第三章應(yīng)力和應(yīng)變§3.1應(yīng)力分析§3.2應(yīng)變分析塑性力學(xué)3§3.1應(yīng)力分析

一、應(yīng)力張量及其分解(1)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：塑性力學(xué)3(2)應(yīng)力張量一點(diǎn)

的應(yīng)力狀態(tài)可由九個(gè)應(yīng)力分量來(lái)描述，這些分量構(gòu)成一個(gè)二階對(duì)稱張量，稱為應(yīng)力張量。上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法定義：寫法：采用張量下標(biāo)記號(hào)的應(yīng)力寫法把坐標(biāo)軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡(jiǎn)記為xj(j=1,2,3),塑性力學(xué)3(3)斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標(biāo)系中，考慮一個(gè)法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個(gè)面上的應(yīng)力向量SN的三個(gè)分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系采用張量下標(biāo)記號(hào)，可簡(jiǎn)寫成說(shuō)明：i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3；塑性力學(xué)3(4)應(yīng)力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應(yīng)力—應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會(huì)屈服、不會(huì)產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應(yīng)力：塑性力學(xué)33.應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號(hào)表示：其中：或塑性力學(xué)3應(yīng)力球張量——單位球張量——應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力而沒(méi)有剪應(yīng)力的狀態(tài)。應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量——與單元體的體積變形有關(guān)塑性力學(xué)3說(shuō)明：材料進(jìn)入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。塑性力學(xué)3二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量（1）主應(yīng)力1.一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力；（2）應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為代入（3-3）式塑性力學(xué)3應(yīng)有或即將這個(gè)行列式展開得到其中塑性力學(xué)32.應(yīng)力張量的不變量當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時(shí),應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù)的值與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個(gè)不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力當(dāng)用主應(yīng)力來(lái)表示不變量時(shí)塑性力學(xué)3應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：應(yīng)力偏張量也有三個(gè)不變量：

塑性力學(xué)3其中應(yīng)力偏張量的第二不變量今后用得最多。再介紹它的其他幾個(gè)表達(dá)式：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點(diǎn)：不管的分量多么大，只要有一個(gè)主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說(shuō)明：塑性力學(xué)3三、等斜面上的應(yīng)力等斜面：通過(guò)某點(diǎn)做平面，該平面的法線與三個(gè)應(yīng)力主軸夾角相等八面體面：滿足（3-20）式的面共有八個(gè)，構(gòu)成一個(gè)八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應(yīng)力向量用F8表示，則按（3-3）式有設(shè)在這一點(diǎn)取坐標(biāo)軸與三個(gè)應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個(gè)方向余弦為塑性力學(xué)3八面體面素上的正應(yīng)力為八面體面素上的剪應(yīng)力為說(shuō)明：八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個(gè)分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說(shuō)與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。塑性力學(xué)3四、等效應(yīng)力1.定義：如果假定相等的兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對(duì)一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強(qiáng)度或等效應(yīng)力注意：這里的“強(qiáng)度”或“等效”都是在意義下衡量的2.等效應(yīng)力的特點(diǎn)與空間坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)；各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個(gè)靜水應(yīng)力狀態(tài)）時(shí)數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)；

全反號(hào)時(shí)的數(shù)值不變。塑性力學(xué)33.空間空間指的是以的九個(gè)分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系到（3-17）式，不難看出代表空間的中的廣義距離4.等效剪應(yīng)力聯(lián)系到（3-19）式，可知或也可以定義,剪應(yīng)力強(qiáng)度或等效剪應(yīng)力:塑性力學(xué)35.八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系為：

說(shuō)明：這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對(duì)不同應(yīng)力狀態(tài)的“強(qiáng)度”作出定量的描述和比較。塑性力學(xué)3五、三向Mohr圓和Lode應(yīng)力參數(shù)在平面上三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個(gè)Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為主剪應(yīng)力——最大剪應(yīng)力1.三向Mohr圓塑性力學(xué)32.Lode應(yīng)力參數(shù)[分析]由圖3-4可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一個(gè)靜水壓力，其效果僅使三個(gè)Mohr圓一起沿軸平移一個(gè)距離，該距離等于所疊加的靜水應(yīng)力，并不改變Mohr圓的大小。[結(jié)論]

