隨機數(shù)字信號處理期末大作業(yè)〔報告〕基于卡爾曼濾波器的雷達目標跟蹤RadartargettrackingbasedonKalmanfilter學(xué)院〔系〕：創(chuàng)新實驗學(xué)院專業(yè)：信息與通信工程學(xué)生姓名：李潤順學(xué)號：21424011任課教師：殷福亮完成日期：2023年7月14日大連理工大學(xué)DalianUniversityofTechnology摘要雷達目標跟蹤環(huán)節(jié)的性能直接決定雷達系統(tǒng)的平安效能。由于卡爾曼濾波器在狀態(tài)估計與預(yù)測方面具有強大的性能，因此在目標跟蹤領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，同時也是是現(xiàn)階段雷達中最常用的跟蹤算法。本文先介紹了雷達目標跟蹤的應(yīng)用背景以及研究現(xiàn)狀，然后在介紹卡爾曼濾波算法和分析卡爾曼濾波器性能的根底上，將其應(yīng)用于雷達目標跟蹤，雷達在搜索到目標并記錄目標的位置數(shù)據(jù)，對測量到的目標位置數(shù)據(jù)〔稱為點跡〕進行處理，自動形成航跡，并對目標在下一時刻的位置進行預(yù)測。最后對在一個假設(shè)的情境給出基于卡爾曼濾波的雷達目標跟蹤算法對單個目標航跡進行預(yù)測的MATLAB仿真，對實驗的效果進行評估，分析預(yù)測誤差。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波器；雷達目標跟蹤；航跡預(yù)測；預(yù)測誤差；MATLAB仿真1引言1.1研究背景及意義雷達目標跟蹤是整個雷達系統(tǒng)中一個非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。跟蹤的任務(wù)是通過相關(guān)和濾波處理建立目標的運動軌跡。雷達系統(tǒng)根據(jù)在建立目標軌跡過程中對目標運動狀態(tài)所作的估計和預(yù)測，評估船舶航行的平安態(tài)勢和機動試操船的平安效果。因此，雷達跟蹤環(huán)節(jié)工作性能的優(yōu)劣直接影響到雷達系統(tǒng)的平安效能[1]。鑒于目標跟蹤在增進雷達效能中的重要作用，各國在軍用和民用等領(lǐng)域中一直非常重視開展這一雷達技術(shù)。機動目標跟蹤理論有了很大的開展，尤其是在跟蹤算法的研究上，理論更是日趨成熟。在跟蹤算法中，主要有線性自回歸濾波、兩點外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波，其中卡爾曼濾波算法在目標跟蹤理論中占據(jù)了主導(dǎo)地位。雷達跟蹤需要處理的信息種類多種多樣。除了目標的位置信息外，一般還要對目標運動速度進行估計，個別領(lǐng)域中的雷達還要對目標運動姿態(tài)進行跟蹤。雷達跟蹤的收斂速度、濾波精度和跟蹤穩(wěn)定度等是評估雷達跟蹤性能的重要參數(shù)。因此提高雷達跟蹤的精度、收斂速度和穩(wěn)定度也就一直是改善雷達跟蹤性能的重點。隨著科技的開展，各類目標的運動性能和材質(zhì)特征有了大幅度的改善和改變，這就要求雷達跟蹤能力要適應(yīng)目標特性的這種變化。在不斷提高雷達跟蹤性能的前提下，降低雷達跟蹤系統(tǒng)的本錢也是現(xiàn)代雷達必須考慮的問題。特別是在民用領(lǐng)域中由于雷達造價不能過高，對目標跟蹤進行快收斂性、高精度和高穩(wěn)定性的改進在硬件上是受到一些制約的，因此雷達跟蹤算法的研究就越來越引起學(xué)者們的關(guān)注。通過跟蹤算法的改進來提高雷達的跟蹤性能還有相當大的挖掘潛力?？紤]到雷達設(shè)備的造價，民用雷達的跟蹤系統(tǒng)首要的方法就是對于雷達的跟蹤算法進行開發(fā)。1.2雷達目標跟蹤濾波算法研究現(xiàn)狀當運動目標模型建立之后，就要對目標跟蹤算法進行設(shè)計，這也是雷達跟蹤系統(tǒng)中核心的局部。對目標的跟蹤最主要的還是對目標的距離信息，方位角信息，高度角信息，以及速度信息進行跟蹤，估計和預(yù)測目標的運動參數(shù)以及運動狀態(tài)，這樣有利于我們針對特定目標拿出特定應(yīng)對方案。