2022年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（三）（三

模）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.復(fù)數(shù)1+2i的共扼復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合4={x[/<4},B={x[x<2-x},則4UB=()

A.{x|-2<%<2}B.{x\x<2}

C.{x\x>-1}D.{x\x>-2}

3.已知向量五，至滿足|2|=1,@=2，|五一2芯|=VTU，則,不=()

A.|B.jC.-|D.V

4.若a<b,則下列結(jié)論正確的是()

A.a3-b3>0B.2a<2。C.ln(a-fe)>0D.|a|<\b\

5.區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個(gè)密碼

的長(zhǎng)度設(shè)定為512B,則

密碼一共有2512種可能，為了破解該密碼，最壞的情況需要進(jìn)行2512次運(yùn)算.現(xiàn)在

有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，每秒能進(jìn)行1.25x1013次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)

破譯該密碼所需時(shí)間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3,710?3.16）

A.6.32x10141sB.6.32x10140sC.3.16x10141sD.3.16x10140s

6.若雙曲線C：q_《=1（匕>0）的一條漸近線被圓（x-2>+y2=4所截得的弦長(zhǎng)

為2,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.4C.V3D.V2

7.攣生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23問(wèn)題中的第8個(gè)：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,

使得p+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2）稱為攣生素?cái)?shù).2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐發(fā)表的

論文德數(shù)間的有界距離》第一次證明了存在無(wú)窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì).那

么在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，可組成攣生素?cái)?shù)的概率為（）

A1R—C—D—

A.5氏21。15U-10

8.若某多面體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此多面體的體22

積是（）

D.^cm3

9.若aeg,?!),cos2a-sin《-a)=0,則s譏2a的值為()

10.已知函數(shù)f(x)=|sinx|+cos|x|,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)在區(qū)間(0,3上單調(diào)遞減

B./Q)的圖像關(guān)于直線％="+式kCZ)對(duì)稱

C./(x)的最大值為企

D.f(x)在區(qū)間[―兀,可上有3個(gè)零點(diǎn)

11.已知點(diǎn)4(一1,0)、B(l,0),若過(guò)4、B兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與圓/+y2=8相

切，該拋物線焦點(diǎn)的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是()

A.圓B.雙曲線C.橢圓D.拋物線

12.定義在R上的函數(shù)/Q)滿足/(x+l)=：/(x),且當(dāng)xe[0,1)時(shí)，/(x)=1-|2x-

川.若對(duì)任意％e[m,+8),都有則m的取值范圍是()

A.片,+8)B./,+8)C.*,+8)D.*,+8)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6,a2)9>0),若P(x>3)=0.8,則P(3<x<

9)=?

14.已知函數(shù)f(x)=e*+2sinx,則/'(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為.

15.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sirM=6sinC，B=30°,4ABe

的面積為b，則△力BC的周長(zhǎng)是.

16.某電視臺(tái)鑒寶欄目迎來(lái)一件清代老銀方斗型掛件(圖1),古代常用來(lái)作為女方陪

嫁.該掛件佩戴起來(lái)非常漂亮，寓意“斗出斗入，日進(jìn)萬(wàn)金”之意.其結(jié)構(gòu)由長(zhǎng)方

體與正四棱臺(tái)組合而成.圖2是與該掛件結(jié)構(gòu)相同的幾何體，且4B=4VI，MN=

NF=2&，BF=4,K為BC上一點(diǎn)，且8K：KC=3：1,Z為PQ上一點(diǎn).若DK1MZ,

則,的值為;幾何體EFGH-MNPQ外接球的表面積為.

mi

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

第2頁(yè)，共19頁(yè)

17.2022年北京冬奧會(huì)即第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將在2022年2月4日至2月20日在

北京和張家口舉行.某研究機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣，從某大學(xué)隨

機(jī)抽取了600人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生與女生的人數(shù)之比是11：13,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有

興趣的人數(shù)占總數(shù)的|,女生中有75人對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣.

