專題26圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似(10個高頻考點)(舉一反三)TOC\o"1-1"\h\u【考點1利用平移的性質(zhì)求解】 1【考點2坐標軸中的平移】 6【考點3鏡面對稱】 9【考點4軸對稱中坐標與圖形變化】 10【考點5設計軸對軸圖案】 12【考點6利用軸對稱求最值】 15【考點7利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】 20【考點8旋轉(zhuǎn)中的坐標與圖形變換】 25【考點9位似變換】 28【考點10圖形的變換與作圖】 33【知識點平移】(1)定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對應角相等；對應點所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標的平移：點（x，y）向右平移a個單位長度后的坐標變?yōu)椋▁+a，y）；點（x，y）向左平移a個單位長度后的坐標變?yōu)椋▁-a，y）；點（x，y）向上平移a個單位長度后的坐標變?yōu)椋▁，y+a）；點（x，y）向下平移a個單位長度后的坐標變?yōu)椋▁，y-a）?！究键c1利用平移的性質(zhì)求解】【例1】（2022春·廣東江門·九年級模擬預測）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（

）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)求得HM=BN=2,DM=FN=3，根據(jù)陰影部分的面積=長方形ABCD的面積-長方形AMGN的面積，求解即可．【詳解】解：如圖，∵將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，∴HM=BN=2,DM=FN=3∵長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，∴AM=AD?DM=6?3=3,AN=AB?BN=8?2=6，∴長方形AMGN=AM×AN=3×6=18，∴陰影部分的面積為8×6?18=30，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等．【變式1-1】（2022春·廣東韶關(guān)·九年級一模）如圖，把邊長為2的正方形的局部進行圖①~圖④的變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，即圖形平移后面積不變，則⑤的面積為4個正方形的面積和，即可得到結(jié)論．【詳解】解：一個正方形面積為2×2=故選：B．【點睛】本題主要考查了圖形拼接與平移的變換，解答本題的關(guān)鍵是要知道平移不改變圖形的形狀和大小，即面積沒有改變．【變式1-2】（2022春·甘肅蘭州·九年級一模）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長方形的長均為10個單位長度，寬均為5個單位長度）在圖1中，將線段AB向上平移1個單位長度到A′B′在圖2中，將折線ABC（其中點B叫做折線ABC的一個“折點”）向上平移1個單位長度到折線A′B′問題解決：(1)在圖3中，請你類似地畫一條有兩個“折點”的折線，同樣向上平移1個單位長度，從而得到一個封閉圖形，并用斜線畫出陰影部分：(2)設圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1、S2，則S1=平方單位；并比較大小：S(3)聯(lián)想與探索：如圖4．在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個單位長度），長方形的長為a，寬為b，請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是平方單位．（用含a，b的式子表示）【答案】(1)見解析過程；(2)40，=；(3)（ab-a）【分析】（1）畫一條有兩個“折點”的折線，同樣向上平移1個單位長度，從而得到一個封閉圖形AA'B'C'D'DCB；（2）依據(jù)平移變換可知，圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分可以拼成一個長為10個單位，寬為4個單位的長方形，進而得出其面積；（3）依據(jù)平移變換可知，圖3中除去陰影部分后剩下部分可以拼成一個長為a個單位，寬為（b-1）個單位的長方形，進而得出其面積．【詳解】（1）如圖3所示，封閉圖形AA'B'C'D'DCB即為所求；（2）圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1、S2，則S1=10×（5-1）=10×4=40平方單位；S2=10×（5-1）=10×4=40平方單位；∴S1=S2，故答案為：40，=；（3）如圖4，長方形的長為a，寬為b，小路的寬度是1個單位長度，∴空白部分表示的草地的面積是a（b-1）=（ab-a）平方單位．故答案為：（ab-a）．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了平移變換以及矩形面積的計算公式的運用，解決問題的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，把不規(guī)則的圖形拆分或拼湊為基本圖形來計算面積．【變式1-3】（2022·黑龍江鶴崗·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中將ΔABD沿射線BD平移，得到ΔEGF，連接EC、GC．求EC+GC的最小值為______．【答案】4【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點C與點C′關(guān)于AE對稱，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，此時，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=42即EC+GC的最小值為45故答案為：45【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．【考點2坐標軸中的平移】【例2】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·九年級模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，A?2,0，將點A向下平移1個單位，再向右平移2個單位得到點B，若點C在y軸上，且S△ABC=3【答案】（0，2）或（0，?4）【分析】根據(jù)題意確定點B的坐標，然后設C（0，m），結(jié)合圖形，利用面積得出方程求解即可．【詳解】解：將點A向下平移1個單位，再向右平移2個單位得到點B，∴B(0，?1)，設C（0，m），如圖所示，根據(jù)題意得：12解得：m=2或?4，∴C(0，2)或（0，?4），故答案為：（0，2）或（0，?4）．【點睛】題目主要考查坐標與圖形，坐標的平移，一元一次方程的應用等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春·廣東珠?！ぞ拍昙壞M預測）如圖，在平面直角坐標系中，AP∥DF∥x軸，AB∥CD∥GF∥PH∥y軸，點C、B、H、G在x軸上，A(?1,2)，【答案】(?1,0)【分析】根據(jù)點的坐標、坐標的平移規(guī)律可知旋轉(zhuǎn)一周的長度為20，然后可判斷細線另一端所在位置的點在B處，再直接求解即可．