第五章積分學(xué)不定積分定積分一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)一、定積分問題引例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)第五章一、定積分問題引例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形面積梯形面積解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

取近似.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)分割.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)取近似.得已知速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n

個小段過的路程為3)求和.4)取極限.上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,取近似,求和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特定乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、定積分定義任一種分法任取點總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和注：1、定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)

,而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2023/12/1032-114、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2023/12/1032-13定理1.定理2.且只有有限個間斷點5、可積的充分條件(證明略)例3.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n

等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注注目錄上頁下頁返回結(jié)束[注]

利用得兩端分別相加,得即例4.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:

當(dāng)時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠(yuǎn)取

c

為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束6.

若在

上則證:推論1.

若在[a,b]上則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2.證:即7.

設(shè)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

解:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8.

積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:可將故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束積分中值定理對因2023/12/1032-27例8.

設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:

設(shè)內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.