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣

與性別有關(guān)？

有興趣沒(méi)有興趣合計(jì)

男

女75

合計(jì)600

(2)按性別用分層抽樣的方法從對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的學(xué)生中抽取8人，若從這8人中

隨機(jī)選出3人作為冰壺運(yùn)動(dòng)的宣傳員，設(shè)X表示選出的3人中女生的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

附：K2正瑞磊訴(…+…+分

P(K2>ko)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

18.已知數(shù)列｛即｝中，％==1，且即+2=即+1+2an,記%=a“+i+a”

(1)求證：數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列；

(2)求數(shù)列｛%+2n｝的前n項(xiàng)和.

19.如圖所示，點(diǎn)P在圓柱的上底面圓周上，四邊形ABCD為圓柱

下底面的內(nèi)接四邊形，且4c為圓柱下底面的直徑，P。為圓柱

的母線，且PD=3,圓柱的底面半徑為1.

(1)證明：AD1PC；

(2)AD=魚,8為部的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段PB上，記同=2謔，求二面角B-4C-Q

的余弦值.

20.已知橢圓G：各'=1(。>b>0)的離心率為爭(zhēng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2遮，拋物線C2：X2=

2py(p>0),點(diǎn)P是橢圓G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線C2準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn).

(I)求橢圓G的方程；

(11)已知。。_1。(?(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，且點(diǎn)。到直線PQ的距離為常數(shù)，求p的值.

21.已知函數(shù)/(x)=ex-1—ax2.

(1)函數(shù)((x)為/(%)的導(dǎo)函數(shù)，討論((支)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)與，且;</(與)〈孝.

22.如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M(2,0),曲線G是以極點(diǎn)。為圓心，以O(shè)M為半徑的

半圓，曲線C2是過(guò)極點(diǎn)且與曲線G相切于點(diǎn)(2,今的圓.

(1)分別寫出曲線C「C2的極坐標(biāo)方程；

第4頁(yè)，共19頁(yè)

(2)直線。=a(0<a<7T,p6R)與曲線G，C2分別相交于點(diǎn)A,B(異于極點(diǎn))，求4

力BM面積的最大值.

已知函數(shù)/'(%)=|x-1|+|2x—m|(7nG/?).

(1)當(dāng)m=一1時(shí)，求f(x)S2的解集：

(2)若f(x)W|乂+1|的解集包含[1,2],求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)l+2i的共軌復(fù)數(shù)為l-2i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),位于第四象

限.

故選：D.

利用共鈍復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)1+2i的共輾復(fù)數(shù)，進(jìn)一步求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：,集合4={x[/<4}={刈-2<x<2},

B=(x\x<2—x]={x\x<1},

AL)B=[x\x<2}.

故選：B.

先分別求出集合4和8,由此能求出4UB.

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閨8一2引=V10.所以|五產(chǎn)一4五萬(wàn)+4|3|2=10.即1-4為i+4X

4=10,解得五

4

故選：B.

將2石|=VTU兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，展開，再代入己知數(shù)據(jù)，即可得

解.

本題考查平面向量的運(yùn)算，熟練掌握平面向量模長(zhǎng)的計(jì)算方法，數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增，

a<b,

.-.a3<b3,即-廬<0,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,?.?函數(shù)/(x)=2X在R上單調(diào)遞增，a<b,

.??2。<2》，故2正確，

對(duì)于C,當(dāng)a—b<0時(shí)，ln(a-b)無(wú)意義,故C錯(cuò)誤，

第6頁(yè)，共19頁(yè)

對(duì)于D,令a=-1,b=1,滿足a<b,但|a|=網(wǎng)，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊值法，即可求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：設(shè)在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需時(shí)間為x秒，

則％=—j...-,兩邊取對(duì)數(shù)可得，Igx=lg2512—lgl.25x1013.

J.XJ.U

故［gx=512s2-(lgl.25+13)=512應(yīng)2-(3/g5+11)=512匈2-lg5+2lg2-

13=5121g2-QglO-2g2)+2lg2-13

=515/g2-14?140.5,

所以x=io"。'=io”。*io05x3.16xIO140.

故選：D.

設(shè)在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需時(shí)間為x秒，則％=上=,再結(jié)合對(duì)

1.25X1013

數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的公式，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：雙曲線C：9一，=l(b>0)的漸近線為y=±?x,即bx±2y=0,

根據(jù)對(duì)稱性不妨取bx-2y=0,

圓(%—2)2+y2=4的圓心為(2,0),半徑r=2,

可得圓心到漸近線的距離為d=韶，

v4+dz

2

則2=214一黑,化簡(jiǎn)為4y=12+3b,即6=2娼,

所以c?=a2+b2=16,即c=4,

所以離心率e=(=2.

