4.3簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一費(fèi)用最少問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)1.(2020·大同高一檢測(cè))某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷(xiāo)售.現(xiàn)有8輛甲型車(chē)和4輛乙型車(chē),甲型車(chē)每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次,乙型車(chē)每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次,甲型車(chē)每天費(fèi)用320元,乙型車(chē)每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖?chē)站,則通過(guò)合理調(diào)配車(chē)輛,運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為 ()A.2400元 B.2560元 C.2816元 D.4576元2.某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨車(chē)和8輛乙型貨車(chē)可供使用.每輛甲型貨車(chē)運(yùn)輸費(fèi)用400元,可裝洗衣機(jī)20臺(tái);每輛乙型貨車(chē)運(yùn)輸費(fèi)用300元,可裝洗衣機(jī)10臺(tái).若每輛車(chē)至多只運(yùn)一次,則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為 ()A.2000元 B.2200元C.2400元 D.2800元3.營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出,成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物A和食物B各多少千克?將已知數(shù)據(jù)列成下表:食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07【解析】1.選B.設(shè)甲型車(chē)x輛,乙型車(chē)y輛,運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為z元,則QUOTE目標(biāo)函數(shù)z=320x+504y,作出不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域,如圖所示的陰影部分:作直線320x+504y=0,并平移,分析可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(8,0)時(shí),z取得最小值,即zmin=8×320+0×504=2560元.2.選B.設(shè)需使用甲型貨車(chē)x輛,乙型貨車(chē)y輛,運(yùn)輸費(fèi)用z元,根據(jù)題意,得線性約束條件QUOTE求線性目標(biāo)函數(shù)z=400x+300y的最小值,可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,解得當(dāng)QUOTE時(shí),z有最小值,故zmin=2200(元).3.設(shè)每天食用xkg食物A,ykg食物B,總成本為z,那么QUOTE?QUOTE目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,把目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y變形為y=-QUOTEx+QUOTE,它表示斜率為-QUOTE,且隨z變化的一組平行直線,QUOTE是直線在y軸上的截距,當(dāng)截距最小時(shí),z的值最小.如圖可見(jiàn),當(dāng)直線z=28x+21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距最小,即z最小.解方程組QUOTE得M點(diǎn)的坐標(biāo)為QUOTE.所以為了滿足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物AQUOTEkg,食物BQUOTEkg.解答線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的基本思路(1)模型建立:正確理解題意,將一般文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型.(2)模型求解:畫(huà)出可行域,并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn),選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解.(3)模型應(yīng)用:將求解出來(lái)的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中,設(shè)計(jì)出最佳的方案.類(lèi)型二獲利最大問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)【典例】(2020·綿陽(yáng)高一檢測(cè))某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品需用到A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用總量如表所示.若生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元,則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤(rùn)為 ()甲乙每天原料的可用總量A/噸3212B/噸128A.12萬(wàn)元 B.16萬(wàn)元 C.17萬(wàn)元 D.18萬(wàn)元四步內(nèi)容理解題意設(shè)甲、乙產(chǎn)品每天的產(chǎn)量分別為x,y,則可表示出每天利潤(rùn)表達(dá)式.思路探求根據(jù)條件列約束條件與目標(biāo)函數(shù),作出對(duì)應(yīng)可行域,結(jié)合圖像確定最大值取法,即得結(jié)果.書(shū)寫(xiě)表達(dá)選D.設(shè)每天甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x噸,y噸.由已知可得QUOTE目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y,作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示,可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)P處取得最大值,由QUOTE得P(2,3),則zmax=3×2+4×3=18(萬(wàn)元).題后反思線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二、畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀,對(duì)關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,起關(guān)鍵作用的變量有哪些,由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了理順題目中量與量之間的關(guān)系,有時(shí)可借助表格來(lái)理順.(2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元.寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問(wèn)題.