大題規(guī)范滿分練(三)數(shù)列綜合問題

1.已知數(shù)列QJ中，a=2,S為數(shù)列｛4｝的前〃項和，當時，

Sn~~~43.n—|?

(1)證明：數(shù)列｛為+「2%｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛&，｝的通項公式.

【解析】(1)因為當〃22時，S=4a〃_i,所以S+i=4a〃,

兩式4相減，得a+i=4&-4aL1,

即&+T-24=2(4一28LI).

易知&+必=4方1,又a=2,所以a=6,

則3.2—2al=2,

所以｛a“+i—2aj是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由(1)得a〃+|-2a“=2”,則融?一關(guān)=1，

所以梟是首項為奪=1,公差為;的等差數(shù)列，

乙乙乙

得垓=1+(〃-1)xg=^~2^~，

所以a=—

2.已知數(shù)列｛4｝的前n項和為$,且5=洛數(shù)列｛4｝的前n項積為T..,且北=(十)

⑴求｛a｝,｛〃｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛a點｝的前〃項和優(yōu)

【解析】(1)〃=1時,a=S=l；

=

時，anSff—Sfl-i=n—(〃-1)'=2〃-1,

經(jīng)檢驗，當〃=1時，滿足4=2〃-1,因此a=2〃一L

n=l時,"=71=3；

A22時，bn=Y-=虛)"：=(m)2〃=3",

4-i(73)(n-l)+n-1

=

經(jīng)檢驗，當n=1時，滿足4=3",因此bn3\

⑵由⑴知a,a=(2〃-1)義3",

7^,=1X3+3X32+5X3:!H---F(2/7-1)X3",

3M=1X32+3X33+5X34H----1-(2/?-3)33"+(2n-1)X3n+1,兩式相減得-2K=3+

/\9—

2(32+33+3'H---F3")-(2/7-1)X3fi,'=3+2X^-^-——(2)一1)X3n+,=-6-(2/7-2)X

1-o

3"T,故必=3+(〃-1)X3"1

3.在數(shù)列｛a｝,⑻中，已知數(shù)列｛1｝的前〃項和S滿足2s“=&也一1(〃eN+)

(1)若勿=〃+2,求數(shù)列｛4,｝的通項公式;

⑵若a“=2",求數(shù)歹1|｛4｝的前〃項和T,,.

【解析】(1)因為勿=〃+2,

所以2S=(〃+2)&一1,

當〃=1時,2&=3國-1,得a=1,

當時，2sLi=(4+1)4-1-L

又因為2S=(〃+2)an—1,

兩式相減得：2&=(〃+2)&—

所以〃a“=(〃+1)a,-i，即旦'=〃+1

n

所以生=14曲54_n+_\_

34，

32，a3n

345〃+1A+1

由累乘法可黨=■—XTx-X-X----

234n2

因為a=l,所以a=”工，

經(jīng)檢驗，〃=1時也符合，所以4=號

2(1—2")

⑵因為&=2",所以$=一^=2—2,

3

所以2(2*—2)=2乜-1,可得乩=4—亍,

所以北=(4—|)+(4—同+…+(4—同

="-3(瀉+…司

,3

=4/7—3X=4z?+——3.

X乙

1-2

4.已知數(shù)列｛4｝的首項a=l,前〃項和為S,且數(shù)列樣是以1為公差的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列」一〔的前〃項和北；

（2）設等比數(shù)列匕｝的首項為2,公比為q（q>0）,其前〃項和為P?,若存在正整數(shù)加,使得近

是S,與A的等比中項，求q的值.

CC

【解析】（1）由題設可得：-=7十〃-1=〃，

n1

2

即S,=/A又當〃22時，a=S,—Sfl-\=ri—（/?-1）=2/i—1,當〃=1時，句=1也適合上式,

所以a“=2〃-1,w=（2/7-1）（2/7+1）=

2J—2〃+1），所以北=

I（1-鴻-*，+出-藻I）

」k__O_^_

一212/7+1J-=2/7+1,

（2）由（1）可知:S“=3

因為4&是S與A的等比中項，

所以S=S-R,則9=石（2+20+2（72）,

9Q

所以p=2+2q+2/,因為g>0,所以p>2,

mm

因為/WN*,所以加=1或2,

當勿=1時，2