故選：A.

首先得到雙曲線的漸近線方程，不妨取其中一條為法-2y=0,再求出圓心到直線的

距離，利用勾股定理及垂徑定理得到方程，即可求出b,從而求出雙曲線的離心率.

本題考查了雙曲線的離心率、直線與圓相交的弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：不超過(guò)16的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,

在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，

基本事件總數(shù)n=Cl=15,

可組成攣生素?cái)?shù)包含的基本事件有：

(3,5),(5,7),(11,13),共3個(gè)，

???在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，可組成攣生素?cái)?shù)的概率為P=^=1.

故選：A.

基本事件總數(shù)n=C/=15,利用列舉法求出可組成孳生素?cái)?shù)包含的基本事件有3個(gè)，由

此能求出在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，可組成攣生素?cái)?shù)的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖:

如圖所示:

則：l/=ix23-ixix23=-.

2323

故選：B.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用割補(bǔ)法求出幾何體的體積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用,

割補(bǔ)法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：a6?，兀)，cos2a-sin(^-a)=0,

即cos2a—sin2a=sin?-a)=ycosa-與sina，

又ae?/),

貝(Jcosa-sina豐0,

即cosa+sina='，

2

第8頁(yè)，共19頁(yè)

故1+2sinacosa=1；

即sin2a=—p

故選：D.

由兩角和差的正弦公式，結(jié)合二倍角公式求解即可.

本題考查了兩角和差的正弦公式，重點(diǎn)考查了二倍角公式，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解:依題意，函數(shù)/(x)=\sinx\+cos|x|=

(V^sin(x+-),2fc7r<x<2kn+TT

lt(fcGZ).

［V2cos(x+Z),2/CTT—n<x<2kn

對(duì)于4,xe(o()時(shí)，f(x)=V^sin(x+》在(0,9上單調(diào)遞增，4不正確；

對(duì)于B,f(^)=sin^+cos^=V2,

f(2kn+兀-9)=|sin(2/c7r+兀一?|+COS(2/OT+兀一》=sin(^)—cos(^)=0,k&Z,

即點(diǎn)(%〃》)在函數(shù)/(x)的圖像上，而該點(diǎn)關(guān)于直線X=/OT+1(kez)的對(duì)稱點(diǎn)(2/C7T+

兀—%/?))不在函數(shù)f(x)的圖像上，B不正確；

對(duì)于C,當(dāng)2/OTWxW2k?r+7T(k€Z)時(shí)，2/<兀+EWx+￡W2/OT+手(keZ),

函數(shù)/(x)=&sin(x+?)的取值集合是［_1,或］,

當(dāng)2/CTT-7r<x<2kn(kGZ)時(shí)，2kn——<x+^<2kn+eZ),

函數(shù)/'(x)=魚85。+：)的取值集合是［_1,或］，

因此，函數(shù)/(x)在R上的值域?yàn)?/p>

則/(約的最大值為方，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)工€［—7T,0］時(shí)，

由&cos(x+：)=0得％=一拳當(dāng)％6［0,利時(shí)，由近sin(%+：)=0得工=一季

則/(%)在［-兀,用上只有2個(gè)零點(diǎn)，。不正確.

故選：C.

把給定函數(shù)化成分段函數(shù)并化簡(jiǎn)，再利用正余弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷作答.

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及值域，屬于中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：由題設(shè)知，焦點(diǎn)到4和8的距離之和

等于4和8分別到準(zhǔn)線的距離和.

而距離之和為4和B的中點(diǎn)。

到準(zhǔn)線的距離的二倍，即為2r=4位，

所以焦點(diǎn)的軌跡C是以4和B為焦點(diǎn)的橢圓.

故選：C.

由題設(shè)知，焦點(diǎn)到4和B的距離之和等于4和B

分別到準(zhǔn)線的距離和.而距離之和為4和B的

中點(diǎn)。到準(zhǔn)線的距離的二倍，即為2r=4位，

所以焦點(diǎn)的軌跡方程C是以4和B為焦點(diǎn)的橢

圓.由此能求出該拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡方程.

