專(zhuān)題14空間向量與立體幾何一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1空間向量的概念及有關(guān)定理1、空間向量的有關(guān)概念（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共線向量(或平行向量)：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2、空間向量的有關(guān)定理（1）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得.（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得，其中，叫做空間的一個(gè)基底．知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)向量的數(shù)量積及其運(yùn)算1、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，其范圍是[0，π]，若，則稱(chēng)與互相垂直，記作.②非零向量，的數(shù)量積．（2）空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：；②交換律：；③分配律：.2、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)，，向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積共線，，垂直模夾角知識(shí)點(diǎn)3空間中的平行與垂直的向量表示1、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱(chēng)此向量為直線l的方向向量．（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量，則向量叫做平面α的法向量．2、空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為，直線l的方向向量為，平面α的法向量為平面α，β的法向量分別為，知識(shí)點(diǎn)4利用空間向量求空間角1、異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則，其中，分別是直線a，b的方向向量．2、直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則.3、二面角（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量與的夾角，如圖a.（2）平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為，平面β的法向量為，，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則，如圖b，c.知識(shí)點(diǎn)5利用空間向量求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2、點(diǎn)到平面的距離已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（如圖）.3、線面距和面面距線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。（1）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（2）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。一、用基向量表示指定向量的方法（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái)．【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，則（）A．B．C．D．【典例2】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四面體中，，點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【典例3】（2023秋·福建廈門(mén)·高三?？茧A段練習(xí)）在三棱錐PABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若，，，則=（）A．B．C．D．二、證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過(guò)點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【典例1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【典例2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．（1）求證：、、三點(diǎn)共線；（2）若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四棱柱中，，．（1）當(dāng)時(shí)，試用表示；（2）證明：四點(diǎn)共面；【典例4】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；三、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用1、求夾角：設(shè)向量，所成的角為，則，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；2、求長(zhǎng)度（距離）：運(yùn)用公式，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題；3、解決垂直問(wèn)題：利用，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若為非零向量，，則與一定（）A．共線B．相交C．垂直D．不共面【典例2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，底面，側(cè)面都是正方形，且二面角的大小為，，若是與的交點(diǎn)，則（）A．B．C．D．3【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正三棱柱中，，，，，.（1）試用，，表示；（2）求異面直線與所成角的余弦值.四、利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系1、利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．證明：平面；【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點(diǎn)，已知，．（1）求證：；（2）求證：平面平面．五、用向量法求異面直線所成角的一般步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．【典例1】（2023秋·江西撫州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）在正方體中，是棱上一點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【典例2】（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【典例3】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐內(nèi)接于圓柱，為的中點(diǎn)，和為圓柱的兩條母線，，四邊形為正方形，平面與平面的交線平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為．六、用向量法求解直線與平面所成角的方法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l與平面α所成的角為φ，向量與的夾角為θ，則有.【典例1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，對(duì)角線與平面交于點(diǎn)．則與面所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.求直線與平面的夾角.【典例3】（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，AC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．七、利用向量法解二面角問(wèn)題的策略1、找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）A．－B．C．－D．【典例2】（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在四棱錐中，平面平面，側(cè)面是等邊三角形，，，在棱上，且滿足.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量點(diǎn)撥：在進(jìn)行空間向量相關(guān)概念判斷時(shí)，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則向量共面；④已知空間的三個(gè)向量，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)使得其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【典例2】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A．向量，，若，則B．若空間向量、、，滿足，，則C．對(duì)于空間向量、、，滿足，，則D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若，則P、A、B、C四點(diǎn)共面易錯(cuò)點(diǎn)2忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同點(diǎn)撥：兩異面直線所成角的范圍是。兩向量的夾角的范圍是，需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系?！镜淅?】（2022·安徽安慶·?？既＃┮阎逼叫辛骟w中，，則直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0易錯(cuò)點(diǎn)2線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問(wèn)題點(diǎn)撥：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cos<,>|。容易出錯(cuò)的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對(duì)值；③不清楚線面角的范圍?！镜淅?】（2023秋·四川眉山·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形是矩形．（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）