(3)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題.(4)作答——就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1噸,需礦石4噸,煤3噸;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1噸,需礦石5噸,煤10噸.每1噸甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是16萬(wàn)元,每1噸乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬(wàn)元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求消耗礦石不超過(guò)20噸,煤不超過(guò)30噸,則甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少,才能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少?【解析】設(shè)甲乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x噸,y噸,利潤(rùn)為z萬(wàn)元,則線性約束條件為QUOTE線性目標(biāo)函數(shù)為z=16x+12y,作出可行域,如圖(包括坐標(biāo)軸),令z=0,得直線l0:y=-QUOTE,平移直線l0到直線l1,此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0).將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得zmax=80(萬(wàn)元).所以當(dāng)甲種產(chǎn)品生產(chǎn)5噸,乙種產(chǎn)品生產(chǎn)0噸,才能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大,最大利潤(rùn)是80萬(wàn)元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公司有60萬(wàn)元資金,計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的QUOTE倍,且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元,對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4萬(wàn)元的利潤(rùn),對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn),該公司正確規(guī)劃投資后,在這兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為 ()A.36萬(wàn)元 萬(wàn)元萬(wàn)元 D.24萬(wàn)元【解析】選B.設(shè)投資甲項(xiàng)目x萬(wàn)元,投資乙項(xiàng)目y萬(wàn)元,可獲得利潤(rùn)為z萬(wàn)元,則QUOTEz=0.4x+0.6y.由圖像知,目標(biāo)函數(shù)z=0.4x+0.6y在A點(diǎn)取得最大值.所以zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(萬(wàn)元).類(lèi)型三線性規(guī)劃中的整數(shù)解問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象)【典例】要將兩種大小不同的鋼板截成A,B,C三種規(guī)格,每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表所示:規(guī)格類(lèi)型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15,18,27塊,問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?【思路導(dǎo)引】先設(shè)出變量x,y,z,再找出線性約束條件以及目標(biāo)函數(shù),利用線性規(guī)劃求出最值,最后得出實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論.【解析】設(shè)需第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,鋼板總數(shù)z張,則QUOTE目標(biāo)函數(shù)z=x+y.作出可行域如圖所示,作出直線x+y=0.作出一族平行直線x+y=t(其中t為參數(shù)).經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線,此直線經(jīng)過(guò)直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點(diǎn)AQUOTE,直線方程為x+y=QUOTE.由于QUOTE和QUOTE都不是自然數(shù),而最優(yōu)解(x,y)中,x,y必須都是自然數(shù),所以,可行域內(nèi)點(diǎn)QUOTE不是最優(yōu)解.經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,得y=-x+12,代入QUOTE得QUOTE即QUOTE所以3≤x≤4.5,由于x∈N,則x=3或x=4,此時(shí)y=9,y=8,故經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8),它們是最優(yōu)解.所以要截得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種,第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.線性規(guī)劃中最優(yōu)解為整數(shù)的三種解法(1)平移找解法:先打網(wǎng)格,描整點(diǎn),平移直線l,最先經(jīng)過(guò)或最后經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)便是最優(yōu)整點(diǎn)解,這種方法應(yīng)充分利用非整點(diǎn)最優(yōu)解的信息,結(jié)合精確作圖才行,當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點(diǎn)個(gè)數(shù)又較少時(shí),可逐個(gè)將整點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值,經(jīng)比較求最優(yōu)解.(2)小范圍搜尋法:即在求出的非整點(diǎn)最優(yōu)解附近的整點(diǎn)都求出來(lái),代入目標(biāo)函數(shù),直接求出目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值.(3)調(diào)整優(yōu)值法:先利用平行線組經(jīng)過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)的直線方程的可行解作為參照值,根據(jù)圖形信息進(jìn)行“微調(diào)”估值得最優(yōu)整數(shù)值,再代入線性約束條件中的相關(guān)二元一次不等式求解,直到取得最優(yōu)解,這是既容易操作又十分簡(jiǎn)捷有效的解題方法.1.一小商販準(zhǔn)備用50元錢(qián)在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品,甲每件4元,乙每件7元,甲商品每件賣(mài)出去后可賺1元,乙商品每件賣(mài)出去后可賺1.8元.若要使賺的錢(qián)最多,那么該商販購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為 ()A.7件,3件 B.9件,2件C.4件,5件 D.2件,6件【解析】選D.設(shè)甲、乙各買(mǎi)x,y件,總利潤(rùn)為z元.則目標(biāo)函數(shù)為z=x+1.8y,約束條件為QUOTE作出可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分對(duì)應(yīng)的整點(diǎn),由z=x+1.8y,得y=-QUOTEx+QUOTE,斜率為-QUOTE>-QUOTE,所以,由圖可知直線過(guò)點(diǎn)AQUOTE時(shí),z取得最大值.又x,y∈N,所以點(diǎn)A不是最優(yōu)解,點(diǎn)(7,3),(2,6),(9,2)都在可行域內(nèi),逐一驗(yàn)證可得,當(dāng)x=2,y=6時(shí),z取得最大值.2.某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過(guò)50畝,投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如表:每畝年產(chǎn)量每畝年種植成本每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為 ()A.50,0 B.30,20C.20,30 D.0,50【解析】選B.設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為x畝,y畝,則總利潤(rùn)z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此時(shí)x,y滿足條件QUOTE畫(huà)出可行域如圖,得最優(yōu)解為A(30,20).3.(2020·石家莊高一檢測(cè))某?！捌鍢?lè)無(wú)窮”社團(tuán)計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60元、70元的象棋和圍棋.根據(jù)需要,象棋至少買(mǎi)3盒,圍棋至少買(mǎi)2盒,則不同的選購(gòu)方式共有 ()A.5種 B.6種 C.7種 D.8種【解析】選C.設(shè)購(gòu)買(mǎi)象棋x盒,圍棋y盒.由題意得QUOTE即QUOTE①當(dāng)x=3時(shí),7y≤32,y≤QUOTE<5,因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以y=2或y=3或y=4,此時(shí)有3種選購(gòu)方式.②當(dāng)x=4時(shí),7y≤26,y≤QUOTE<4,因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以y=2或y=3,此時(shí)有2種選購(gòu)方式.③當(dāng)x=5時(shí),y≤QUOTE<3,因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以y=2,此時(shí)有1種選購(gòu)方式.④當(dāng)x=6時(shí),y≤2,因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以y=2,此時(shí)有1種選購(gòu)方式.⑤當(dāng)x=7時(shí),y≤QUOTE,因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以y無(wú)解;因?yàn)閥∈N*,且y≥2,所以x≥7,x∈N*時(shí),y均無(wú)解;所以共有7種選購(gòu)方式.【補(bǔ)償訓(xùn)練】配制A,B兩種藥劑,需要甲、乙兩種原料,已知配一劑A種藥需甲料3mg,乙料5mg;配一劑B種藥需甲料5mg,乙料4mg.今有甲料20mg,乙料25mg,若A,B兩種藥至少各配一劑,共有配制方法 ()A.6種B.7種C.8種D.9種【解析】選C.設(shè)A,B兩種藥分別配x劑、y劑(x,y∈N),則QUOTE不等式組的解集是以直線x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25為邊界(含邊界)所圍成的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).所以,在A,B兩種藥至少各配一劑的情況下,共有8種不同的配制方法.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.某學(xué)校用800元購(gòu)買(mǎi)A、B兩種教學(xué)用品,A種教學(xué)用品每件100元,B種教學(xué)用品每件160元,兩種教學(xué)用品至少各買(mǎi)一件,要使剩下的錢(qián)最少,A、B兩種教學(xué)用品應(yīng)各買(mǎi)的件數(shù)為 ()A.2件,4件 B.3件,3件C.4件,2件 D.不確定【解析】選B.設(shè)買(mǎi)A種教學(xué)用品x件,B種教學(xué)用品y件,剩下的錢(qián)為z元,則QUOTE求z=800-100x-160y取得最小值時(shí)的整數(shù)解(x,y),用圖解法求得整數(shù)解為(3,3).2.(2020·成都高一檢測(cè))某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告,廣告費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元,甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘,假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.4萬(wàn)元/分鐘和0.2萬(wàn)元/分鐘,那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,能使公司獲得最大的收益是萬(wàn)元 ()

A.72 B.80 C.84 D.90【解析】選B.設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為x,y分鐘,總收益為z元,則由題意可得QUOTE目標(biāo)函數(shù)為z=4000x+2000y,化簡(jiǎn)得,QUOTE在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出可行域,如圖所示:作直線l:4000x+2000y=0,即2x+y=0,平行移動(dòng)直線l,當(dāng)直線l過(guò)M點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,聯(lián)立QUOTE解得x=100,y=200,所以M點(diǎn)坐標(biāo)為(100,200),因此目標(biāo)函數(shù)最大值為zmax=4000×100+2000×200=800000.3.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)鐵礦石A和B的含鐵率為a,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如表:ab/萬(wàn)噸c/百萬(wàn)元A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸),則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的最少費(fèi)用為(百萬(wàn)元).

【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)鐵礦石A為x萬(wàn)噸,購(gòu)買(mǎi)鐵礦石B為y萬(wàn)噸,購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的總費(fèi)用為z百萬(wàn)元.則根據(jù)題意得到約束條件為:QUOTE即QUOTE則z=3x+6y,作出可行域.如圖,解方程組QUOTE得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)(1,2)點(diǎn)時(shí)取得最小值為:z