本題以圓為載體，考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,

解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解.

12.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楫?dāng)xe[0,1)時(shí)，/(x)=l-|2x-l|,

2x,xG[0,1]

所以f(x)=

2—2x,xe(|,1)

因?yàn)閒(x+l)=：/(x)，

當(dāng)xe[1,2)時(shí)，即x—le[0,l)時(shí),

所以H(X-1)+1]="(x-1),即fQ)=\f[x-1),

當(dāng)x-le[0,排即時(shí)，/(x)=j/(x-1)=1-2(%-1)=x-1,

當(dāng)x―16(11),即xe[|,2)時(shí)，/(x)=i/(x-1)=|[2-2(x-1)]=2-%,

X—1,XG[1.|]

所以f(x)=

2一與》€(wěn)?,2)'

當(dāng)即X6[2,|]時(shí)，/"(x)=i(x-2),

當(dāng)x-le(|,2),即xe(|,3)時(shí)，/(x)=|(3-x),

fi(x-2),xe[2,|]

所以/(%)=匕(3-乃衣嗚3)'

當(dāng)》—16[2,勺，即工€[3,3時(shí)，/(x)=i(x-3),

NN4

當(dāng)x-le(|,3),即刀66,4)時(shí)，/-(x)=；(4-x),

i(x-3),xe[3,|]

所以/(%)=

；(4-%),%e(1,4)

第10頁(yè)，共19頁(yè)

當(dāng)X-1€[3,|],即XG時(shí)，/(X)=i(x-4),

當(dāng)％—166,4),即xe6,5)時(shí)，/(x)=k5-x),

心」2-4)心晦，

t(5-x),xe(|,5)

依此類推，作出函數(shù)/(%)的圖象，如圖所示：

當(dāng)空5時(shí)，

因?yàn)閷?duì)任意xe[7n,+oo),都有/(x)<3

貝弓(5-m)W.，解得：m>^,

故選：A.

(2.x,x€[0,-]it

2

由/'(X)=4x，根據(jù)/(*+1)=；/(X),即/(X)1)，依此類推，

[2-2x,xe[-,1)22

作出函數(shù)f(x)的圖象求解.

本題考查了函數(shù)的遞推式及數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)，屬于中

檔題.

13.【答案】0.6

【解析】解：因?yàn)閄?N(6,c2),所以P(xW6)=0.5,

又P(x>3)=0.8,所以P(3<x<6)=0.8-0.5=0.3,

所以P(3<x<9)=2P(3<x<6)=0.6.

故答案為：0.6.

由題意知，P(x<6)=0.5,再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，由P(3<x<9)=2P(3<

x<6),得解.

本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3%-y+1=0

【解析】解：函數(shù)/'(x)=ex+2sinx,f'(x)=ex+2cosx,

."(0)=3,又f(0)=3

二所求切線方程為y-1=3(x-0),即3x—y+l=0；

故答案為：3x-y+1=0.

求出((x)，利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式求解切線方程即可；

本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解與應(yīng)用，曲線切線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4+2次

【解析】解：因?yàn)閟inA=V5sinC,

所以由正弦定理可得a=Me，

又B=30。，△48。的面積為75=[￡105譏8=3*75。*?*%可得c=2,a=2百，

所以由余弦定理可得匕=Va2+c2-laccosB=J12+4-2X2A/3x2Xy=2，

所以△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=2g+2+2=4+273.

故答案為：4+2V3.

由已知利用正弦定理可得a=Be,根據(jù)三角形的面積公式可求c,進(jìn)而可求a的值，利

用余弦定理可求b的值，即可得解三角形的周長(zhǎng).

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考

查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】180兀

【解析】解：由題意可知：面Z8CD〃面EFGH〃面MNPQ,

設(shè)面EMZ交平面EFGH于E/,交平面ABC。于句，

由面面平行的性質(zhì)可知，MZ//E1//AJ,設(shè)DKna/=L,

第12頁(yè)，共19頁(yè)

由面面平行的性質(zhì)可知，MZ//AJ,

因?yàn)镈K_LMZ,所以DK1A/,

因?yàn)閍DKC+乙KDC=三,乙DJL+乙KDC=p所以NDKC=皿L,

而WCK=乙4刃=*所以ADCKMADJ,所以爺=備所以哈=累，

因?yàn)?BC0為正方形，所以。：JD=BK：KC=3：1,

所以”=%=3.

