微重點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也常在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)二同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)一(2022·蘇州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，且當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝

，則a，b，c的大小關(guān)系是

A.a>b>c

B.c>b>a

C.a>c>b

D.c>a>b√例1考向1利用f(x)與x構(gòu)造因?yàn)閒(x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，令g(x)＝x·f(x)，則g(x)是奇函數(shù)，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在x∈(－∞，0]上單調(diào)遞減，又g(x)在R上是連續(xù)函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；規(guī)律方法

已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)－

－3>0，且f(1)＝0，則不等式f(ex)－3xex>0的解集為

A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(0，＋∞) D.(e，＋∞)跟蹤演練1√所以xf′(x)－f(x)－3x>0，所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0.(2022·棗莊質(zhì)檢)已知f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則

A.f(2022)<ef(2023)

B.ef(2022)<f(2023)C.ef(2022)＝f(2023)

D.ef(2022)>f(2023)例2考向2利用f(x)與ex構(gòu)造√由f(x)<f′(x)，可得f′(x)－f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)單調(diào)遞增，(1)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x)；規(guī)律方法

(2022·成都模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為__________.跟蹤演練2(3，＋∞)設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上單調(diào)遞增.又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等價(jià)于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).例3考向3利用f(x)與sinx，cos

x構(gòu)造∴g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝f(x)cos

x＝g(x)，∴g(x)為偶函數(shù)，又g′(x)＝f′(x)cos

x－f(x)sinx，函數(shù)f(x)與sinx，cos

x相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式(1)F(x)＝f(x)sinx，F(xiàn)′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cos

x；規(guī)律方法(3)F(x)＝f(x)cos

x，F(xiàn)′(x)＝f′(x)cos

x－f(x)sinx；跟蹤演練3√同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)二

已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln

x成立，則a的最小值為____.例4e∵xa＝∴不等式即為ex－x≤ealn

x－aln

x.由a>0且x>1得aln

x>0，設(shè)y＝ex－x，則y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；∴f(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值為e.指對(duì)同構(gòu)，經(jīng)常使用的變換形式有兩種，一種是將x變成lnex，然后構(gòu)造函數(shù)；另一種是將x變成eln

x，然后構(gòu)造函數(shù).規(guī)律方法

已知a>0，b>0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，則

A.a>b＋1

B.a<b＋1C.a<b－1

D.a>b－1跟蹤演練4√因?yàn)?a＋1)b＋1＝(b＋3)a，a>0，b>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→0，所以g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(a)>f(b＋1)，所以a<b＋1.專題強(qiáng)化練A.a<b<c

B.c<a<bC.b<a<c

D.c<b<a√12345678123456782.(2022·哈爾濱模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，則f(x)>x2＋2的解集是

A.(－1,0)∪(1，＋∞)

B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(0,1)

D.(－∞，－1)∪(0,1)√1234567812345678令g(x)＝f(x)－x2，則g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù)，g′(x)＝f′(x)－2x，因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f′(x)－2x>0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函數(shù)g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，不等式f(x)>x2＋2即為不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x<－1或x>1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).3.(2022·南京質(zhì)檢)設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea<bln

b，則

A.ab>e

B.b>ea

C.ab<e D.b<ea√12345678由已知aea<bln

b，則ealn

ea<bln

b.設(shè)f(x)＝xln

x，則f(ea)<f(b).∵a>0，∴ea>1，∵b>0，bln

b>aea>0，∴b>1.當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)＝ln

x＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ea<b.4.(2022·常州模擬)已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)sinx＋f(x)cos

x>0，則下列說法正確的是√12345678令g(x)＝f(x)sinx，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則g(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)sinx＋f(x)cos

x>0，即g′(x)>0，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，123456785.函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對(duì)任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式exf(x)>ex＋1的解集為

A.{x|x>0}

B.{x|x<0}C.{x|x<－1或x>1}

D.{x|x<－1或0<x<1}12345678√1234567構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)－ex，因?yàn)間′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝exf(x)－ex在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)間(0)＝e0f(0)－e0＝1，所以原不等式轉(zhuǎn)化為exf(x)－ex>1，即g(x)>g(0)，解得x>0.所以原不等式的解集為{x|x>0}.86.(多選)(2022·渭南模擬)設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，對(duì)任意的x>1，不等式λeλx≥ln

x恒成立，則λ的取值可能是

√12345678√√由題設(shè)，eλx·λx≥xln

x＝eln

x·ln

x，令f(t)＝t·et(t>0)，則f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)單調(diào)遞增，又f(λx)≥f(ln

x)，即當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，λx≥ln

x，所以在(1，e)上，g′(x)>0，即g(x)單調(diào)遞增；在(e，＋∞)上，g′(x)<0，即g(x)單調(diào)遞減，12345678123456787.已知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－x