13.4課題學習最短路徑問題（第1課時）八年級數學上冊1.軸對稱性質：對應角______

對應線段________對應點連成的線段被對稱軸_________2.軸對稱變換特點：軸對稱變換不改變圖形的_______和_______，只改變圖形的___________。請?zhí)羁眨合嗟认嗟却怪逼椒中螤畲笮∥恢脺毓手聝牲c之間線段最短如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？

例一：某開發(fā)區(qū)新建了兩片住宅區(qū):A區(qū)、B區(qū).現在要從煤氣主管道的一個地方建立一個接口,同時向這兩個小區(qū)供氣.請問：（1）如圖1，這個接口應建在哪,才能使得所用管道最短?（畫圖寫作法和證明）（2）情形如圖2呢？

l·B·A圖1l·A·B圖2探究新知

選的點距離之和·A·Bl1.在l上任選4個點，量量、算算每個點到點A和B的距離之和分別是多少（厘米），完成下表。2.發(fā)現什么規(guī)律3.演示試驗探究.gsp4.猜想此題的作法5.證明你的猜想。

探究上面第3個問題·B·

Al·A′·

C

作法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交l于C點。AC+BC最小，點C就是所求。第2問參考答案·B·Al·A′·C·D圖3第2問參考答案證明：在直線l上任取一點D，連接AD，BD，A′D?！唿cA與A′關于l對稱，∴直線l______線段AA′∴AC=_____，AD=______∴AC+BC=_____+BC=A′B,AD+BD=_____+BD又∵A′D+BD﹥A′B()∴AC+BC最小。·A圖3·B·Al·A′·C·D另證明：在直線l上任取一點D，連接AD，BD，A′D∵點A與A′關于l對稱，

點C與點C關于L對稱∴線段AC與A′C關于直線l對稱，∴AC=A′C，同理AD=A′D∴AC+BC=A′C+BC=A′B,AD+BD=A′D+BD又∵A′D+BD﹥A′B，∴AC+BC最小。

1.作對稱點的作用是什么？2.本題有不同作法嗎，符合要求的點唯一嗎？3.本題運用了哪些數學思想方法？答:1.把點、線段“轉移”到直線的另一側,使兩條線段“接”成一條線段.2.不同方法是作點B關于直線l的對稱點B′，連結AB′,交l于點E．點C與點E重合.3.轉化、數形結合、變換思想。

·B·Al·A′（E）·B′··C解題后總結反思鞏固練習．P．Q．P．Q．P．Q．P．QllllMMMM∟∟∟∟A.B.C.D.1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊，欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）

2.如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q在直線BC的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋ABA′

3.如圖，EFGH是矩形的臺球桌面，有兩球分別位于A、B兩點的位置，試問怎樣撞擊A球，才能使A球先碰撞臺邊EF反彈后再擊中B球？EFGH解：1．作點A關于EF的對稱點A′

2．連結A′B交EF于點C則沿AC撞擊黑球A，必沿CB反彈擊中白球B。CA．B．mnAOBPMNFE5．如圖，點P在∠AOB的內部，點M、N分別是點P關于直線OA、OB的對稱點，線段MN分別交OA、OB于點E、F，若△PEF的周長是20cm，則線段MN的長是_____cm.5.如圖,某公路(x軸)的同一側有A、B、C三個村莊,要在公路邊建一貨棧,向三個村莊運送農用物資,路線是D-A-B-C-D或D-C-B-A-D.

y1B

．C．x1234012345-1-2A．在公路邊是否存在一點D,使送貨路程之和最短?若存在,請畫出點D的位置并寫出點D的坐標,若不存在說明你的理由.河ABML例二：如圖Ａ為馬廄，Ｂ為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷．請你幫他確定這一天的最短路線．拓展探究N草地

解：分別作點A、B關于直線MN和NL的對稱點A′、B′,連接A′B′,與直線MN和NL分別相交于點C、D,則路線ACDB就是所求。河ABMLN草地A′··B′·CD·

例二參考答案總結與反思：例一與例二解法的相同和不同分別是什么？

河流中有一三角形的小島,岸與小島有橋相連.準備在小島的三邊上各選一個水質取樣點.觀測站每天派專人步行去取樣,然后帶回去化驗.點D是一個取樣點。請問,另外兩個取樣點應分別設在什么位置,才能使每天取樣所用時間最短(假設速度一定)?ACD觀測站·B能力提升

現在假設點A,B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？根據“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.解：連接AB,與直線l相交于一點C.探究新知問題1：AlBC如果點A,B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決所走路徑最短的問題？【思考】對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′.探究新知問題2：作法：（1）作點B

關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探究新知ABlB′C你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．探究新知問題3：ABlB′CC′例1如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4

D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.而CE=AD.B最短路徑問題的應用探究新知素養(yǎng)考點1探究新知方法點撥此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關鍵，而后將求線段長的和轉化為求某一線段的長，再根據已知條件求解.1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（）D鞏固練習PQlAMPQlBMPQlCMPQlDM2.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點即為該點.鞏固練習例2如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點關于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA探究新知探究新知方法點撥求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.3.如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設計出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.鞏固練習

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM利用平移知識解決造橋選址問題探究新知知識點2BA●●

?NMNNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定橋的位置，才能使A到B的路徑最短呢？探究新知M【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮ探究新知BAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.探究新知BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？探究新知BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉化為AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1轉化為AA1＋A1N1+BN1.在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN.探究新知A·BMNECD證明：由平移的性質，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為

AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.探究新知解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.探究新知方法點撥4.牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.A′B′PQ....鞏固練習連接中考

如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF解析：如圖，連接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴當點E，P，C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，此時，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于線段AF的長．D鞏固練習1.如圖，直線m同側有A、B兩點，A、A′關于直線m對稱，A、B關于直線n對稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點，

Q是m上到A、B距離相等的點.

B．Q是m上到A、B距離之和最短的點，

P是m上到A、B距離相等的點.

C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點.

D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點.A基礎鞏固題課堂檢測.2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30A基礎鞏固題課堂檢測3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河1000基礎鞏固題課堂檢測4.如圖，邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點P．xyOBAB'P解析：作出點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，點P就是所求的點.課堂檢測如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD′,EE′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南