2022年重慶市高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)合診斷試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足（1+z）z=l-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

2.命題u3x（）G（0,+8）,sinxoecosxo”的否定是（）

A.VxG（0,+8）,sinxVcosxB.（0,+0°）,sinx^cosx

C.VxG（-8,0],sinx<cosxD.VxG（-°°,0],sinx^cosA：

3.已知集合A={1,3,5,6,7,8,9},B={x|x2-14x+48^0},則圖中陰影部分表示的

集合為（）

A.{1,3,5,7,9}B.{1,3,5,9}C.{1,3,5}D.{1,3,9}

4.已知某批零件的尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N（10,4）,其中X08,14]的產(chǎn)品

為“合格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（）

（附：若X?N（山。2）,則P（口-。WXWp+o）%0.6827,P（口-2。WXWR+2。）

^0.9545,P（ji-3o<X〈u+3。）-0.9973）

A.0.3414B.0.4773C.0.512D.0.8186

5.如圖，神舟十二號的飛行軌道是以地球球心為左焦點的橢圓（圖中虛線），我們把飛行

軌道上的點與地球表面上的點的最近距離叫近地距離，最遠距離叫遠地距離.設(shè)地球半

徑為廣，若神舟十二號飛行軌道的近地距離是白，遠地距離是圣，則神舟十二號的飛行

軌道的離心率為（）

10B，C

A.春-焉D，

6363

6.等差數(shù)列｛為｝的公差為2,前〃項和為S”若加=5,則S,“的最大值為（)

A.3B.6C.9D.12

7.已知向量2=(2，4),1=(-2,tn)，若W+E與E的夾角為6?！?，則"?=（)

A.B.近

C.D.

3333

8.已知a,PG(0,n),sin(a-p),加哈0,則a+0=（）

tanp4

57

A.—JTB.nC.—JTD.亮兀

66

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.已知空間中的兩條直線機，〃和兩個平面a,0,則的充分條件是（）

A.m_La,m//pB.mua,nep,m_Ln

C.maa,m//n,D.m.Ln,w±a,〃J_0

（多選）10.已知2"=5"=10,則（）

A.+］〉1B.a>2bC.ab>4D.a+b>4

ab

（多選）11.已知點O（0,0）,A（4,4）,過直線OA上一點B作圓C：(x-4)2+y2

=4的切線，切點分別為P,Q,則（)

A.以線段PQ為直徑的圓必過圓心C

B.以線段PQ為直徑的圓的面積的最小值為2n

C.四邊形8PCQ的面積的最小值為4

D.直線PQ在x,y軸上的截距的絕對值之和的最小值為4

（多選）12.已知曲線f（x）W及點P（S，0），則過點P且與曲線》=/（X）相切的直

x

線可能有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2、

13.若拋物線V=8x的焦點也是雙曲x線七-2y2=i（a>0）的焦點，則。=.

a

14.為籌集善款增設(shè)了一個“看圖猜詩句”的游戲互動環(huán)節(jié)主辦方為每位參與者最多展示三

張圖片，每張圖片的內(nèi)容均對應(yīng)一首詩詞，參與者說對其中一句即視為這張圖片回答正

確.主辦方為參與者每次只展示一張圖片，若參與者回答正確才繼續(xù)為他展示下一張圖

片，若參與者回答錯誤則游戲結(jié)束，參與者每正確回答一張圖片就可為慈善機構(gòu)募集到

一筆基金，多筆基金累積計算.已知某位參加此游戲的嘉賓能正確回答第一、二、三張

圖片的概率分別為0.9,0.5,0.4,相應(yīng)能募集到的基金金額分別為1000元，2000元，3000

元，且各張圖片是否回答正確互不影響，則這位嘉賓參加此游戲恰好共募集到3000元慈

善基金的概率為.

15.(xj)(mx-2)5的展開式中x的系數(shù)是-27,則根=.

x

16.無窮符號8在數(shù)學(xué)中是一個重要的符號，該符號的引入為微積分和集合論的研究帶來了

便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動中以無窮符號為創(chuàng)意來源，設(shè)計了如圖所示的活動標志，該

標志由兩個半徑分別為15和20的實心小球相交而成，球心距002=25,則該標志的體

積為.

附：一個半徑為R的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截

面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高(記為H),球缺的體積公式為丫=兀H2(R丹).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛?。那叭椇蜑?2,等比數(shù)列｛仇｝的前三項和為7",

Ka\—b\,a2—h2.

(1)求｛斯｝和｛兒｝的通項公式;

fa,n為奇數(shù)

(2)設(shè)c“=<—小而就，求數(shù)列｛/｝的前20項和.

Wtn為偶數(shù)

JTJT

18.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosCsin(A+—)-sinCsin(A——)

63

=1

~~2'

(1)求8；

(2)若AABC的周長為4,面積為求4

3

19.如圖，在多面體A8CDEFG中，矩形AOEG矩形C￡?EG所在的平面均垂直于正方形

ABC3所在的平面，且AB=2,AF=3.