【詳解】解：∵AP∥DF∥點C、B、H、G在x軸上，A(?1,2)，C(?3,0)，D(?3,?2)，F(xiàn)(3,?2)，P(1,2)，∴B點坐標為（-1，0），點H坐標為（1，0），G(3,0),∴AP=BH=2，AB=PH=2，CD=GF=2，BC=HG=2，DF=CG=6，∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A纏繞一周的總長度為2+2+2+6+2+2+2+2=20，∵2022÷20=101···2，∴細線另一端所在位置的點在B點處，∴細線另一端所在位置的點的坐標為（-1，0）．故答案為：(?1,0)．【點睛】本題主要考查點的坐標、坐標的平移，解決本題的關(guān)鍵是確定纏繞一周的總長度為20．【變式2-2】（2022春·山東濱州·九年級校聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標系中A?1,1，B?1,?2，C3,?2，D3,1，一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行，問第A．3,1 B．?1,?2 C．1,?2 D．3,?2【答案】A【分析】根據(jù)點A、B、C、D的坐標可得出AB、AD及四邊形ABCD的周長，由2021÷7=288……5，且5×2=10s，可得出當【詳解】解：∵A(?1,1)B(?1,?2),C(3,?2),D(3,1)，∴AB=CD=3，∴四邊形ABCD的周長為2AB+AD∵瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行，∴瓢蟲爬行一個循環(huán)所用的時間為142∵2021÷7=288……5，且5×2=10s，∴此時瓢蟲在AD上，且距離D點3個單位，∴此時點瓢蟲的坐標為3,1．故選：A．【點睛】本題考查了規(guī)律型中點的坐標，根據(jù)瓢蟲的運動規(guī)律找出當t=2021秒時，瓢蟲所在的位置是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋·河北保定·九年級模擬預測）點Em,n在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則坐標m+1,n?1對應的點可能是（

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】C【分析】由Em,n移動到m+1,n?1【詳解】解：∵由Em,n移動到m+1,n?1∴點向右移動1個單位，同時向下移動1個單位，觀察圖形可得坐標m+1,n?1對應的點可能是C故選：C．【點睛】本題考查了點的坐標，解題的關(guān)鍵是得到點的坐標移動的規(guī)律．【考點3鏡面對稱】【例3】（2022·河南·一模）小狗皮皮看到鏡子里的自己,覺得很奇怪,此時它所看到的全身像是（

）A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知，小狗和鏡面里的像是關(guān)于鏡面對稱的，∴小狗與它的像的對應點的連線應該與鏡面垂直，且對應點到鏡面的距離相等，∴上述四個圖像中，只有A符合要求，其余三個都不符合要求.故選A.【變式3-1】（2012·湖南郴州·一模）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數(shù)如圖所示，則電子表的實際時刻是____________.【答案】10：51【分析】根據(jù)鏡面對稱原理,左右顛倒,上下不變即可解題.【詳解】根據(jù)鏡面對稱原理,物體的像與物體本身上下不變,左右顛倒可知,12：01對稱之后為10：51.【點睛】本題考查了鏡面對稱,屬于簡單題,熟悉鏡面對稱的原理是解題關(guān)鍵.【變式3-2】（2022·廣東湛江·一模）一個汽車牌在水中的倒影為，則該車牌照號碼___________.【答案】M17936【詳解】試題分析：本題是軸對稱中的鏡面對稱問題，水面相當于一個平面鏡，因為鏡面對稱的性質(zhì)是在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．故答案為.考點：軸對稱的性質(zhì).【變式3-3】（2022·浙江溫州·一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運行方向．當電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為______．【答案】15【分析】根據(jù)鏡面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【詳解】解：由鏡面成像的原理可知電梯所在的樓層為15，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了鏡面成像，熟知鏡面成像的原理是解題的關(guān)鍵．【考點4軸對稱中坐標與圖形變化】【例4】（2022·貴州省遵義市第一初級中學九年級一模）已知點P1(2a?b,2)和P2(?7,4a+2b)關(guān)于x軸對稱，則ab=__．【答案】?8【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解并計算即可；【詳解】∵點P1(2a?b,2)和P2∴2a?b=?7解得a=?2b=3∴a故答案為：?8【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學九年級一模）將點A先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（﹣2，5），則A點關(guān)于y軸的對稱點坐標為__________．【答案】（4，8）【分析】設A（x，y），根據(jù)向下平移縱坐標減，向右平移橫坐標加列方程求解，再根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：設A（x，y），∵點A向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（?2，5），∴x＋2＝?2，y?3＝5，解得x＝?4，y＝8，∴點A的坐標為（?4，8），∴A點關(guān)于y軸的對稱點坐標為（4，8）．故答案為：（4，8）．【點睛】本題考查了坐標的平移規(guī)律，以及關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．【變式4-2】（2022秋·河南安陽模擬預測）已知點P（2a+b，-3a）與點P′（8，b+2）．(1)若點p與點p′關(guān)于x軸對稱，求a、b的值．(2)若點p與點p′關(guān)于y軸對稱，求a、b的值．【答案】(1)a=2，b=4(2)a=6，b=-20【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相等、縱坐標互為相反數(shù)方程組求解即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相等、橫坐標互為相反數(shù)方程組求解即可．（1）解：∵點P與點P′關(guān)于x軸對稱，∴2a+b=8，3a=b+2,解得a=2，b=4．（2）解：∵點P與點P′關(guān)于y軸對稱，∴2a+b=-8，-3a=b+2解得a=6，b=-20．【點睛】本題主要考查了關(guān)于坐標軸對稱的點坐標特征，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相等、橫坐標互為相反數(shù)．【變式4-3】（2022·吉林白山·九年級模擬預測）在坐標平面上有一個軸對稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對對稱點，若此圖形上另有一點C（﹣2，﹣9），則A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【答案】A【分析】先利用點A和點B的坐標特征可判斷圖形的對稱軸為直線y=-4，然后寫出點C關(guān)于直線y=-4的對稱點即可．