考點8空間幾何中平行與垂直的綜合應(yīng)用命題分析考向趨勢直線與平面平行、垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容,涉及線線、線面、面面平行與垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容.主要以解答題的形式出現(xiàn),解題要求有較強的推理論證能力,廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想以多面體(特別是棱柱、棱錐或其簡單組合體)為載體,考查空間中平行與垂直的證明,常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中,考查空間想象能力、推理論證能力及計算能力,屬中低檔問題【母題】(2021年全國Ⅲ卷,文T19)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當AB=BC時,EF⊥AC;(2)點C1在平面AEF內(nèi).【拆解1】如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱DD1,BB1上的動點,證明:EF⊥AC.【拆解2】如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1,那么以下說法正確的選項是().A.EF=4B.EF與平面ABCD所成角的正弦值為1C.AE⊥AFD.△AEF是等腰三角形【拆解3】如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.那么過A,E,F三點的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的幾何圖形是().A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四邊形【拆解4】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1,那么過A,E,F三點的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的幾何圖形的面積是.

1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,四邊形BCC1B1是矩形,E,F,G分別為BC,A1B1,A1C1的中點.求證:(1)BC⊥AC1;(2)點G在平面EFC內(nèi).2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,D,E分別為AC,BB1的中點.證明:(1)BD⊥AC1;(2)AC1與A1C的交點O在平面BDE內(nèi).1.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明空間平行、垂直關(guān)系的主要思想是轉(zhuǎn)化,即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.2.垂直、平行關(guān)系的證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.3.在點、線、面的位置關(guān)系的證明中,有些問題比較難,找不到證明思路,可以從拆圖入手或從待證結(jié)論入手,將問題分解成幾個簡單的問題求解.1.(2021屆黑龍江省鶴崗市一中月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥CD,CD⊥AC,過CD的平面分別與PA,PB交于點E,F.(1)求證:CD⊥平面PAC.(2)求證:AB∥EF.2.(2021年安徽皖南八校聯(lián)考)如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AA1=AC=2BD=4,F,Q分別是棱BB1,DD1的中點,E,P分別是棱AA1,CC1上的點,且AE=C1P=1.求證:(1)平面ACP⊥平面BDP;(2)EF∥平面BPQ.3.(2021年江蘇省南通市模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,AB⊥BC,N是線段A1B的中點.(1)求證:直線AN⊥平面A1BC.(2)假設(shè)點M在線段BC1上,且MN∥平面A1B1C1,求證:M是線段BC1的中點.4.(2021年山東日照高三月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AA1=2AB,D是AB的中點.(1)求證:BC1∥平面A1CD.(2)假設(shè)點P在線段BB1上,且BP=14BB1,求證:AP⊥平面A15.(2021年江西省高三模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,E為AC的中點,且AC=2BE.(1)證明:BC⊥平面PAB.(2)假設(shè)PA=AB=BE=2,求點C到平面PBE的距離.6.(2021年遼寧省沈陽市高三模擬)如圖,在四邊形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,以BD為折痕把△ABD折起,使點A到達點P的位置,且PC⊥BC.(1)證明:PD⊥平面BCD.(2)假設(shè)M為PB的中點,PD=2CD,三棱錐P-BCD的外表積為6+22+23,求三棱錐P-MCD的體積.7.(2021年廣東省珠海市三模)如下列圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,平面CDEF⊥平面ABCD,且四邊形CDEF為矩形,BC=2AD=2,CF=23,AB=13,BE=26.(1)求證:AD⊥平面BDE.(2)求點D到平面BEF的距離.8.(2021年江蘇省高三模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,E為側(cè)棱PD的中點,O為AC與BD的交點.(1)求證:OE∥平面PBC.(2)假設(shè)平面PAD⊥平面ABCD,AC=4,AB=5,sin∠ABC=45,求證:AC⊥考點9空間幾何中的翻折問題和探索性問題命題分析考向趨勢在探索性問題中,考查熱點是空間中的平行與垂直關(guān)系的判斷與證明.題型以解答題為主,要求有較強的運算能力,會應(yīng)用函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.將平面圖形翻折成空間圖形,是高考中的一種常見題型,也是高考?？伎键c此題型主要考查:(1)探索點的存在性;(2)探索平行或垂直關(guān)系;(3)由結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題;(4)翻折后空間關(guān)系的證明;(5)翻折中的探索性問題【母題】(2021年全國Ⅲ卷,文T19)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.【拆解1】圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2所示,求證:A,C,G,D四點共面.【拆解2】圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2所示.那么平面ABC與平面BCGE的位置關(guān)系是.(填:相交但不垂直、垂直)

