2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市臥龍區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的1．下列二次根式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．2．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．3．如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（

）A．0 B．8 C．0或8 D．2或85．李師傅去年開(kāi)了一家商店，今年1月份開(kāi)始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同．那么按照這個(gè)平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)五月份這家商店的盈利將達(dá)到（

）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．34566．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定的是（）

A． B． C． D．7．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：258．如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．6 D．89．一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開(kāi)狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開(kāi)B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm10．如圖，在一單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，都是斜邊在x軸上，斜邊長(zhǎng)分別為2，4，6，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2，0)，A2(1，?1)，A3(0，0)，則依圖中所示規(guī)律，A2022的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，，都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是．

13．如圖，王師傅要建一個(gè)矩形羊圈，羊圈的一邊利用長(zhǎng)為的住房墻，另外三邊用長(zhǎng)的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊要留出安裝木門(mén)．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為．14．如圖，在菱形中，，交于點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．15．如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），AP的長(zhǎng)度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，t的值為．三、解答題（共8小題75分）16．計(jì)算：(1)(2)17．下面是小聰同學(xué)用配方法解方程的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀后，解答下面的問(wèn)題．解：移項(xiàng)，得，①二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，②配方，得，，③由此可得，④，⑤整個(gè)解答過(guò)程是否正確？若不正確，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是，這種方法解方程．18．觀察下列各式并按規(guī)律填空：；；…(1)；(2)按此規(guī)律第n個(gè)等式可以表示為；(3)請(qǐng)寫(xiě)出（2）中等式的推導(dǎo)過(guò)程．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)以原點(diǎn)為位似中心，在軸的右側(cè)畫(huà)出的一個(gè)位似，使它與的位似比為；(2)畫(huà)出將向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的；(3)判斷和是位似圖形嗎?若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．20．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若是該方程的一個(gè)根，求m的值及另一個(gè)根；(2)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．21．商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元的價(jià)格售出，平均每月能售出600個(gè)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲2元，其銷(xiāo)量就減少20個(gè)．(1)為了實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售這種臺(tái)燈平均每月10000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少元？(2)在這樣的銷(xiāo)售模式下，當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，其銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到最大，求最大利潤(rùn)．22．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測(cè)量凌霄塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹(shù)，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹(shù)頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測(cè)得米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無(wú)法測(cè)量；然后，在E處放置一平面鏡，沿后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹(shù)頂C的像，米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米；已知，，，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請(qǐng)你求出凌霄塔的高度．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）23．如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開(kāi)始順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）設(shè)AE，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.含答案與解析1．A【分析】將每個(gè)選項(xiàng)的二次根式化簡(jiǎn)，同類(lèi)二次根式即可直接合并，直接判斷即可．【詳解】A.，能與合并，故正確；B.，不能與合并，故錯(cuò)誤；C.，不能與合并，故錯(cuò)誤；D.，不能與合并，故錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】此題考查同類(lèi)二次根式，解題關(guān)鍵是先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再進(jìn)行判斷．2．D【分析】根據(jù)二次根式的加法法則可判斷A和B；根據(jù)二次根式的除法法則可判斷C；根據(jù)二次根式的乘法法則可判斷D；【詳解】和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故A計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；和2不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故B計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；，故C計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；，故D計(jì)算正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加法、除法和乘法計(jì)算．掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)方程根的定義得到，則，整體代入代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義、代數(shù)式的求值等知識(shí)，根據(jù)一元二次方程根的定義得到是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，整理，可得：，解得：，，∴m的值為0或8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系．一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．5．D【分析】設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，列方程解方程進(jìn)而即可求解；【詳解】解：設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，，解得：（舍去），五月份這家商店的盈利為（元）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】先根據(jù)得出，再由相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：∵，∴．A、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵與的大小無(wú)法判定，∴無(wú)法判定，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．7．B【詳解】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，故選B．8．B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到，證明，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵是的中位線，∴，，，∵，，∴，，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟知三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】連接圖2、圖3中的BD，圖2中證明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD，在圖3中證明四邊形EFDB是矩形，求得BD，進(jìn)而作差即可求解．【詳解】解：如圖2，連接BD，∵AE=CF=28，BE=DF=35

