三年后負債600元.求每人每年收入多少?3.試確定等式la≠0)成立的條件.4.一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程.5.若兩個三角形有一個角對應相等.求證：這兩個三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比.6.證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù).,都是整數(shù)，且p>1,q>1,8.若兩個整數(shù)x,y使x+xy+y能被9整除，證明：x和y能被3整除.9.如圖1-95所示.在四邊形ABCD中，對角線AC,BD的中點為MN,MN的延長線與AB邊交于P點.求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半即解答：1.設每人每年收入x元，甲每年開支所以x=5000(元).圖1-106所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24.≥a>0或b≤a<0時，等式成立.4.設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則①②有③由①有y=12-x.將之代入③得2x+12-x=20.即①②6.設p=30q+r,O≤r<30.因為p為質(zhì)數(shù)，故r≠0,即0<r<30.假設r為合數(shù)，由于r<30,所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2,3,5.再由p=30q+r知，當r的最小質(zhì)約數(shù)為2,3,5時，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾.所以，r一定不是合數(shù)7.設①可知m<4.由①,m>0,且為整數(shù)，所以m=1,2,3.下面分別研究p,解得p=1,q=1,與已知不符，舍去.因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解故而3|(x-y).因為3是質(zhì)數(shù)，故3|(x-y).進而9|(x-y).由上式又可知，9|3xy,可得，3|x.9.連結AN,CN,如圖1-103所示.因為N是BD的中點，所以圖1-103另一方面因此只需證明由于M,N分別為AC,BD的中點，所以初一奧數(shù)題二2.某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件.試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤?最大利潤是多少元?3.如圖1-96所示.已知CB⊥AB,CE∠2=90°.求證：DA⊥AB.4.已知方程組平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+一個學生解題時把c抄錯了，因此得到的解為求a+b+c的值.5.求方程|xyl-|2x|+ly|=4的整數(shù)解.王平買了年利率7.11%的三年期和年利率為7.86%的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少?(一年期定期儲蓄年利率為5.22%)7.對k,m的哪些值，方程組至少有一組解?8.求不定方程3x+4y+13z=57的整數(shù)解.9.小王用5元錢買40個水果招待五位朋友.水果有蘋果、梨子和杏子三種每個的價格分別為20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋果并且2.原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4+x)元，但y=(4+x)(100-10x)=400+100x-40x-10x=-10(x-6x+9)+90+400=-10(x-3)+490所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元.3.因為CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90(圖1-104),所以圖1-104∠ADC+∠BCD=180°,所以AD//BC.①又因為AB⊥BC,②由①,②AB⊥AD.4.依題意有所以(|x|+1)(|y|-2)=2.因為|x|+1>0,且x,y都是整數(shù)，所以所以有6.設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則因為y=35000-x所以1.3433x+48755-1.393x=47761,所以0.0497x=994,,所以當k≠1,m為一切實數(shù)時，方程組有唯一解.當k=1,m=4時，①的解為一切實數(shù)，所以方程組有無窮多組解.當k=1,m≠4時，①無解.所以，k≠1,m為任何實數(shù)，或k=1,m=4時，方程組至少有一組解.8.由題設方程得其中n,m取任意整數(shù)值.9.設蘋果、梨子、杏子分別買了x,y,z個，則消去y,得12x-5z=180.它的解是x=90-5t,z=180-12t.代入原方程，得y=-230+17t.故x=90-5t,y=-230+17t,z=180-12t.因此，小王的愿望不能實現(xiàn)，因為按他的要求，蘋果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20個.1.解關于x的方程其中a+b+c≠0.3.求(8x-6x+4x-7)(2x-3)的展開式中各項系數(shù)之和.4.液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農(nóng)藥的濃度為72%,求桶的容量.的取值范圍.7.甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時到東站，乙經(jīng)過16小時到西站，求兩站距離.8.黑板上寫著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1,這樣繼續(xù)下去，最后得到19,1997,1999,問原來的三個數(shù)能否是2,2,2?9.設有n個實數(shù)x,x,…,x,其中每一個不是+1就是-1,且求證：n是4的倍數(shù).1.化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab,當a≠1時，當a=1,,x為任何實數(shù)；當a=1,b≠時，無解.2.將原方程變形為3.當x=1時，(8-6+4-7)(2-1)=1.即所求展開式中各項系數(shù)之和為14.設桶的容量為x升，第一次倒出8升加水后，濃度應為,第二次倒出4升混合溶液中有純農(nóng)藥4升；最后桶中有農(nóng)藥x·72%.即依題意得不能倒出8升，所以不合題意舍去.又因為x為自然數(shù)，所以O≤0.23x<1,經(jīng)試驗，可知x可取1,2,3,4,圖1-1056.如圖1-105所示.在△PBC中有BC<PB+PC,①由①,②BC<PB+PC<AB+AC,③③+④+⑤得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)①米.依題意得③由②得16y=24+9x,將之代入③得(舍去).即(24+9x)=(12x).解之得所以兩站距離為9×8+16×6=168(千米).8.答案是否定的.對于2,2,2,首先變?yōu)?,2,3,其中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù).以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但奇偶性不變),所以，不可能變?yōu)?9,1997,1999這三個奇數(shù)·,,也均為+1或-1.設其中有k個-1,則+1也有k個，于是n=2k.初一奧數(shù)題四1.已知a,b,c,d都是正數(shù)，并且a+d<a,c+d<b.2.已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍.因市場變化，乙種商品提價的百分數(shù)是甲種商品降價的百分數(shù)的2倍.調(diào)價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2%,求乙種商品提價的百分數(shù).3.在銳角三角形ABC中，三個內(nèi)角都是質(zhì)數(shù).求三角形的三個內(nèi)角.4.某工廠三年計劃中，每年產(chǎn)量遞增相同，若第三年比原計劃多生產(chǎn)1000臺，那么每年比上一年增長的百分數(shù)就相同，而且第三年的產(chǎn)量恰為原計劃三年總產(chǎn)量的一半，求原計劃每年各生產(chǎn)多少臺?求z的最大值與最小值.8.從1到500的自然數(shù)中，有多少個數(shù)出現(xiàn)1或5?9.從19,20,21,…,98這80個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使它們的和為1.由對稱性，不妨設b≤a,則ac+bd≤ac+ad=a(c+d)<ab.2.設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元.設甲商品降價y%,則乙商品提價2y%.依題意有1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%),所以甲種商品降價10%,乙種商品提價20%.3.因為∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A,∠B,∠C中必有偶數(shù).唯一的偶質(zhì)數(shù)為2,所以∠C=2°.所以∠A+∠B=178°.由于需∠A,∠B為奇質(zhì)數(shù)，這樣4.設每年增產(chǎn)d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數(shù)分別為a-d,a所以三年產(chǎn)量分別是4千臺、6千臺、8千臺.不等式組：所以由(Ⅱ)得由(Ⅲ)得無解.=0.099.又<0.112-0.001=0.111.所以y+1≥0,x-2y+4≥-1-2×1+4=1>0.所以z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7,所以這時，z的最小值為3、最大值為7.由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7,所以這時z的最小值為3、最大值為7.由(1),(2)知，z的最小值為3,最大值為7.8.百位上數(shù)字只是1的數(shù)有100,101,…,199共100個數(shù)；十位上數(shù)字是1或5的(其百位上不為1)有2×3×10=60(個).個位上