第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·廣西玉林·高二期末（理））設fx是定義在R上的可導函數(shù)，若lim?→0fx0???fA．?2a B．2a C．?a D．a(chǎn)【解題思路】根據(jù)導數(shù)的定義及極限的性質(zhì)計算可得；【解答過程】解：f'故選：A.2．（5分）（2022·江西·高二開學考試（理））若函數(shù)fx的導函數(shù)為f'x，且滿足fx=2A．0 B．?1 C．?2 D．?4+2【解題思路】對fx求導，得到f'x=2f'1x【解答過程】由fx=2f'1lnx+2x，得f'x=2故選：D.3．（5分）（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解題思路】根據(jù)圖象以及導數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【解答過程】A選項，根據(jù)圖象可知，在t1B選項，根據(jù)圖象以及導數(shù)的知識可知，在t2B選項結論正確.C選項，根據(jù)圖象可知，在t2C選項結論正確.D選項，根據(jù)圖象可知，在t1在t2D選項結論錯誤.故選：D.4．（5分）（2022·湖北·高三階段練習）若直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?3與g(x)=ex+2022?2022A．10111012 B．20222025 C．20252022【解題思路】設直線y=kx+b與fx的圖象相切于點P1x1,y1，與gx的圖象相切于點P2【解答過程】設直線y=kx+b與f(x)=ex?3的圖象相切于點P1x1又f'x=所以y1=e由點P1x1由點P2x2故ex解得x1?x故k=e故選：B.5．（5分）（2022·四川自貢·一模（理））已知fx=?x2?cosx，若a=fe?34，b=fA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解題思路】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到b=fln54，c=f14，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得e?34>【解答過程】因為f(x)=?xf(?x)=?(?x)所以f(x)為R上的偶函數(shù)，當x≥0時,f'(x)=?2x+sin則g'(x)=?2+cosx，所以g(x)即f'(x)在[0,+∞所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又因為所以f(x)在(?∞又因為ln45<0,?c=f?又因為e?因為14=lne1所以lne14所以e?所以fe即a<c<b.故選：D.6．（5分）已知定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)為f'x，對任意的x滿足f'x?fx=eA．1e,+∞ B．2,+∞ C．【解題思路】構造函數(shù)gx=fxex，利用導數(shù)可得出g'x=1，可得出f【解答過程】構造函數(shù)gx=fxe所以，gx=fxe則f'x=x+c+1ex，當當x>?c?1時，f'x>0所以，fxmin=f故fx=x?2ex所以，不等式fx>0的解集是故選：B.7．（5分）（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數(shù)fx=ax?ax（a>1），且fx在A．1,2 B．1,e C．2,e 【解題思路】根據(jù)給定條件，利用零點的意義等價轉化，構造函數(shù)g(x)=xlna?lnx?ln【解答過程】a>1，x∈1,2，由f(x)=0得，ax=ax，則x依題意，函數(shù)g(x)在1,2有兩個零點，顯然g(1)=0，而g'(x)=ln則有l(wèi)na?1≤g'(x)≤lna?12，當lna?1≥0或ln即有函數(shù)g(x)在1,2只有一個零點1，因此e<a<e，此時當1≤x<1lna時，g函數(shù)g(x)在[1,1lna)上單調(diào)遞減，在要函數(shù)g(x)在1,2有兩個零點，當且僅當g(x)在(1lna,2]上有一個零點，即有所以a的取值范圍2≤a<e故選：C.8．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））設函數(shù)fx是定義域為R的增函數(shù)，且f2x+1關于1,0對稱，若不等式fa?x2A．e?1 B．5 C．e+3【解題思路】由題意令F(x)=f2x+1關于1,0對稱，有F(1+x)+F(1?x)=0，由此變換化簡得f(x)+f6?x=0，然后由fa?x【解答過程】設F(x)=f2x+1，所以F(x)關于1,0所以F(1+x)+F(1?x)=0所以f即f(3+2x)+f(3?2x)=0令t=3+2x?2x=t?3所以f(t)+f即f(x)+f所以f由不等式fa?