專題1.10全稱量詞與存在量詞-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?葫蘆島月考）下列命題是全稱量詞命題的是（）A．有些平行四邊形是菱形 B．至少有一個整數(shù)x，使得x2+3x是質數(shù) C．每個三角形的內角和都是180° D．?x∈R，x2+x+2＝0【解題思路】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義，判斷即可．【解答過程】解：對于A，有些平行四邊形是菱形，含有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于B，至少有一個整數(shù)x，使得x2+3x是質數(shù)，含有存在量詞“至少有一個”，是存在量詞命題；對于C，每個三角形的內角和都是180°，含有全稱量詞“每個”，是全稱量詞命題；對于D，?x∈R，x2+x+2＝0，含有存在量詞，是存在量詞命題．故選：C．2．（3分）（2021春?薌城區(qū)校級期末）命題p：?x∈（0，+∞），3x+1＜0，則命題p的否定為（）A．?x∈（0，+∞），3x+1＞0 B．?x∈（0，+∞），3x+1＞0 C．?x?（0，+∞）3x+1≥0 D．?x∈（0，+∞），3x+1≥0【解題思路】命題p：?x∈（0，+∞），3x+1＜0，是一個全稱命題，其否定命題一定是一個特稱命題，由全稱命題的否定方法，我們易得到答案．【解答過程】?x∈（0，+∞），的否定形式是?x0∈∈（0，+∞），3x+1＜0的否定形式是3x+1≥0∴命題￢p：?x∈（0，+∞），3x+1≥0故選：D．3．（3分）（2021秋?天心區(qū)校級月考）已知對?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，則m的取值范圍為（）A．m≥3 B．m＞3 C．m＞1 D．m≥1【解題思路】直接求解即可．【解答過程】解：∵對?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，∴m≥3，故選：A．4．（3分）（2021秋?福建期中）若命題“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣1，+∞）【解題思路】由命題“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命題，可得方程x2﹣2x﹣m＝0有根，即判別式大于等于零，即可求出m的范圍．【解答過程】解：由題意得，方程有解，所以△≥0，而Δ＝4+4m≥0，可得m≥﹣1，故選：B．5．（3分）下列全稱命題的否定形式中，假命題的個數(shù)是（）（1）所有能被3整除的數(shù)能被6整除（2）所有實數(shù)的絕對值是正數(shù)（3）?x∈Z，x2的個位數(shù)不是2．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】（1）寫出原命題的否定形式，再舉例判斷即可；（2）寫出原命題的否定形式，再舉例x0＝0∈R，|0|＝0，不是正數(shù)，判斷即可；（3）由02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，可知?x∈Z，x2的個位數(shù)不是2，寫出其否定形式，可判斷（3）．【解答過程】解：（1）“所有能被3整除的數(shù)能被6整除”的否定形式為“?能被3整除的數(shù)不能被6整除”正確，如3，是能被3整除，不能被6整除的數(shù)，故（1）的否定形式正確；（2）所有實數(shù)的絕對值是正數(shù)，其否定為：?x0＝0∈R，|0|＝0，不是正數(shù)，故（2）的否定形式正確；（3）因為02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，所以?x∈Z，x2的個位數(shù)不是2的否定形式為：?x∈Z，x2的個位數(shù)是2，錯誤．綜上所述，以上全稱命題的否定形式中，假命題的個數(shù)是1個，故選：B．6．（3分）（2021秋?七星區(qū)校級期中）下列命題中，是真命題且是全稱量詞命題的是（）A．對任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0 B．菱形的兩條對角線相等 C．?x∈R，x2＝x D．一次函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)【解題思路】由存在性命題和全稱命題的定義，以及常用結論的應用，即可判斷．【解答過程】解：A中含有全稱量詞“任意的”，因為a2+b2﹣2a﹣2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以是假命題；B，D中在敘述上沒有全稱量詞，但實際上是指“所有的”，菱形的對角線不一定相等，所以B是假命題，C是存在量詞命題．故選：D．7．（3分）（2022?香洲區(qū)校級學業(yè)考試）若命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題思路】由命題的否定是假命題，可得該命題是真命題，利用Δ＞0求得a的取值范圍．【解答過程】解：命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1則命題“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1即Δ＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得a﹣1＞2或a﹣1＜﹣2，即a＞3或a＜﹣1；∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故選：D．8．（3分）（2021秋?沙依巴克區(qū)校級期末）下列結論中正確的個數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項，即可得答案．【解答過程】解：對于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①錯誤；對于②：命題““?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；故②正確；對于③：命題p：?x∈R，x2+2x+1≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+1＞0，故③錯誤；對于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式兩邊同除以c2便得到a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要條件；④正確；即正確的有2個，故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?市中區(qū)校級月考）下列命題中是假命題的有（）A．?x∈R，x3≥0 B．?x∈R，x3＝3 C．?x∈R，x2﹣1＝0 D．?x∈Z，1＜4x＜3【解題思路】利用全稱命題和特稱命題的定義判斷真假．【解答過程】解：對于選項A：當x＜0時，x3＜0，所以選項A是假命題，對于選項B：當x=33時，x3＝3，所以選項對于選項C：當x＝0時，x2﹣1＝﹣1，所以選項C是假命題，對于選項D：若1＜4x＜3，則14＜x＜34，所以不存在整數(shù)x使得1＜4故選：ACD．10．（4分）（2021秋?綠園區(qū)校級月考）下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四邊形 C．?x∈R，3x+2＞0 D．至少有一個整數(shù)m，使得m2＜1【解題思路】由存在量詞的概念逐一分析四個選項并判斷真假得結論．