也叢ZPJC3'

幾何體EFGH-MNPQ為正四棱臺(tái)，由正四棱臺(tái)的對(duì)稱性可知，幾何體EFGH-MNPQ的

外接球的球心必在平面NFHQ上，

設(shè)NQ的中點(diǎn)為?！甘琀的中點(diǎn)為。2，則球心在。在。1。2上，

由題意可知：FH=V2AB=8,NQ=近MN=4,F02=4,N01=2.

過(guò)N作NS垂直FH于S.則FS="FH-NQ)=*8-4)=2,

由勾股定理得：NS-y/FN2-NS2=J(2V2)2-22=2>所以。］。2=NS=2,

設(shè)外接球的半徑為R，。外=d,

由R=OF=ON可得：+OOl=yjNOl+00^，即+d2=j22+(d+2)2,

解得：d=2,所以R=0尸=,42+22=2后

幾何體EFGH-MNPQ夕卜接球的表面積為S=4TT/?2=807r.

故答案為：I，80?r.

(1)利用面面平行的性質(zhì)作出MZ〃句.證明出ZDCKsAAD/,得到C/：/D=BK：KC=3：

1,即可求出界=*：；

⑵先判斷出球心在面NFHQ上，設(shè)NQ的中點(diǎn)為。1，F(xiàn)H的中點(diǎn)為。2,則球心在。在口外

上.設(shè)外接球的半徑為R,。。2=d.利用半徑相等列方程，解出d,即可求出R=2遍,

計(jì)算出外接球的表面積.

本題考查了多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）根據(jù)題意得到如下2x2列聯(lián)表:

有興趣沒(méi)有興趣合計(jì)

男150125275

女25075325

合計(jì)400200600

“2600X(150X75-125X250)24800

???=---------------------------=-----?33.566>10.8o2o8o,

275x325x400x200143

???有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān).

（2）對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的一共有400人，

從中抽取8人，抽到的男生人數(shù)、女生人數(shù)分別為：8x提=3（人），8x余=5（人）,

X的所有可能取值為0,1,2,3,

P（X=。）號(hào)=親

pfv一［、—_竺

P（X-1）一點(diǎn)一56,

p（x=2）=萼=

17cl28

p（x=3）=絳=―,

1或28

故X的分布列是：

X0123

115155

P

56562828

故E(X)=0x表+lx||+2x|j+3x^=不

【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

（2）對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的一共有400人，從中抽取8人，抽到的男生人數(shù)、女生人數(shù)分別

為：8x然=3（人），8X施=5（人），X的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出對(duì)應(yīng)

的概率，即可得X分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：由&i+2=Qn+1+2Qn,bn=an+1+an.

a

得%+1=CLn+2+n+l=2(Qn+i+an)=2bn,

又瓦=Qi+a2=2H0,

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

n

(2)由(1)知，bn=2,

第14頁(yè)，共19頁(yè)

則生+2n=2、+2n,

令數(shù)列的前幾項(xiàng)和為

｛bn+2n｝Sn,

5=2+22+?-?+2n+n(2+2n)

7n12

2(2n-l),.

--------+n+nz2

2-1

-2n+1+n+n2-2.

【解析】由Q-n+ib.得匕+an+2a

(1)tin+2=+2%,n=a“+i+an1=+n+i=2(an+1+

an)=2bn,即可證明結(jié)論.

nn

(2)由(1)知，bn=2,bn+2n=2+2n,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可

得出.

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：???AC為直徑，點(diǎn)。在圓上且不同于4C點(diǎn)，：.ADJ.DC,

又???P。為母線，二PDL平面4BC。，

5LADu平面ZBCD,

從而P01AD,

又DCCPD=D,力。1平面PDC,

又PCu平面PDC,AD1.PC.

(2)解：???AD=魚，圓柱的底面直徑為2,

即AC=2；DC=V2.