軸的位置與屈服及塑性變形無(wú)關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。塑性力學(xué)3若將軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應(yīng)力偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。M點(diǎn)是P1P2線段的中點(diǎn)Lode在1925年引進(jìn)的參數(shù)塑性力學(xué)3Lode應(yīng)力參數(shù)當(dāng)P2點(diǎn)由P3移向P1時(shí)，的變化范圍是：下面三個(gè)特殊情況是常用到的：i)

單向拉伸：ii)

純剪切：iii)

單向壓縮：只由P1、P2、P3三點(diǎn)的相對(duì)位置決定而與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，故是描述應(yīng)力偏張量的一個(gè)特征值。綜上所述，OO’表示了一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以O(shè)’為坐標(biāo)原點(diǎn)的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應(yīng)力的偏張量部分。塑性力學(xué)3六、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間1.應(yīng)力空間一點(diǎn)的應(yīng)力張量有九個(gè)應(yīng)力分量，以它們?yōu)榫艂€(gè)坐標(biāo)軸就得到假想的九維應(yīng)力空間?？紤]到九個(gè)應(yīng)力分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的，所以又可構(gòu)成一個(gè)六維應(yīng)力空間來(lái)描述應(yīng)力狀態(tài)。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用九維或六維應(yīng)力空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。2.主應(yīng)力空間（Haigh-Westergaard空間）它是以為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個(gè)空間中的一個(gè)點(diǎn)，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。塑性力學(xué)32.主應(yīng)力空間的性質(zhì)L直線：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)并坐標(biāo)軸成等角的直線。

其方程為顯然，L直線上的點(diǎn)代表物體中承受靜水應(yīng)力的點(diǎn)的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。平面：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點(diǎn)的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。塑性力學(xué)3主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)P所確定的向量總可以分解為：這樣任意應(yīng)力狀態(tài)就被分解為兩部分，分別與應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量部分對(duì)應(yīng)。小結(jié)物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用應(yīng)力張量描述，它又可分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量?jī)蓚€(gè)部分。塑性變形只與應(yīng)力偏張量有關(guān)。三向Mohr應(yīng)力圓和主應(yīng)力空間為應(yīng)力張量的分解提供了幾何形象和數(shù)學(xué)工具。

塑性力學(xué)3這樣取的目的是使構(gòu)成一個(gè)二階對(duì)稱張量，即應(yīng)變張量?！?.2應(yīng)變分析

一、位移與應(yīng)變的關(guān)系1.Cauchy公式其中與工程剪應(yīng)變相差一半，即

塑性力學(xué)3張量記法:

以記,以記。

記號(hào)約定：以下標(biāo)之間的逗號(hào)表示微商如Cauchy公式的張量形式：（3-29）（3-29）式是在小變形條件建立的。塑性力學(xué)3二、應(yīng)變張量的分解應(yīng)變張量也可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即（3-31）應(yīng)變球張量——它與彈性的體積改變部分有關(guān)；其中稱為平均正應(yīng)變應(yīng)變偏張量——只反映變形中形狀改變的那部分。塑性力學(xué)3二、應(yīng)變張量的不變量應(yīng)變偏張量的三個(gè)不變量用表示：其中分別是主應(yīng)變和應(yīng)變偏張量的主值。塑性力學(xué)3應(yīng)變偏張量的分解：塑性力學(xué)3三、等效應(yīng)變和Lode應(yīng)變參數(shù)等斜面（八面體面）上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變：等效應(yīng)變和等效剪應(yīng)變塑性力學(xué)3Lode應(yīng)變參數(shù)三個(gè)特殊情況為：i)單向拉伸：則=-1.ii)純剪切：