根本的跟蹤濾波與預(yù)測方法是跟蹤系統(tǒng)最根本的要素，也是形成自適應(yīng)跟蹤濾波的前提和根底。這些方法包括線性自回歸濾波、兩點外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波。其中線性自回歸濾波、兩點外推濾波、維納濾波由于限制性強而在現(xiàn)階段的雷達中很少應(yīng)用，但是維納濾波在濾波算法上有著里程碑的標志。現(xiàn)階段最常用的就是加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波[1]。1.2.1加權(quán)最小二乘濾波采用何種濾波方法，主要取決于事先能掌握多少先驗信息。領(lǐng)先驗統(tǒng)計特性一無所知時，一般采用最小二乘濾波。如果僅僅掌握測量誤差的統(tǒng)計特性，可以采馬爾可夫估計，即加權(quán)陣為的最小二乘濾波，其中是測量噪聲的協(xié)方差矩陣。忽略狀態(tài)噪聲的影響，測量噪聲是均值為0，協(xié)方差矩陣為的高斯白噪聲向量序列；為對角陣，那么加權(quán)最小二乘濾波公式為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕其中、和分別為濾波增益矩陣、協(xié)方差矩陣和預(yù)測協(xié)方差矩陣。1.2.2濾波當目標作等速直線運動時，描述目標運動狀態(tài)X是兩維向量，即，這里的和分別是位置和速度的分量。設(shè)目標狀態(tài)方程為〔5〕其中，，式中狀態(tài)噪聲w為均值為0的高斯白噪聲序列。測量方程為〔6〕其中，式中是0均值的高斯白噪聲。濾波方程為〔7〕〔8〕〔9〕近幾十年來，基于以上濾波算法的變形算法開展非常迅速，尤其是自適應(yīng)的卡爾曼算法更是占據(jù)了現(xiàn)代雷達中跟蹤算法的主導(dǎo)地位。對于卡爾曼濾波算法將在下一節(jié)中詳細表達。1.3目標跟蹤技術(shù)的困境1.3.1卡爾曼濾波的穩(wěn)定性和準確性數(shù)據(jù)偏差是普遍存在的，這就是導(dǎo)致了濾波穩(wěn)定性的問題?？柭鼮V波的穩(wěn)定性問題是濾波器能否應(yīng)用的一個關(guān)鍵問題。由于卡爾曼濾波不但存在對系統(tǒng)模型的強依賴性與魯棒性差的缺陷，而且在系統(tǒng)到達平穩(wěn)狀態(tài)時將喪失對突變狀態(tài)的跟蹤能力，因此該方法對機動目標的跟蹤能力有限。而喪失對突變狀態(tài)的跟蹤能力，就是一種很嚴重的算法丟跟蹤狀態(tài)。如果實際濾波過程中，在某一過程或者某種條件下測量值出現(xiàn)奇值，那么濾波結(jié)果會受到很大干擾。有時直接導(dǎo)致以后的濾波值不收斂，以至目標跟蹤喪失。因此，如何解決好目標跟蹤的穩(wěn)定性〔即濾波過程的穩(wěn)定性〕也是我們所面臨的問題。1.3.2收斂速度的問題卡爾曼濾波算法中都很注意濾波的收斂速度問題，濾波收斂快慢直接影響到目標跟蹤的穩(wěn)定度和對目標的鎖定速度，因此，濾波的收斂速度是評價一個濾波器性能的重要指標。1.3.3濾波過程中系統(tǒng)偏差的問題在相同的測量條件下做一系列觀測，假設(shè)誤差的大小及符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按照一定的規(guī)律變化，這類誤差為系統(tǒng)偏差。系統(tǒng)偏差對測量結(jié)果影響很大，且一般具有積累性，應(yīng)該盡可能消除或者限制到最小程度，我們一般解決這個問題的方法都是用離線或者稱為后處理的方法，所以不能在線處理誤差。非線性濾波問題往往用狀態(tài)變量方程來描述，從而可采用卡爾曼濾波的方法，并由此帶來了一系列的方便。假設(shè)該系統(tǒng)偏差事先已經(jīng)知道，只要觀測值減去該偏差然后再進行濾波即可。但如果該偏差存在而且未知，就需要在線處理這些系統(tǒng)偏差。2卡爾曼濾波理論2.1卡爾曼濾波的根本算法卡爾曼濾波在近20年來取得了長足的開展。把目標的位置，速度和加速度作為目標狀態(tài)矢量，通過目標的動力學(xué)方程來描述目標狀態(tài)的變化，利用遞推的計算方法，目標的狀態(tài)可以方便的估計出來，這樣目標的航跡就可以建立起來[2-3]。建立在非線性運動模型上的卡爾曼濾波稱為擴展的卡爾曼濾波。在雷達跟蹤系統(tǒng)中，我們所用到的是離散型卡爾曼濾波。離散卡爾曼濾波的狀態(tài)方程、測量方程以及推廣方程如下[4-5]：狀態(tài)方程：〔10〕測量方程：〔11〕上兩式中，為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)，和為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為協(xié)方差矩陣為Q的狀態(tài)噪聲，為k時刻的測量狀態(tài)，為測量轉(zhuǎn)移矩陣，為協(xié)方差矩陣為R的測量噪聲。狀態(tài)預(yù)測方程：〔12〕其中是上一狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果，是上一狀態(tài)的最優(yōu)結(jié)果。預(yù)測估計值協(xié)方差矩陣：〔13〕卡爾曼增益矩陣：〔14〕濾波估計值：〔15〕濾波估計值協(xié)方差矩陣：〔16〕在卡爾曼濾波過程中，只有確定了狀態(tài)估計初始值和濾波估計值協(xié)方差矩陣的初始值，整個濾波過程才能啟動。一般情況下，我們將初始估計值的值定為整個系統(tǒng)的第一次觀測值，將濾波估計值的協(xié)方差矩陣的初始值可以擬訂為一個對角陣，雖然大多數(shù)實際情況并非如此，但是這樣做也是符合理論要求的，并且對于我們的運算也有簡化作用。整個濾波循環(huán)過程如下列圖：圖1卡爾曼濾波循環(huán)過程2.2卡爾曼濾波器的性質(zhì)由卡爾曼濾波器的推導(dǎo)過程可知，卡爾曼濾波器具有以下性質(zhì)：被估計值系統(tǒng)的第k+1時刻的狀態(tài)值的卡爾曼濾波值，就是的無偏的最小方差估計。而且，濾波誤差方差陣是基于的所有線性估計中的最小均方誤差陣。對于一維的情況，測量噪聲協(xié)方差矩陣增大時，增益矩陣k變小。這就說明，如果測量噪聲越大，該增益取的越小，以減弱測量噪聲對估計值的影響，而使預(yù)測值所占最后的結(jié)果比重加大。從這5個推導(dǎo)公式中可以看出，當矩陣，Q，R，同乘以一個常數(shù)時，增益矩陣K的值不變。由推導(dǎo)過程我們還可以看出，當或者Q矩陣變小，或者同時變小的時候，也變小，K矩陣也減小。從直觀上看，這是自然的，因為，P變小表示估計值或者預(yù)測值比擬好，又因為Q變小表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移隨機波動減小。所以新的測量值對狀態(tài)的估計值的矯正影響減弱，于是增益矩陣K應(yīng)當變小。從上面性質(zhì)的直觀分析可知，增益陣K與Q成正比，與R成反比?？梢詺w納為：當R越大，測量噪聲越大，因此測量值不準確性更大，所以K要變小，以保證測量值在最后估計結(jié)果中所占的比重比擬?。憾诒葦M大的時候，說明狀態(tài)噪聲比擬大，因此預(yù)測值受狀態(tài)噪聲干擾比擬嚴重，所以K值比擬大，以保證預(yù)測值在最后估計結(jié)果中所占的比重比擬小。狀態(tài)噪聲越大，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越大，這樣更有利于捕捉目標機動狀態(tài)，濾波收斂速度快，減少喪失跟蹤的概率，但是這樣所得到的濾波結(jié)果精度比擬差;相反，狀態(tài)噪聲越小，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越小，這樣所得到的濾波結(jié)果精度比擬好，但是濾波收斂速度慢，當目標發(fā)生大機動狀態(tài)運動時，喪失跟蹤的可能性比擬大。3基于卡爾曼濾波的雷達目標檢測3.1情景假設(shè)假定有一個二座標雷達對一平面上運動的目標進行觀測，目標在秒沿軸作恒速直線運動，運動速度為-15米/秒，目標的起始點為(2000米,10000米)，在秒向軸方向做的慢轉(zhuǎn)彎，加速度均為0.075米/秒2，完成慢轉(zhuǎn)彎后加速度將降為零，從秒開始做的快轉(zhuǎn)彎，加速度為0.3米/秒2，在660秒結(jié)束轉(zhuǎn)彎，加速度降至零。雷達掃描周期秒，和獨立地進行觀測，觀測噪聲的標準差均為100米。3.2卡爾曼濾波算法分析為了簡單起見，僅對軸方向進行考慮，且考慮位移和速度兩個狀態(tài)。MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r2\h首先，目標運動沿軸方向的運動可以用下面的狀態(tài)方程描述[6]：〔17〕其中表示k時刻的位移，表示k時刻的速度，表示加速度。 用矩陣的形式表述狀態(tài)方程為〔18〕在上式中，，，，。 考慮雷達的觀測，得出觀測方程為〔19〕其GOTOBUTTONZEqnNum162522REFZEqnNum162522\!(2.3)中，，為零均值的噪聲序列，方差。 對目標進行預(yù)測，由相關(guān)理論可得到下面的迭代式：〔20〕其中GOTOBUTTONZEqnNum514726REFZEqnNum514726\!(2.4)，，反映了由前各觀測值對目前狀態(tài)的估計。而預(yù)測的誤差協(xié)方差可表示為〔21〕 對于最正確濾波，迭代表達式為〔22〕在上式GOTOBUTTONZEqnNum774484REFZEqnNum774484\!(2.6)中，為卡爾曼增益。 而濾波誤差的協(xié)方差為〔23〕 在應(yīng)用上面的公式進行卡爾曼濾波時，需要指定初值。由于實際中通常無法得到目標的初始狀態(tài)，我們可以利用前幾個觀測值建立狀態(tài)的初始估計，比方采用前兩個觀測值得到第二個狀態(tài)的最優(yōu)估計為〔24〕此時，估計誤差為〔25〕而誤差協(xié)方差矩陣為，〔26〕3.3仿真實驗3.3.1實驗準備 為了真實地反映出Kalman濾波的效果，采用了Monte-Carlo方法，采用屢次實驗取均值的方法進行研究，可以計算出估計的誤差均值和方差，其表達式為〔27〕而誤差的標準差可以表示為〔28〕在GOTOBUTTONZEqnNum847533REFZEqnNum847533\!(2.11)上式GOTOBUTTONZEqnNum415465REFZEqnNum415465\!(2.12)中，就是進行Monte-Carlo仿真的次數(shù)，而為取樣點數(shù)。當仿真的次數(shù)越多時，實驗的效果越接近于實際，但是計算的速度會明顯變慢。在仿真時，需要根據(jù)實際適中選取。在本程序中，取。另外，在仿真過程中，為了進一步研究目標的航跡，在660秒后又進行了一段時間的勻速運動仿真。實驗仿真基于MATLAB實現(xiàn)，程序參考網(wǎng)絡(luò)文獻[7]實現(xiàn)。3.3.2實驗結(jié)果與分析圖2-圖4給出了在給定情境下，目標的運動真實軌跡、雷達觀測數(shù)據(jù)及卡爾曼濾波估計圖。圖5-圖8給出了卡爾曼濾波估計在x方向和y方向的誤差均值和標準差。圖2目標運動真實軌跡圖3雷達觀測數(shù)據(jù)圖4卡爾曼濾波估計圖5卡爾曼濾波在x方向上的估計誤差均值圖6卡爾曼濾波在y方向上的估計誤差均值圖7卡爾曼濾波在x方向上的估計誤差標準差圖8卡爾曼濾波在y方向上的估計誤差標準差由圖可知，卡爾曼濾波估計預(yù)測運動目標軌跡與真實軌跡大致相同，只有在秒向軸方向做的慢轉(zhuǎn)彎，及在從秒沿y軸方向做的快轉(zhuǎn)彎時與真實軌跡出入較大。因此可以看出卡爾曼濾波算法對于動態(tài)目標的跟蹤有著比擬好的效果，而且可以較好地抑止環(huán)境中的噪聲影響。個人體會隨機數(shù)字信號處理這門講了很多知識，課堂上講得也比擬快，學(xué)完這門課幾乎沒有任何概念。通過這次大作業(yè)，把卡爾曼濾波器的原理復(fù)習了一遍，并把它應(yīng)用到雷達目標追蹤，自己編程實現(xiàn)卡爾曼濾波器目標軌跡預(yù)測，從而真正意識到了卡爾曼濾波器在數(shù)值估計和預(yù)測方面的強大性能。參考文獻[1]秦勤.雷達目標跟蹤的卡爾曼濾波方法的研究[D].大連海事大學(xué),2006.[2]張秀杰