【解答過程】解：A，所有是全稱量詞，故為全稱命題；B，有些梯形是平行四邊形是含有存在量詞的命題，存在量詞是“有些”，為假命題，原因是梯形的一組對邊不平行；C，?x∈R，3x+2＞0是存在量詞命題，為真命題，如x＝1；D，至少有一個整數(shù)m，使得m2＜1是存在量詞命題，為真命題，如m＝0．故選：CD．11．（4分）（2021秋?遼寧月考）已知命題p：?x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，若p為真命題，則a的值可以為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3【解題思路】將條件轉化為對應方程有根進行求解即可．【解答過程】解：∵命題p：?x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，p為真命題，即ax2﹣4x﹣4＝0有根，當a＝0時，x＝﹣1成立，當a≠0時，需滿足Δ＝（﹣4）2﹣4×a?（﹣4）≥0，解得a≥﹣1且a≠0，∴a的取值范圍為：[﹣1，+∞），故選：BCD．12．（4分）（2020秋?江蘇期中）下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有（）A．?x0∈R，x02﹣x0+14B．所有的正方形都是矩形 C．?x0∈R，x02+2x0+2＝0 D．至少有一個實數(shù)x，使x3+1＝0【解題思路】直接利用特稱命題和全稱命題的應用，命題真假的判斷求出結果．【解答過程】解：由于是命題的否定，所以特稱命題的否定為全稱命題，全稱命題的否定為特稱命題．對于A：?x0∈R，x02﹣x0+14＜0為特稱命題，否定為“對?x∈R對于B為全稱命題，且為真命題，故否定錯誤．對于C：“?x0∈R，x02+2x0+2＝0”為特稱命題，否定為“對?x∈R，x2+2x+2＝（x+1）2+1≠0恒成立”且為真命題．對于D：為特稱命題，為真命題，故否定錯誤．故選：AC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?福清市期中）選擇適當?shù)姆枴?”“?”表示下列命題：有一個實數(shù)x，使x2+2x+3＝0：?x∈R，x2+2x+3＝0．【解題思路】根據(jù)題意，由特稱命題的定義分析可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，有一個實數(shù)x，使x2+2x+3＝0，可以用存在量詞表示，該命題可以表示為：?x∈R，x2+2x+3＝0；故答案為：?x∈R，x2+2x+3＝0．14．（4分）（2021秋?宿州期末）命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是對于任意的實數(shù)x，使得x≤1．【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求解【解答過程】解：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題：“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定：對于任意的實數(shù)x，使得x≤1；故答案為：對于任意的實數(shù)x，使得x≤1；15．（4分）（2021春?香坊區(qū)校級期中）已知命題P：?x≤3，2x﹣1≥a是真命題，則a的最大值為5．【解題思路】利用特稱命題為真命題，建立不等式關系進行求解即可．【解答過程】解：∵當x≤3時，則2x﹣1≤5．∴若命題“命題P：?x≤3，2x﹣1≥a是真命題，則a≤2×3﹣1＝5，即實數(shù)a的最大值為5，故答案為：5．16．（4分）（2021秋?荔灣區(qū)校級期中）若命題“?x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命題，則實數(shù)a取值范圍是[?3，3]【解題思路】由已知可得命題“?x∈R，3x2+2ax+1≥0”是真命題，再由判別式法求解．【解答過程】解：∵命題“?x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命題，∴命題“?x∈R，3x2+2ax+1≥0”是真命題，則Δ＝（2a）2﹣12≤0，解得?3∴實數(shù)a取值范圍是[?3，3]故答案為：[?3，3]四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春?奉賢區(qū)校級月考）判斷下列語句是不是命題，如果是，說明是全稱命題還是特稱命題．（1）任何一個實數(shù)除以1，仍等于這個數(shù)；（2）三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？（3）有一個實數(shù)x，x不能取倒數(shù)；（4）有的三角形內角和不等于180°．【解題思路】根據(jù)命題的定義以及特稱命題與全稱命題的定義，對題目中的語句進行判斷即可．【解答過程】解：對于（1），任何一個實數(shù)除以1，仍等于這個數(shù)，是命題，且是全稱命題；對于（2），三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？不是命題；對于（3），有一個實數(shù)x，x不能取倒數(shù)，是命題，是特稱命題；對于（4），有的三角形內角和不等于180°，是命題，是特稱命題．18．（6分）（2021秋?邵武市校級月考）判斷下列命題屬于全稱命題還是特稱命題，并用數(shù)學量詞符號改寫下列命題：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根；（2）存在一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一個三角形沒有外接圓；（4）實數(shù)的平方大于等于0．【解題思路】本題考查全稱命題以及特稱命題的含義以及符號表示，可以按照定義進行求解．【解答過程】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，是一個全稱命題，用符號表示為：?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根；（2）存在一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一個特稱命題，用符號表示為：?一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一個三角形沒有外接圓，是一個特稱命題，用符號表示為：?一個三角形沒有外接圓；（4）實數(shù)的平方大于等于0，是一個全稱命題，用符號表示為：?x∈R，x2≥0．19．（8分）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．（1）有理數(shù)都是實數(shù)；（2）至少有一個整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；（3）?x∈{x|x＞0}，x+1x【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)特稱命題和全稱命題的定義判斷即可．【解答過程】解：（1）命題中隱含了全稱量詞“所有的”，所以此命題是全稱量詞命題，且是真命題．（2）命題中含有存在量詞“至少有一個”，所以此命題是存在量詞命題，舉例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命題．（3）命題中含有全稱量詞“?”，所以此命題是全稱量詞命題，因為當x＝1時，x+1x20．（8分）寫出下列命題的否定，并判斷真假．（1）正方形都是菱形；（2）?x∈R，使4x﹣3＞x；（3）?x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解題思路】逐一寫出并判斷【解答過程】解：（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．（2）命題的否定：?x