課時評價作業(yè)（七）等比數(shù)列的概念A(yù)級基礎(chǔ)鞏固1.已知在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,則a4+a5的值為()A.16 B.27C.36 D.81解析:由a1+a2=1,a3+a4=q2(a1+a2)=9,可得q2=9,所以q=3(q=-3舍去),所以a4+a5=(a3+a4)q=27.答案:B2.等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項為()A.-24 B.0C.12 D.24解析:由(3x+3)2=x(6x+6),得x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3.當(dāng)x=-1時,前三項為-1,0,0,不能構(gòu)成等比數(shù)列,舍去.當(dāng)x=-3時,前三項為-3,-6,-12,符合題意.故公比為2,所以第四項為-24.答案:A3.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,則m=()A.9 B.10C.11 D.12解析:在等比數(shù)列{an}中,因為a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=a15q10=q因為am=a1qm-1=qm-1,所以m-1=10,所以m=11.答案:C4.若a,b,c成等比數(shù)列,m是a,b的等差中項,n是b,c的等差中項,則am+cn=(A.4 B.3 C.2 D.1解析:由題意,知b2=ac,m=a+b2,所以am+cn=2aa+b+2c答案:C5.已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項,求數(shù)列{an}的通項公式.解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意,得2(a3+2)=a2+a4.①a2+a3+a4=28, ②將①代入②,得a3=8,所以a2+a4=20,所以a1q+a又因為{an}為遞增數(shù)列,所以a1=2,q=2,所以an=2n.6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S3=2a3-1,an+1=2an(n∈N*).(1)求{an}的通項公式.(2)記bn=log2(an·an+1),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解:(1)由an+1=2an(n∈N*)可知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,所以q=2.又S3=2a3-1,所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.(2)由(1)知bn=log2(an·an+1)=log2(2n-1×2n)=2n-1,所以數(shù)列{bn}為首項是1,公差是2的等差數(shù)列.故Tn=1+(2B級能力提升7.定義在N*上的函數(shù)f(x),對任意的正整數(shù)n1,n2,都有f(n1+n2)=1+f(n1)+f(n2),且f(1)=1,若對任意的正整數(shù)n,有an=f(2n)+1,則an=2n+1.解析:令n1=n2=1,得f(2)=1+f(1)+f(1),則f(2)=3,a1=f(2)+1=4.令n1=n2=2,得f(4)=1+f(2)+f(2),則f(4)=7,a2=f(4)+1=8,令n1=n2=2n,得f(2n+2n)=1+f(2n)+f(2n),即f(2n+1)=1+2f(2n),則f(2n+1)+1=2[1+f(2n)],即an+1=2an,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項a1=4,公比q=2.所以an=4×2n-1=2n+1.8.(2023·廣東深圳二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,anan+1=9×22n-1,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)證明:數(shù)列{an}中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.(1)解:由anan+1=9×22n-1①,得an+1an+2=9×22n+1②,令②①,得an+由a1a2=9×21,a1=3,得a2=6.所以數(shù)列{a2n-1}是首項為3,公比為4的等比數(shù)列,a2n-1=3×22n-2,數(shù)列{a2n}是首項為6,公比為4的等比數(shù)列,a2n=6×22n-2,綜上,數(shù)列{an}的通項公式為an=3×2n-1.(2)證明:假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項am,ak,ap(m<k<p)能構(gòu)成等差數(shù)列,則2ak=am+ap,由(1)得2×3×2k-1=3×2m-1+3×2p-1,即2k=2m-1+2p-1,兩邊同時除以2m-1,得2k-m+1=1+2p-m(*),因為k,m,p均為整數(shù),所以(*)式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),所以(*)式不成立,即假設(shè)不成立,所以數(shù)列{an}中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.9.(2022·新高考全國Ⅱ卷)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù).(1)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,則d=2b1.由a2-b2=b4-a4,得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),即a1+d-2b1=4d-(a1+3d),則a1=b1.(2)解:由(1)知,d=2b1=2a1.由bk=am+a1知,b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,則b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m.又1≤m≤500,故2≤2k-1≤1000,則2≤k≤10.又k∈N*,所以k=2,3,4,5,6,7,8,9,10.故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個數(shù)為9個.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多選題已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,bn=an+4,若數(shù)列{bn}有連續(xù)4項在集合{-50,-20,22,40,85}中,則公比q的值可以是()A.-34 B.-23C.-43解析:因為bn=an+4,所以an=bn-4.因為數(shù)列{bn}有連續(xù)4項在集合{-50,-20,22,40,85}中,所以數(shù)列{an}有連續(xù)4項在集合{-54,-24,18,36,81}中.又?jǐn)?shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,所以在集合{-54,-24,18,36,81}中,數(shù)列{an}的連續(xù)4項只能是:-24,36,-54,81或81,-54,36,-24.所以q=36-24=-32或q=-答案:BD11.多選題如果數(shù)列{an},{bn}是等比數(shù)列,那么下列一定是等比數(shù)列的是()A.{kan} B.1anC.{an+bn} D.{anb解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q1(q1≠0),等比數(shù)列{bn}的公比為q2(q2≠0),則an=a1q1n-1,bn當(dāng)k=0時,{kan}