【拆解3】圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2所示.過點E作EH⊥BC,垂足為H,那么EH=.【拆解4】如圖,ADEB是矩形,AB⊥BC,BEGC是菱形,∠EBC=60°,M是GC的中點,求證:GC⊥DM.【拆解5】圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2所示,那么四邊形ACGD的面積為.

1.矩形ABCD,AB=2BC=2,E,F分別為DC,AB的中點,點M,N分別為DB的三等分點,將△BCD沿BD折起,連接AC,AE,AM,ME,CF,CN,FN.(1)求證:平面AEM∥平面CNF.(2)當AE⊥BC時,求△ABC的面積.2.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中點,平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行.(1)判斷平面α截正方體所得的多邊形的形狀;(2)假設(shè)正方體的棱長為2,求平面α截正方體所得的多邊形的面積.1.解決平面圖形的翻折問題,關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變“性〞與“量〞,即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長度等.2.探究性問題、翻折性問題難度較大,求解時,可以通過拆圖、拆條件、拆解結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為簡單易求的問題.1.(2021屆福建省龍巖市高三質(zhì)檢)如圖1,菱形AECD的對角線AC,DE交于點F,點E為線段AB的中點,AB=2,∠BAD=60°,將△ADE沿線段DE折起到△PDE的位置,PC=62,如圖2所示(1)證明:平面PBC⊥平面PCF;(2)求三棱錐E-PBC的體積.2.(2021屆江西省南昌市八一中學(xué)三模)如圖,在三棱錐P-ABC中,底面△ABC是邊長為2的正三角形,PA=2,PA⊥底面ABC,點E,F分別為AC,PC的中點.(1)求證:平面BEF⊥平面PAC.(2)在線段PB上是否存在點G,使得三棱錐B-AEG的體積為36?假設(shè)存在,確定點G的位置;假設(shè)不存在,請說明理由3.(2021屆甘肅西北師大附中高三模擬)如圖1,在平行四邊形ABCD中,AD=4,AB=22,∠DAB=45°,E為邊AD的中點,以BE為折痕將△ABE折起,使點A到達P的位置,得到如圖2所示的幾何體P-EBCD.(1)證明:PD⊥BE.(2)當BC⊥平面PEB時,求三棱錐C-PBD的體積.4.(2021屆福建省漳州市高三第三次質(zhì)檢)圖1是由△PB1C和△PB2C組成的一個平面圖形,其中PA是△PB1C的高,PB1=PB2,PA=AB1=2,AC=22,將△PB1A和△PB2C分別沿著PA,PC折起,使得B1與B2重合于點B,G為PC的中點,如圖2所示.(1)求證:平面PAC⊥平面ABC.(2)假設(shè)CB2=2,求點C到平面ABG的距離.5.(2021屆福建省莆田市高三聯(lián)考)如圖,正方形ABCD的邊長為22,以AC為折痕把△ACD折起,使點D到達點P的位置,且PA=PB.(1)證明:平面PAC⊥平面ABC.(2)假設(shè)M是PC的中點,設(shè)PN=λPA(0<λ<1),且三棱錐A-BMN的體積為89,求λ的值6.(2021屆江西省南昌市新建一中適應(yīng)性考試)如圖,四邊形ABCD為矩形,△ABE和△BCF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠BCF=∠DAE=90°,EA∥FC.(1)求證:ED∥平面BCF.(2)假設(shè)BCAB=λ,是否存在實數(shù)λ,使得棱錐A-BDF的高恰好等于33BC?假設(shè)存在,求出λ的值;假設(shè)不存在,7.(2021屆北京市高三質(zhì)檢)如圖,在△ABC中,AC⊥BC,∠BAC=30°,AB=4,E,F分別為AC,AB的中點,△PEF是由△AEF沿直線EF翻折得到的,連接AP,BP,CP.(1)證明: