高考小題突破3等差數(shù)列、等比數(shù)列考點一等差、等比數(shù)列基本量的運算例1(1)(2023全國甲,理5)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,若a1=1,S5=5S3-4,則S4=(

)C(2)(多選題)(2023山東德州高三期中)將n2個數(shù)排成n行n列的數(shù)陣,如圖所示,該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,記這n2個數(shù)的和為S,下列結(jié)論正確的是(

)a11

a12

a13

…

a1na21

a22

a23

…

a2na31

a32

a33

…

a3n……an1

an2

an3

…

annA.m=2

B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1

D.S=n(n+2)(2n-1)ACD解析

由題意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,則3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正確;對于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B錯誤;對于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正確;(3)(2022全國乙,文13)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=

.2解析

設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由題意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量,首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項和為Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算.對點訓(xùn)練1(1)(2023江蘇如東高級中學(xué)模擬)山西大同的遼金時代建筑華嚴(yán)寺的大雄寶殿共有9間,左右對稱分布,最中間的是明間,寬度最大,然后向兩邊均依次是次間、次間、梢間、盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減,且明間與相鄰的次間的寬度比為8∶7.若設(shè)明間的寬度為a,則該大殿9間的總寬度為(

)D9考點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)考向1等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)(2023全國甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15C(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=15,S9=99,則S6=________.48解析

因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因為S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.延伸探究解

因為數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列,其前n項和分別為Sn,Tn,所以可設(shè)Sn=An(4n+2),Tn=An(3n-1),A≠0,考向2等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=(

)A.120 B.85

C.-85 D.-120C(2)(2023廣東廣州高三聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}滿足log2a2+log2a13=1,且a5a6a8a9=16,則數(shù)列{an}的公比為(

)B增分技巧等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略

對點訓(xùn)練2A解析

∵{an}是等比數(shù)列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數(shù)列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴數(shù)列{an}的前8項和為a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故選A.(2)(2023山東濟寧高三統(tǒng)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=15,a5+a6+a7+a8+a9=35,則S14=__________.105120考點三求數(shù)列的通項公式例4(1)(2023福建廈門外國語學(xué)校期末)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,2,4,7,11,16,22,則該數(shù)列的第50項為(

)A.1224 B.1225

C.1226

D.1227C解析

設(shè)數(shù)列{an}的前7項分別為1,2,4,7,11,16,22,由題意可得a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,a50-a49=49,上述等式累加可得a50-a1=1+2+3+…+49==1

225,所以a50=a1+1

225=1

226.故選C.160增分技巧求數(shù)列{an}通項公式的常用方法

對點訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=n(an+1-an),則數(shù)列{an}的通項公式an=(

)A.2n-1 B.C.n2

D.nD(2)(2023山東煙臺模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,Sn=14n-n2,則an=__________;若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,則T20=__________.15-2n218考點四兩數(shù)列的公共項問題例5(1)(2020新高考Ⅰ,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為__________.3n2-2n解析)數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項,這些項從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列{an}為以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項和為(2)(2023河南濮陽一中高三質(zhì)檢)由數(shù)列{an}和{bn}的公共項組成的數(shù)列記為{cn},已知an=3n-2,bn=2n,若{cn}為遞增數(shù)列,且c3=bm=at,則m+t=_______.28解析

因為an=3n-2,所以a1=1,a2=4,因為bn=2n,所以b1=2,b2=4,因為數(shù)列{an}和{bn}的公共項組成的數(shù)列記為{cn},所以c1=a2=b2=4,設(shè)cn=bx=ay,即cn=2x=3y-2,bx+2=2x+2=4(3y-2)=3(4y-2)-2,因為4y-2∈N*,所以bx+2是{cn}中的項,所以cn+1=bx+2=a4y-2.因為cn=bx=ay,c1=a2=b2=4,所以n=1,x=2,y=2,所以c2=b4=a6,所以n=2,x=4,y=6,所以c3=b6=a22,所以m=6,t=22,所以m+t=28.規(guī)律方法求兩個數(shù)列公共項的兩種方法

不定方程法列出兩個項相等的不定方程,求出符合條件的項,并解出相應(yīng)的通項公式周期法即尋找下一項:通過觀察找到首項后,從首項開始向后,逐項判斷,并找到規(guī)律(周期),分析相鄰兩項之間的關(guān)系,從而得到通項公式對點訓(xùn)練4(1)我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩二,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想,所有被3除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{an},所有被5除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{bn},把{an}和{bn}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn},則下列結(jié)論正確的是(

)A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26B解析

根據(jù)題意數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,則an=2+3(n-1)=3n-1,數(shù)列{bn}是首項為2,公差為5的等差數(shù)列,則bn=2+5(n-1)=5n-3,數(shù)列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn},故數(shù)列{cn}是首項為2,公差為15的等差數(shù)列,則cn=2+15(n-1)=15n-13.對于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A錯誤;對于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正確;對于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C錯誤;對于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-(2)(2023安徽十校聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=2n,現(xiàn)從數(shù)列{an}中剔除{an}與{bn}的公共項后,將余下的項按照從小到大的順序進行排列,得到新的數(shù)列{cn}