【詳解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣11∴點A與點B關(guān)于直線y＝﹣4對稱，∴點C（﹣2，﹣9）關(guān)于直線y＝﹣4的對稱點的坐標為（﹣2，1）．故選：A．【點睛】本題考查了坐標與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對稱：關(guān)于直線x=m對稱，則兩點的縱坐標相同，橫坐標和為2m；關(guān)于直線y=n對稱，則兩點的橫坐標相同，縱坐標和為2n．【考點5設計軸對軸圖案】【例5】（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將一個圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形的概念進行設計即可．【詳解】解：如圖所示：故選：C【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱圖形的概念．【變式5-1】（2022·河北·九年級專題練習）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點P在其它格點上，且A、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點P（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點即可．【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對稱圖形，共有4個這樣的點P．答案：B．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案,正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春·廣東江門·九年級模擬預測）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個小方格涂上陰影，請再在余下的6個空白的小方格中，選兩個小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個軸對稱圖形，共有()種不同的填涂方法．A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【分析】如圖，將圖中的空白正方形標號，然后根據(jù)軸對稱圖形的定義對其不同的組合進行判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對稱圖形，共有6種方法．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的設計，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇·九年級專題練習）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個新的正方形，使拼成的圖案為軸對稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設計一種與示例拼法不同的軸對稱圖形．【答案】見解析【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可．【詳解】解：依照軸對稱圖形的定義，設計出圖形，如圖所示．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，利用軸對稱定義得出是解題關(guān)鍵．【考點6利用軸對稱求最值】【例6】（2022·湖南·李達中學九年級）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【分析】由題意可以把Q反射到AB的O點，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點O，則PQ=PO，所以O、P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，∵當CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵S△ABC∴CM=6×810=4.8，即PC+PQ的最小值為故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·河南駐馬店·九年級模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．2α?180° C．180°?α 【答案】B【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠DAB=α，∴∠HAA′=180°?α，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°?α，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2180°?α∴∠MAN=180°?∠AMN+∠ANM故選：B．【點睛】本題主要考查軸對稱-最段路線問題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在長方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動點M在線段AC上運動(不與端點重合)，點M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，連接M1M2，點D在M1M2上，則在點M的運動過程中，線段M1M2長度的最小值是_______．【答案】24【分析】過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，根據(jù)已知，由面積法先求出DM'=125，由M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，可得DM1=DM=DM2，M1M2=2DM，故線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，M與M'重合，即可得M1M2最小值為2DM'=24【詳解】解：過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，如圖：長方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，∴S△ADC=12AD?CD=12AC?∴DM'=AD·CDAC∵M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，∴DM1=DM=DM2，∴M1M2=2DM，線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，即M與M'重合，M1M2最小值為2DM'=245故答案為：245【點睛】本題考查對稱變換，涉及三角形面積、點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是將求M1M2長度的最小值轉(zhuǎn)化為求DM長度的最小值.【變式6-3】（2022·福建龍巖·九年級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是_______．【答案】48【分析】如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．