專題01相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．(1)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；(2)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關鍵．例2．（2023秋·安徽六安·九年級校考期末）如圖，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【答案】見詳解【分析】先證明，即有，再結(jié)合，即可證明．【詳解】∵、分別是、邊上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵．例3．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．【答案】##4.8【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關鍵．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）利用，證明，利用相似比即可證明此問；（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小問的思路，延長交于點M，連接，作，垂足為N．構(gòu)造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長．(1)解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)解：由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)解：如圖，延長交于點M，連接，作，垂足為N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關鍵．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點和平行兩個條件可得中點，從而可得DE是△ABC的中位線，進而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個式子相加進行計算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點D是邊BC的中點，DE∥CA，∴點E是AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點D是邊BC的中點，DF∥AB，∴點F是AC的中點，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式的化簡求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關鍵．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．【答案】

是

##【分析】（1）證明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，證明∠CEA=90°，即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求得AB的長，證明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，

∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB與CD是垂直的，故答案為：是；（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴，∴AE=BE=．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【答案】見解析【解答】證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA?BC＝BD?BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝例3.（2023·浙江九年級期中）如圖，AD與BC交于點O，EF過點O，交AB與點E，交CD與點F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求證：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求證：【答案】【解析】證明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=9∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，∵AE＝BE，∴CF＝DF．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【分析】（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．(1)解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．例2．（2023·浙江·杭州九年級期中）如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，得到，則問題可解；（2）根據(jù)題意分別證明，問題可證．【詳解】解：（1）是的中點，是的中點，，，，，，，，，，，，，．（2）當，時，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關鍵是根據(jù)題意選擇適當方法證明三角形相似．例2.（2023·廣東九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點E、F，DF交對角線AC于點M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．例3.（2022·浙江九年級期中）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：【答案】見解析【解析】（1）證明：∵AB∥CD，∴ABCD∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF（2）設△ABE的面積為m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴∵AECE=ABCD=12，∴∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對比例式進行恒等變形是解題的關鍵．課后專項訓練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點，且，點在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得，，則有，，然后可得，進而問題可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即；故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．2.（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，中，是它的角平分線，是上的一點，交于點，交于點為的中點，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可知是等腰三角形，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可知，進而解答即可．【詳解】解：過點作，交的延長線于點，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴設，，∴，∵是的中點，∴，∴，過作，垂足為，∴，，∴，故選：．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，中點的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎題．4．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點E，，，，，則對角線與的長分別是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】過點B作交于點O，證明，可求得，，根據(jù)勾股定理求出的長，進而可求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進而求出的長．【詳解】過點B作交于點O，如圖所示：

∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∵，∴，∴．在中，，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，∴．故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是利用勾股定理求出BE的長度．5．（2022秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點F在平行四邊形的邊上，延長交的延長線于點E，交于點O，若，則的值為（

）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先由平行四邊形性質(zhì)得到，，證明得到，進而得到，再證明求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∴，則，∵，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關鍵．6．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學綜合實踐課上，某學習小組計劃制作一個款式如圖所示的風箏．在骨架設計中，兩條側(cè)翼的長度設計，風箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．143【答案】C【分析】設與交于點，連接，交于點，根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：設與交于點，連接，交于點，

，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，兩點間的距離大約是，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．7．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例求出答案．8．（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，，上的點，且，，，，則cm．

【答案】8【分析】首先根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，則，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴，∴．故的長為．故答案為：8【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)及判定是解題的關鍵．9．（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，的垂直平分線與的延長線交于點，與交于點，若，則的長為．

【答案】【分析】如圖所示，取中點H，連接，先求出，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，點D為中點，證明得到，則，再由三角形中位線定理得到，進而證明，得到，利用勾股定理可得．【詳解】解：如圖所示，取中點H，連接，∵，∴，∴，∵垂直平分線段，∴，點D為中點，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點H為中點，點D為中點，∴為中位線，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關鍵．10．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處，與相交于O，則．

【答案】【分析】如圖所示，延長交各格線于點D，證明，即可得到．【詳解】解：如圖所示，延長交網(wǎng)格線于點D，由網(wǎng)格的特點可知點E在格點處，∵，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關鍵．11.已知：如圖，點D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．【答案】見解析【解析】證明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC∵CD2＝CF?CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC?CF＝BC?CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD212．[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段DF的中點．[經(jīng)驗運用]請運用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，若點E在BA的延長線上，點F在線段BC上，DF交AC于點H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請直接寫出GH的長．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）BE＝CG，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）①過點E作EI∥BC交AC于點I，證明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AI＝AE，由平行線得出＝＝，證出IC＝BE，由全等三角形的性質(zhì)得出IG＝CG＝IC，即可得出結(jié)論；（2）作EI∥BC交AC于點I，由三角函數(shù)證出AE＝2IE，得出IE＝CF，證△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，設IE＝a，則AE＝2a，求出＝，則＝＝，得出IC＝EB，即可得出結(jié)果；（3）作FP∥AB交AC于P，則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，則tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，證明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再證明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：①過點E作EI∥BC交AC于點I，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠AIE＝∠BAC＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中點；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∴＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝BE，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝IC，∴CG＝×BE＝BE；（2）解：BE和CG之間的數(shù)量關系為：BE＝CG；理由如下：過點E作EI∥BC交AC于點I，如圖2所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝＝＝，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，設IE＝a，則AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，即＝＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝EB，∵IG＝CG＝IC，∴CG＝BE，∴BE＝CG；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如圖3所示：則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴＝＝，∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，∴AG＝PG＝PA＝，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴＝＝＝，∴PH＝PC＝，∴GH＝PG+PH＝＝．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；作輔助線構(gòu)建全等三角形與相似三角形是解題的關鍵．13．（2022·湖南常德·九年級?？计谥校┤鐖D1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結(jié)論；（3）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結(jié)論；②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得，設AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據(jù)AH∥PD，得，設PD=3h，AH=4h，根據(jù)EG∥AC，同理得，設BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，第三問有難度，利用參數(shù)表示各線段的長是本題的關鍵，綜合性較強．14．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點P是邊上的動點，連接并延長交直線于點E，將沿直線折疊得到，直線交直線于F．

(1)求證：．(2)若四邊形為菱形，且．求的值．(3)若點P為的中點，在改變長度的過程中，當成為以為腰的等腰三角形時，求的長．【答案】(1)見解析(2)或(3)13或3或或或【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得到，則，由折疊可知，，則，即可得到結(jié)論；（2）過點B作于點M，分點F在點D的右側(cè)和點F在點D的左側(cè)兩種情況進行求解即可；（3）分五種情況，分別畫出圖形，分別進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊可知，，∴，∴；（2）過點B作于點M，

則，設，且，∵，四邊形為菱形，∴，在中，，即，解得，∴，∴，當點F在點D的右側(cè)時，如圖，

∵，∴，在中，，由（1）可知，∴，∴，∵，∴，∴，當點F在點D的左側(cè)時，如圖，點F與點M重合，

則，∴，同理可得，綜上所述，的值為或；（3）①當時，點F在點E的左側(cè)，如圖，過點B作于點M，

由（1）（2）可知，，∵，∴，∴，∵點P是的中點，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴；②當時，若點F在點E的右側(cè)，如圖，

則，同理可得，，∵，∴，∴；③當時，若點F在線段上，如圖，過點B作于點M，

由（1）（2）可知，，