即f?fa?因為函數(shù)fx是定義域為R所以a?x即a≥x即求a≥x設g(x)=x所以g=x=2+x令?(x)=x所以?'因為x>0，所以?'所以?(x)在x∈0,+又?(1所以?(x)在12,1上存在唯一的零點x0此時當0<x<x0時，當x>x0時，所以g(x)在0,x0單調(diào)遞減，在x所以g(x)因為x0所以lnx所以g(x)所以a≥5，所以a有最小值：5，故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·黑龍江·高二階段練習）（多選）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中的藥物濃度c（單位：mg/mL）隨時間t（單位：h）變化的關系如圖所示，則下列四個結論中正確的是（

）A．在t1B．在t2C．在[tD．在[t1,【解題思路】根據(jù)已知血管中的藥物濃度c隨時間t變化圖象，結合瞬時變化率、平均變化率的概念判斷各選項的正誤.【解答過程】A：在t1B：兩條曲線在t2C：根據(jù)平均變化率公式，可知在[t2,D：在[t1,t2]時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是故選：ACD．10．（5分）（2022·福建寧德·高三期中）已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)，若存在x0使得fx0=fA．fx=x B．fx=ex【解題思路】根據(jù)“巧值點”的定義，結合導數(shù)運算，對每個選項進行逐一判斷，即可選擇.【解答過程】對A：fx=x，則f'(x)=1，令fx=對B：fx=ex，則f'(x)=ex，因為f對C：fx=tanx，則f'(x)故fx對D：fx=1x定義域為{x|x>0}，則f'顯然fx=f'故選：AB.11．（5分）（2022·江蘇·高三期中）已知函數(shù)fx=x3?2A．函數(shù)y=fx的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)y=fx的極小值是C．當a>2時，對于任意的x>a，都有fD．函數(shù)y=fx的圖像有條切線方程為【解題思路】對函數(shù)fx=x3?2【解答過程】因為f所以f'x=3所以fx的單調(diào)減區(qū)間為?故A正確．令f'則x<?23或所以fx在?∞,?在?2所以函數(shù)的極小值為f2故選項B正確；由f'若fx即x3??x??x+2a?1故選項C錯誤．f'解的x=?1當x=?1時切點?1,?6當x=73時切點73故選項D錯誤，故選：AB．12．（5分）（2022·黑龍江·高三期中）已知函數(shù)fx=2lnA．當a=1時，x=1是y=fxB．當a>1e時，C．當a<12eD．若x1,x2是關于x【解題思路】對于A，代入a=1后對fx求導，利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系即可得證；對于B，構造函數(shù)gx=lnxx2【解答過程】對于A，當a=1時，fx=2ln令f'x>0，得0<x<1；令f所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1所以x=1是y=fx對于B，令fx=2ln令gx=ln令g'x=0故當x∈0,e，g'x>0，gx單調(diào)遞增；當所以gx因為a>1e，所以a2>12e，故對于C，令a=0，則fx=2lnx，令fx對于D，因為x1,x2是關于所以2lnx1所以問題等價于lnt=at有兩個零點t1,不妨設t1>t2>0要證t1t2即只需證明：lnt只需證明：lnt1?令m=t只需證明：lnm>令sm則s'm=m?12又s1=0，所以sm綜上所述，原不等式成立，即x1故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·廣東·高二階段練習）酒杯的形狀為倒立的圓錐(如圖)，杯深8cm，上口寬6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，當水深為4cm時，水升高的瞬時變化率為809πcm【解題思路】利用體積公式計算得到?=1280t3π13，再求出水深為【解答過程】由題意，設t時刻水面高為?，水面圓半徑為r,則r?=此時水的體積為13又由題設條件知，此時的水量為20t，故有20t=3π64??'當水深為4?cm，對應的時間為t0?'t=t所以當水深為4cm時，水升高的瞬時變化率為809π故答案為：809π14．（5分）（2022·全國·高二專題練習）已知2fx+xf'x=2xcos2x+2【解題思路】在題中等式兩邊同乘x可得x2fx'=x2sin2x+【解答過程】因為2fx所以，2xfx即x2fx因為x>0，則fx所以，fπ2=1+cπ因此，fπ故答案為：2.15．（5分）（2022·廣東·高三階段練習）已知函數(shù)fx①當fx有三個零點時，b的取值范圍為?