，∴，又∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴，又EF=20，∴，解得：BD=45，如圖3，連接BD，∵BEDF，BE=DF，∴四邊形EFDB是平行四邊形，∵∠BEF=90°，∴四邊形EFDB是矩形，則BD=EF=20，∴從閉合到打開(kāi)B，D之間的距離減少了45-20=25（mm），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)，理解題意，會(huì)利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)下標(biāo)確定出下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，當(dāng)下標(biāo)是4、8、12．…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，然后確定出第2022個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)：當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，當(dāng)下標(biāo)是4、8、12．…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，因?yàn)?022÷4=505…2，所以橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為=-1011，故選：D．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，根據(jù)2022是偶數(shù)，求出點(diǎn)的下標(biāo)是偶數(shù)時(shí)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．6【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)B的平行線于點(diǎn)D，交C的鄰近平行線于點(diǎn)E，根據(jù)題意，，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)B的平行線于點(diǎn)D，交C的鄰近平行線于點(diǎn)E，根據(jù)題意，，

所以．解得．∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．13．##8米【分析】設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長(zhǎng)為米，利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合住房墻的長(zhǎng)度為，即可確定所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．【詳解】解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長(zhǎng)為米，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為時(shí)，羊圈面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線，由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理計(jì)算出，由三角形中位線定理可得，，證明可得，再由，即可得到答案，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，，，在中，由勾股定理，得，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中位線，，，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，故答案為：．15．##【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分線AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，進(jìn)而得到，由相似求出BD的長(zhǎng)即可．【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B＝36°，∴，作∠BAC的平分線AD，∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，∴AD=BD，，∴AD=BD=AC，設(shè)，∵∠DAC＝∠B＝36°，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴，此時(shí)(s)，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了圖形與函數(shù)圖象間關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，關(guān)鍵是證明．16．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式去括號(hào)并進(jìn)行二次根式除法運(yùn)算，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可；（2）先進(jìn)行乘方運(yùn)算、化簡(jiǎn)二次根式、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后進(jìn)行二次根式的加減計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．17．不正確，③，右邊沒(méi)有加上1，，【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，由解題過(guò)程即可判斷錯(cuò)誤的步驟，根據(jù)配方法解一元二次方程即可得到答案，熟練掌握配方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：解答過(guò)程不正確，從第③步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是右邊沒(méi)有加上1，移項(xiàng)得：，二次項(xiàng)系數(shù)化為1得：，配方，得：，即，由此可得：，，故答案為：③，右邊沒(méi)有加上1．18．(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，完全平方公式，根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知等式，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）所得結(jié)論，即可得到答案；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案【詳解】（1）解：；；…觀察發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律：，，故答案為：；（2）解：由（1）得可知，第n個(gè)式子可以表示為：；故答案為：；（3）解：．19．(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析(3)是位似圖形，點(diǎn)為所求位似中心，見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)位似圖形的作法，按要求即可得到答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的平移法則，將三角形頂點(diǎn)平移后連接各個(gè)頂點(diǎn)即可得到答案；（3）根據(jù)位似圖形的定義與性質(zhì)做出判斷，并得到位似中心點(diǎn)及其坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所作圖形；（2）解：如圖所示：即為所作圖形；（3）解：和是位似圖形，如圖所示：點(diǎn)為所求位似中心，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)雜作圖-位似圖形、圖形平移，熟記位似圖形的定義與性質(zhì)、點(diǎn)的平移法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．(1)，(2)且【分析】（1）先根據(jù)方程的解的定義把代入原方程求出m的值，則可確定原方程變?yōu)?，然后解方程得到方程的另一根；?）根據(jù)判別式的意義得到且，，然后解不等式即可．【詳解】（1）將代入一元二次方程，得，解得．當(dāng)時(shí)，代入原方程，得，∴，，∴．（2）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴且，解得且，即m的取值范圍是且．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，由方程根的情況得到判別式的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．21．(1)80元或50元(2)當(dāng)售價(jià)定為65元時(shí)，其銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為12250元【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意準(zhǔn)確列出方程和函數(shù)表達(dá)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“銷(xiāo)售利潤(rùn)每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)銷(xiāo)售量”列方程解出即可；（2）根據(jù)“銷(xiāo)售利潤(rùn)每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)銷(xiāo)售量”，“每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)”列出二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值即可．【詳解】（1）解：設(shè)這種臺(tái)燈上漲了元，根據(jù)題意，得，整理，得，解得或，當(dāng)時(shí)，售價(jià)為：（元），當(dāng)時(shí)，售價(jià)為：（元），答：售價(jià)應(yīng)定為80元或50元；（2）解：設(shè)臺(tái)燈的售價(jià)為元，利潤(rùn)為元，依題意：，，∴當(dāng)時(shí)，元，答：當(dāng)售價(jià)定為65元時(shí)，其銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為12250元．22．凌霄塔的高度為42米，見(jiàn)解析【分析】先證明，求出的長(zhǎng)，再