專題二

三角函數(shù)與解三角形第3講三角恒等變換與解三角形考情分析KAOQINGFENXI1.三角恒等變換的求值、化簡(jiǎn)是命題的熱點(diǎn)，利用三角恒等變換作為

工具，將三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合求解最值、范圍問題.2.單獨(dú)考查可出現(xiàn)在選擇題、填空題中，綜合考查以解答題為主，中

等難度.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二專題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一三角恒等變換PARTONE核心提煉1.三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”.2.三角恒等變換“四大策略”(1)常值代換：常用到“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等.(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.√解析由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，又因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα>0，√所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)易錯(cuò)提醒(1)公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況.(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.√－22考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理PARTTWO核心提煉考向1求解三角形中的角、邊考向2求解三角形中的最值與范圍問題選②：因?yàn)?2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC，所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，即a2＋b2－c2＝ab，(2)求△ABC周長(zhǎng)的最大值.在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝3，即a2＋b2－ab＝3，易錯(cuò)提醒(1)利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角.利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，且該邊為其中一角的對(duì)邊，要注意解的多樣性與合理性.(2)三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍.跟蹤演練2

(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為A.4πB.2πC.πD.√解析由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccosA，√所以c＝4.3專題強(qiáng)化練PARTTHREE1234567891011121314√解析由余弦定理得1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314√1234567891011121314解析在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，則sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，1234567891011121314√123456789101112131412345678910111213146.在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若A＝120°，a＝1，則2b＋3c的最大值為√1234567891011121314解析因?yàn)锳＝120°，a＝1，所以由正弦定理可得二、多項(xiàng)選擇題1234567891011121314√√1234567891011121314解析因?yàn)锳＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.1234567891011121314所以a＝1，故C錯(cuò)誤；√1234567891011121314√1234567891011121314解析∵sin2θ＝m，cos2θ＝n，1234567891011121314三、填空題12345678910111213141234567891011121314整理得b2－a2＝2acsinB－c2，即b2＋c2－a2＝2acsinB＝2bcsinA，由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，∴2bccosA＝2bcsinA，即cosA＝sinA，12345678910111213141234567891011121314∴CF＝CE＝1.∴在△FCB中，由余弦定理得12345678910111213141234567891011121314解析由題意知，4a2＝b2＋2c2?b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accosB，12345678910111213141234567891011121314四、解答題13.(2020·全國(guó)Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；解由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA. ②1234567891011121314(2)若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.123456789101112131414.(2020·重慶模擬)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).(1)求角C；1234567891011121314解在△ABC中，由余弦定理知，b2＋c2－a2＝2bccosA，所以2b2＝2bccosA(1－tanA)，所以b＝c(cosA－sinA)，得sinB＝sinC(cosA－sinA)，所以sin(A＋C)＝sinC(cosA－sinA)，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA－sinCsinA，所以sinAcosC＝－sinCsinA，1234567891011121314因?yàn)閟inA≠