②gx③設fx的極大值為M，極小值為m，若M+m=2，則b=2④若過點P1,1可以作fx圖象的三條切線，則b的取值范圍為其中所有正確說法的序號為①②④.【解題思路】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理判斷①，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷②，結合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，判斷③，結合導數(shù)的幾何意義判斷④.【解答過程】因為fx=?1所以當x>1時，f'x<0，函數(shù)f當?1<x<1時，f'x>0，函數(shù)f所以當x<?1時，f'x<0，函數(shù)f又f'?1=f'1=0，所以函數(shù)fx在當fx有三個零點時，則?23+b<0,2gx=fx?b=?由?23+b+23設切點為x0則切線的斜率為?x02設?x=?2令?'x<0，解得x<0或x>1；令?可得?x在?∞,0和1,+∞上是減函數(shù)，在0,1上是增函數(shù)，可知?x要使?23x03+x02故所有正確說法的序號為①②④.故答案為：①②④.16．（5分）（2022·四川省高三階段練習（理））已知函數(shù)f(x)=lnxx,g(①當k>0時，x②當k>0時，③當k<0時，x④當k<0時，x2【解題思路】根據(jù)f'(x)可求得f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，則可畫出f(x)的圖像；利用同構可知f(x1)=g【解答過程】解：①f'令f'(x)>0得0<x<e，令f'(x)<0得x>e，f作圖如下：當k>0時，由f(1)=0知：若?x1∈當k<0時，若?x1∈(0,+∞)由g(x)=令g'(x)>0得x<1，g令g'(x)<0得x>1，g作出g(當k>0時，由g(0)=0知：若?x2∈當k<0時，若?x2∈R∴當k>0時，x1+②當k>0時，由fx1=g∴x1,e作出y=由圖象易知：x1或ex2均可趨向于+∞③當k<0時，由①的討論知：x2<0∴x1+④當k<0時，此時x1∈(0,1)，由∴x2=ln∴要求x2x1令?(k)=令ek+kek=0，解得：k=-1，易知k故答案為：①③④．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·全國·高二課時練習）已知三個函數(shù)f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.（1）指出三個函數(shù)在[0，＋∞)上的單調(diào)性；（2）取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.求三個函數(shù)分別在區(qū)間[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均變化率(列成表格即可)；（3）分析三個函數(shù)在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4，…)上隨自變量的增加，其平均變化率的變化情況.【解題思路】（1）利用一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解答；（2）計算平均變化率填表；（3）根據(jù)（2）的表格數(shù)據(jù)分析平均變化率的變化情況.【解答過程】(1)根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知.函數(shù)f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在[0，＋∞)上都是增函數(shù).(2)列表：函數(shù)ΔyΔx[0,2][2,4][4,6][6,8]f1(x)＝2x2222f2(x)＝x2261014f3(x)＝2x362496(3)由上表可知：函數(shù)f1(x)＝2x隨著自變量的增大，在自變量增量Δx的條件下，各區(qū)間上的函數(shù)平均變化率都相等，這說明函數(shù)呈勻速增長狀態(tài)；函數(shù)f2(x)＝x2在各區(qū)間上的平均變化率不相等，并且越來越大，這說明函數(shù)值隨自變量增長的速度越來越快；函數(shù)f3(x)＝2x在各區(qū)間上的平均變化率不相等，并且越來越大，這說明f3(x)的函數(shù)值隨自變量增長的速度越來越快，并且比f2(x)的增長速度快的多.18．（12分）（2022·全國·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=2(2)y=1?2x(3)y=ln(4)y=cos(5)y=sin(6)y=2【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)復合函數(shù)的求導法則和基本函數(shù)的求導公式逐個求解即可.