函數(shù)與方程 一、選擇題1．(2016·德州期末)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間為()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)2．設(shè)函數(shù)f(x)＝logπx，函數(shù)g(x)＝eq\f(3,5)sin2x，則f(x)與g(x)的圖象的交點個數(shù)為()A．1B．2C．33．(2015·陜西卷)設(shè)f(x)＝x－sinx，則f(x)()A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點的減函數(shù)D．是沒有零點的奇函數(shù)4．若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))D．(－∞，－1)5．已知x0是f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\f(1,x)的一個零點，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2)>0二、填空題6．若函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2，3)上有零點，則k＝________．7．已知符號函數(shù)sgn(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))則函數(shù)f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零點個數(shù)為________．8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x－1）（x>1），,－x2－2x（x≤0），))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．三、解答題9．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，若a為整數(shù)，且函數(shù)f(x)在(－2，－1)上恰有一個零點，求a的值．10．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．函數(shù)與方程 一、選擇題1．(2016·德州期末)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間為()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)解析：因為f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，故f(0)·f(1)<0，則f(x)在(0，1)內(nèi)有零點．答案：C2．設(shè)函數(shù)f(x)＝logπx，函數(shù)g(x)＝eq\f(3,5)sin2x，則f(x)與g(x)的圖象的交點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．0解析：作出f(x)，g(x)的圖象，如圖所示，可知有1個交點，故選A.答案：A3．(2015·陜西卷)設(shè)f(x)＝x－sinx，則f(x)()A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點的減函數(shù)D．是沒有零點的奇函數(shù)解析：因為f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項A和C；又因為f(0)＝0－sin0＝0，所以函數(shù)存在零點且f(x)為奇函數(shù)，排除選項D.答案：B4．若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))D．(－∞，－1)解析：當(dāng)a＝0時，f(x)＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f(－1)·f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>eq\f(1,5).答案：B5．已知x0是f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\f(1,x)的一個零點，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2)>0解析：在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，f(x)＝－eq\f(1,x)的圖象，由圖象可知當(dāng)x∈(－∞，x0)時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>－eq\f(1,x)，x∈(x0，0)時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)<－eq\f(1,x)，所以當(dāng)x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)時，有f(x1)>0，f(x2)<0.答案：C二、填空題6．若函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2，3)上有零點，則k＝________．解析：函數(shù)f(x)在(2，3)上單調(diào)遞增，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝log22＋2－k<0，,f（3）＝log23＋3－k>0.))解得3<k<log23＋3.又4<log23＋3<5，k∈Z.所以k＝4.答案：47．已知符號函數(shù)sgn(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))則函數(shù)f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零點個數(shù)為________．解析：sgn(lnx)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>1，,0，x＝1，,－1，0<x<1，))故函數(shù)f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零點有3個，分別為e，1，eq\f(1,e).答案：38．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x－1）（x>1），,－x2－2x（x≤0），))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－m的零點個數(shù)也就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m的交點個數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知，m∈0，1)．答案：0，1)三、解答題9．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，若a為整數(shù)，且函數(shù)f(x)在(－2，－1)上恰有一個零點，求a的值．解：∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，∴Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0.∴函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有兩個不同的零點．又函數(shù)f(x)在(－2，－1)上恰有一個零點，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a＋5)(2a＋3)<0.解之，得－eq\f(3,2)<a<－eq\f(5,6).又a∈Z，∴a＝－1.10．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．