又B為祀的中點(diǎn)，.?.4B=BC=VL即四邊形力BCD為正方形，.?.ZM,DC,DP兩兩相

互垂直，

以D為原點(diǎn),分別以方，而，前的方向?yàn)閤,y,z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

???P(0,0,3),4(企,0,0)，B(V2,V2,0),C(0,V2,0),

PA=(V2,0,-3)，麗=(魚,&,-3)，???麗=2證,

，所=逆=4考,_2)，

??.而=所一m=(一今竽,1),^C=(-V2,V2,0).

設(shè)平面Q4C的法向量為鉆=(x,y,z),???［絲.沆=°，.?.|一、％+等/+z=°

14c-m=0,(-V2x+V2y=0,

令％=3,??.y=3,z=—V2,Arn=(33—企)，

易知平面B4C的一個(gè)法向量為元=(0,0,-1),

.一?T\mny/2yfzy/10

二。網(wǎng)叫磔=麗==南=?

又由題知二面角8-AC-Q為銳二面角，???所求的余弦值為嘿.

【解析】(1)證明AD1DC,推出PO1平面4BCD,證明PD1AD,得到4。_L平面PDC,

即可證明401PC.

(2)以。為原點(diǎn)，分別以耐，方？，前的方向?yàn)閤,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面Q4C的法向量，平面B4C的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-

AC-Q的余弦值即可.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能

力以及計(jì)算能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可得6=￡=中，2￡1=2我,

所以c=企，b2=a2-c2=3—2=1,

2

所以橢圓G的方程為:+y2=i；

(II)設(shè)Pg,%),Q(x2,y2),

△OPQ斜邊PQ上的高為無(wú)，

因?yàn)?P1.0Q,所以O(shè)P-OQ=QPQ,

由I、］1OP2+OQ211

所以辰=而訴=/+/'

因?yàn)椤５街本€PQ的距離九為常數(shù)，

則盛+息為定值，

當(dāng)0P的斜率存在時(shí)，由題意可知，0P的斜率不為0,

設(shè)直線0P的方程為y=kx,則直線0Q的斜率為y=-\x,

(y=kx

由I/,21，可得/+31/=3,所以則op2=(1+k2)二寶,

1----pyz=1l+3/czl+3fcz

z1

yX

d---

由k21±

Kp可得+=_、，所以乃=骼?IJO(2=(I+4)E^=^^-

\y---ZK2kz44

2

訴ri1_i__J__l+3>24_p2(l+3H)+i2_3P2k2+i2+p2

OP2+OQ2~3(1+H)(l+k2)p2-3(l+fc2)p2-3fc2p2+3p2

由于盛+康為定值，

第16頁(yè)，共19頁(yè)

所以3P2=12+p2,解得p=后，

當(dāng)OP斜率不存在時(shí)，P(±V3,O),(2(O,-^p=通也符合點(diǎn)。到直線PQ的距離為常數(shù).

綜上所述，p=V6.

【解析】(I)根據(jù)離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)以及Q,匕，c之間的關(guān)系，求出a,6,c的值，即可得

到答案；

yi),Q(x2,y2),直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線0P的方程，與橢圓聯(lián)立,表示出0P2,

0Q2,然后代入計(jì)算求出p的值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入驗(yàn)證即可.

本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線

位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”

的方法進(jìn)行研究，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴/。)=e1—2ax,設(shè)g(x)=f'(x)=e^1-2ax,則g'(x)=e1—

2a,

①當(dāng)aWO時(shí)，g'(x)=ex-1—2a>0,則廣⑺在(—8,+8)上單調(diào)遞增,

②當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)=ex~1—2a=0,則x=1+ln2a,

當(dāng)工€(-8,1+，n2a)時(shí)，g'(x)<0,f'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(1+伍2a,+8)時(shí)，>0,f'(x)單調(diào)遞增,

所以尸(x)在(-8,1+/n2a)上單調(diào)遞減，在(1+伍2a,+8)上單調(diào)遞增，

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，尸(%)在(-8,1+伍20上單調(diào)遞減,在(1+m2a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ex-1—x2,f'(x)=ex-1—2x,

由⑴可知尸(x)的最小值為f'(l+加2),

而/''(1+ln2)=-2ln2<0,又/'(0)=}>。，

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在與G(0,1+m2)使得/(右)=0,

又((%)在(一8,1+仇2)上單調(diào)遞減，