【解答過程】（1）函數(shù)y=23x+1可以看作函數(shù)y=2∴yx'=（2）函數(shù)y=1?2x3可以看作函數(shù)y=u∴yx'=（3）函數(shù)y=ln2x+1可以看作函數(shù)y=ln∴yx'=（4）函數(shù)y=cosx3可以看作函數(shù)y=∴yx'=（5）函數(shù)y=sin3π2?3x可以看作函數(shù)∴yx'=（6）函數(shù)y=22x+1可以看作函數(shù)y=2∴yx'=19．（12分）（2022·山東·高三階段練習）已知函數(shù)fx(1)當a=3時，求曲線y=fx在點1,f(2)若a<0，討論y=fx【解題思路】（1）先將a=3代入得到y(tǒng)=fx，并求出f（2）先求出y=fx的導函數(shù)并進行因式分解，可得到一個含參的二次式，然后對參數(shù)進行分類討論即可得到函數(shù)y=f【解答過程】（1）因為a=3，所以fx=x因為f'x=3又因為切線方程過點1,1，所以切線方程為y?1=6x?1，即6x?y?5=0故當a=3時，曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為（2）因為fx=1f'令f'x=0，解得x=?2當1a=?2時，即a=?1所以函數(shù)y=fx在區(qū)間?當1a<?2，即令f'x<0，解得x<1a或x>?2，所以函數(shù)y=f令f'x>0，解得1a<x<?2當1a>?2，即令f'x<0，解得x<?2或x>1a，所以函數(shù)y=f令f'x>0，解得?2<x<1a綜上所述，當a=?12時，函數(shù)y=fx當?12<a<0時，函數(shù)y=fx在區(qū)間?∞當a<?12時，函數(shù)y=fx在區(qū)間?∞,?220．（12分）（2022·四川高三期中）已知函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設F(x)=f(x)?x2+ax2+1(a<0)有兩個不同的零點x【解題思路】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；(2)利用導數(shù)研究函數(shù)F(x)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)F(x)max，得x0=?a；設?(x)=lnx?x(x>0)，利用導數(shù)研究函數(shù)?(x)的單調(diào)性求出?(x)max，可得lnx<x，有【解答過程】（1）由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞f'令f'(x)<0?0<x<1，令所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，無極大值，且極小值為f(1)=1；（2）F(x)=x2?2F'令F'(x)>0?0<x<?a所以函數(shù)F(x)在(0,?a)上單調(diào)遞增，在故F(x)所以x0=?a又函數(shù)F(x)在(0,+∞)上有2個零點所以F(x)max=F(設?(x)=lnx?x(x>0)，則令?'(x)>0?0<x<1，令所以函數(shù)?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞故?(x)max=?(1)=?1<0，即?(x)<0所以2F(x又F(x1)=?2兩式相減，得?1a=要證?2a<即證lnx22令x22x設g(t)=lnt?2(t?1)所以函數(shù)g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，有即lnt>2(t?1)t+1在(1,+綜上，2F(x21．（12分）（2022·河北·高三階段練習）已知函數(shù)fx(1)若a≤0，討論fx(2)若0<a<（i）證明fx（ii）設x0為fx的極值點，x1為fx的零點且【解題思路】（1）對函數(shù)求導，利用導函數(shù)在定義域內(nèi)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（i）根據(jù)解析式可知：f(0)=0，然后結合（1）對導函數(shù)再次求導，判斷導函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理可得函數(shù)f(x)在0,+∞（ii）由f'x=0得到1a=x0+12【解答過程】（1）由題意可知：函數(shù)f(x)的定義域為?1,+∞則f'當a≥時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在（2）（i）由題意可知：f(0)=0，由（1）知：f'則f″(x)=?1(x+1)2當x∈(?1,0)時，f'(x)>f'(0)=1?a易證當x∈(?1,+∞)時，ln(x+1)≤x下證：當x∈(?1,+∞)時，令g(x)=ln(x+1)?x，則當?1<x<0時，g'(x)>0；當x>0時，所以g(x)