首先證明E，A，F(xiàn)共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．由對稱的性質(zhì)可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，∴∠EAF=180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵ME=MP，NF=NP，∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，∵EF=2PA，∴當PA⊥BC時，PA的值最小，此時PA=6×810=24∴PM+MN+PN≥485∴PM+MN+PN的最小值為485故答案為：485【點睛】本題考查了軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱的性質(zhì)添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短．【知識點旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！局R點旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。【考點7利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例7】（2022春?梅州校級模擬預測）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為140°．【分析】設∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，易證△COD是等邊△OCD，從而利用α分別表示出∠AOD與∠ADO，再根據(jù)等腰△AOD的性質(zhì)求出α．【解答】解：設∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△BOC≌△ADC，則OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．又∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．【變式7-1】（2022?東莞市校級一模）如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，則線段B′E的長度為（）A．35 B．1255 C．95【分析】由勾股定理求出AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，從而得到OE＝A′O，過點O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB=A∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，∵點E為BO的中點，∴OE=12BO∴OE＝A′O＝4，過點O作OF⊥A′B′于F，如圖，S△A′OB′=12×45?OF=解得：OF=8在Rt△EOF中，EF=O∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×4∴B′E＝A′B′﹣A′E=45故選：B．【變式7-2】（2022?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【分析】將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，則AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等邊三角形，PD＝AP，所以△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，這樣可分別求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，∵AD＝AP，∠DAP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴PD＝AP，∵DC＝PB，∴△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，∴以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為2：3：4．故選：B．【變式7-3】（2022春?和平區(qū)模擬預測）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點A、C、E在同一條直線上時，線段BE的長為（）A．23 B．27 C．3或7 D．23或27【分析】分兩種情況：①當E在CA延長線上時，過A作AM⊥BE于M，根據(jù)△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，從而BE＝2BM＝23；②當E在AC的延長線上時，過B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，【解答】解：①當E在CA延長線上時，過A作AM⊥BE于M，如圖：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，AM=12AB＝1，BM=3∴BE＝2BM＝23；②當E在AC的延長線上時，過B作BN⊥AC于N，如圖：在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，在Rt△BNE中，BE=BN2綜上所述，線段BE的長為23或27，故選：D．【考點8旋轉(zhuǎn)中的坐標與圖形變換】【例8】（2022秋?黃石模擬預測）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，若點A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【分析】運用中點坐標公式求答案．【解答】解：設C（m，n），∵線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，點P為線段AC、BD的中點．∴a+m2=5?3∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故選：B．【變式3-1】（2022秋?本溪模擬預測）如圖，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應點A′的坐標是（）A．（﹣4，2） B．（﹣23，4） C．（﹣23，2） D．（﹣2，23）【分析】如圖，過點A作AH⊥OB于H，設OH＝m，則BH＝6﹣m，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作AH⊥OB于H，設OH＝m，則BH＝6﹣m，∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，∴m＝2，∴AH=42?∴A（2，23），∴將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應點A′（﹣23，2），【變式3-2】（2022秋?西湖區(qū)模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，△MNP繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），則點M1的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）【分析】如圖，連接OM，OM1，過點M作MH⊥y軸于點H，過點M1作M1T⊥x軸于點T．