滑水平地面上，原長為L2的輕彈簧水平放置，右端與Q相連，左端固定在豎直桿O點上，輕桿與豎直方向夾角α=30°.P由靜止釋放，下降到最低點時α變?yōu)?0°，整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則PA.P、Q組成的系統(tǒng)機械能守恒

B.下降過程中P的速度始終比Q的速度大

C.彈簧彈性勢能最大值為(3?1)mgL

D.P達到最大動能時，Q受到地面的支持力大小為【答案】CD【解析】A.對于P、Q組成的系統(tǒng)，由于彈簧對Q要做功，所以系統(tǒng)的機械能不守恒。但對P、Q、彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力或彈簧彈力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，故A錯誤；B.根據(jù)P、Q沿輕桿方向的分速度相等得vPcosα=vQcos(90°?α)，僅當α=45°時，可得vP=vQ，故B錯誤；C.當P運動到最低點時，速度為0，Q的速度也為0，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒可得：EP=2mgL(cos30°?cos60°)，彈性勢能的最大值為EP=(3?1)mgL，故C正確；D.P下降過程中動能達到最大前，P加速下降，對【點對點06】（多選）如圖所示，在傾角θ=30°的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為1?kg和2?kg的可視為質點的小球A和B，兩球之間用一根長L=0.2?m的輕桿相連，小球B距水平面的高度?=0.1?m.兩球從靜止開始下滑到光滑水平地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10?m/s2.則下列說法中正確的是A.下滑的整個過程中A球機械能守恒

B.下滑的整個過程中兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒

C.兩球在光滑水平面上運動時的速度大小為2?m/s

D.系統(tǒng)下滑的整個過程中B球機械能的增加量為2【答案】BD【解析】AB.在下滑的整個過程中，只有重力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機械能守恒，但在B在水平面滑行，而A在斜面滑行時，桿的彈力對A做功，所以A球機械能不守恒。故A錯誤，B正確。C.根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒得：mAg(?+Lsin30°)+mBg?=12(mA+mB)v2代入解得：【點對點07】（多選）如圖所示，一質量為m的小球固定于輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定O點處。將小球拉至A處時，彈簧恰好無形變，由靜止釋放小球，它運動到O點正下方B點速度為v，已知AB間的豎直高度差為h，重力加速度為g，不計空氣阻力，則(

)A.由A到B過程合力對小球做的功等于mgh

B.小球到達