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：如圖，連接OM，OM1，過點M作MH⊥y軸于點H，過點M1作M1T⊥x軸于點T．∵M（1，﹣2），∴MH＝1，OH＝2，∵∠MOM1＝∠POT，∴∠MOH＝∠M1OT，∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，∴△MHO≌△M1TO（AAS），∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，∴M1（2，1），故選：C．【變式3-3】（2022?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，Rt△AOB的斜邊AO在y軸上，OB=3，∠AOB＝30°，直角頂點B在第二象限，將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△A′OB'，則A點的對應點A′A．（3，﹣1） B．（1，?3） C．（2，0） D．（3【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限點的坐標特征寫出點A′【解答】解：如圖，在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，∴AB=33OB∵Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OA′B'，∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°∴點A′的坐標為（3，﹣1）．故選：A．【考點9位似變換】【例9】（2022春?如皋市模擬預測）若△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α后，與△ADE構(gòu)成位似圖形，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，則∠BAE＝；②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，則BC＝（2）知識運用：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于點E，∠DAC＝∠DBC，求證：△ACD與△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，△ABG為等邊三角形，點C為AG的中點，點F是AB邊上的一點，點D為CF延長線上的一點，點E在線段CF上，且△ABD與△ACE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若AB＝6，AD＝4，求DECE【答案】（1）①27°；②143；（2）見解析；（3）2【分析】（1）①依據(jù)△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得△ABC∽△ADE，依據(jù)相似三角形的對應角相等，即可得到∠BAE＝180°﹣100°﹣28°﹣25°＝27°；②依據(jù)△ABC∽△ADE，可得BCDE=AB（2）依據(jù)△AOD∽△BOC，即可得到AODO=BOCO，進而得到△AOB∽△DOC，再根據(jù)∠7＝∠8，∠ADC＝∠AEB，即可得到△ABE∽△ACD，進而得出（3）利用三角函數(shù)和勾股定理解答即可．【詳解】（1）①∵△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，∴△ABC∽△ADE，∴∠D＝∠B＝100°，又∵α＝25°，∠E＝28°，∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；②∵△ABC∽△ADE，∴BCDE∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，∴BC7∴BC＝143故答案為：27°；143（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，∴△DOA∽△COB，∴AOBO=DO又∵∠DOC＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴∠DCA＝∠EBA，又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△ACD，∴∠DAC＝∠EAB，∴△AEB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠DAE的度數(shù)后與△ADC構(gòu)成位似圖形，∴△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）∵AC＝12AG＝1由題意得：ECBD∵AD＝4，∴AE＝2，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴cos∠DAE＝cos60°＝12∴∠DEA＝90°，∴由勾股定理可得CE＝AC∴DE＝AE?tan∠DAE＝23，∴DECE【點睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運用．在解答時添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對應邊成比例是關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′【答案】4【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出AB=2，根據(jù)位似比求出A′B′=4，周長即可得出；【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=2，∵A′B′:AB=2:1，∴A′B′=4，∴A′C′=4所求周長=42故答案為：42【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)鍵求出正方形ABCD的邊長．【變式9-2】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，△A′B′C′與△ABC是位似圖形，點O為位似中心，若【答案】1：4【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出△ABC∽△A'B'C'和相似比的值，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比是相似比比值的平方解答即可．【詳解】解：由題意得，△ABC和△A'B'C'是位似圖形，∴△ABC∽△A'B'C'，AB：A'B'=OA：AA'=1：2，∴△A′B故答案為：1：4．【點睛】此題考查的知識點為：位似的概念、三角形相似的性質(zhì)；掌握面積比是相似比比值的平方是解答問題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·安徽·中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中，已知點O，A，B均為網(wǎng)格線的交點．（1）在給定的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A1B1（點A，B的對應點分別為A（2）將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段（3）以A、A1、【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）20【分析】（1）結(jié)合網(wǎng)格特點，連接OA并延長至A1，使OA1=2OA，同樣的方法得到