(1)求多面體ABCDEFG的體積；

(2)求平面BFG與平面AOEF所成銳二面角的余弦值.

20.在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“〃合1檢測法”，即將〃個人的樣本合并檢測，

若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對本組的每個人再做檢

測.現(xiàn)有20k(k€N*)人，已知其中有2人感染病毒.

(I)若k=5,并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；

(2)設(shè)采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為X,采取“20合1檢測法”的總檢測次

數(shù)為匕若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當%為多少時，采取“20合1檢測法”更適宜？

請說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=*-ox2-x-1(x>0)存在極值點xo.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)比較/(2xo)與0的大小，請說明理由.

22

22.橢圓C：當三=i(a>b>0)的左頁點為A,上頂點為B,點P在橢圓C的內(nèi)部

(不包含邊界)運動，且與A,B兩點不共線，直線尸A,尸8與橢圓。分別交于O,E兩

點，當P為坐標原點時，直線。E的斜率為*,四邊形A8OE的面積為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線DE的斜率恒為微，求動點P的軌跡方程.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點在()

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

【分析】根據(jù)所給的關(guān)系式整理出z的表示形式，進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同

乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，點的代數(shù)形式的最簡形式，寫出對應(yīng)的點的坐標，判斷出位置.

解：復(fù)數(shù)Z滿足(1+z)z=l-21,

?」-2i)(1-i)

"z"1+i=(1+i)(1-i)2~

復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是(-/,得)

復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，

故選:B.

2.命題a3x()G(0,+8),sinxo2cosxo”的否定是()

A.VxG(0,+8),sinx<cosxB.VxG(0,+oo),siiu^cosx

C.VxG(-°°,0],sinx<cosxD.VxE(-°°,0],sinr^cosx

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進行判斷即可.

解：命題為特稱命題，則否定是全稱命題，

BPVXG(0,+8),sinx<cosx,

故選:A.

3.已知集合A={1,3,5,6,7,8,9},B={x\x2-14x+48^0},則圖中陰影部分表示的

集合為()

A.{1,3,5,7,9}B.{1,3,5,9}C.{1,3,5}D.{1,3,9}

【分析】求出集合3,得到CRB,圖中陰影部分表示的集合為AA(CR8),再求出AG

（CRB）即可.

解:集合A={1,3,5,6,7,8,9）,

8="仔-14X+48W0}={X|6WXW8},

:.CR3={X|X<6或X>8},

則圖中陰影部分表示的集合為AC（CRB）={1.3,5,9）.

故選：B.

4.已知某批零件的尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N（10,4）,其中Xe[8,14]的產(chǎn)品

為“合格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（）

（附：若X?N（n，。2）,則P（p-。WXWR+O）%0.6827,P（U-2OWXWR+2。）

■0.9545,P（口-3。WXWu+3o）%0.9973）

A.0.3414B.0.4773C.0.512D.0.8186

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

解：?.?某批零件的尺寸X（單位：mm}服從正態(tài)分布N（10,4）,其中Xe[8,14]的產(chǎn)

品為“合格品”，

?P_P（8<X<12）P（6<X<14）_0.6827,0.9545

..尸------------------+--------------?-------+-------=0n.8186-

2222

故選：D.

5.如圖，神舟十二號的飛行軌道是以地球球心為左焦點的橢圓（圖中虛線），我們把飛行

軌道上的點與地球表面上的點的最近距離叫近地距離，最遠距離叫遠地距離.設(shè)地球半

徑為r,若神舟十二號飛行軌道的近地距離是夫，遠地距離是仁，則神舟十二號的飛行

軌道的離心率為（）

【分析】以運行軌道長軸所在直線為X軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設(shè)橢

22

圓方程為與J=1（。>匕>0），根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.

解：以運行軌道長軸所在直線為X軸，地心產(chǎn)為右焦點建立平面直角坐標系,

22

設(shè)橢圓方程為三/4=1（〃＞人＞0），其中“2=〃+/,

根據(jù)題意有a-c=R+±R=*|^R,a+c—R+^-R=^-R,

30301515

所以2。=笑R,2c=±R,

3030

所以橢圓的離心率0=2=孕=工.

a2a63

故選：D.

6.等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項和為S,”若即=5,則S”的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得S”,關(guān)于m的表達式，利用二次函數(shù)的

單調(diào)性即可得出S“的最大值.

解：?.?公差1=2,即=5,

Atzi+2(機-1)=5,.*.?i=7-2m9

貝ljSm=ma]+m—X2=m(7-2m)+m(zn-1)=-m2+6m=-(m-3)2+9,

2

，加=3時，的最大值為9,

故選：C.

7.已知向量彳=(2,4),三=(-2,m),若W+E與E的夾角為6。。，則機=()

A.亞B.近C.巫D.邁

3333

【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標表示即可求解.

解：因為:=(2,4),芯=(-2,nz),

所以Z+E=(0,4+加)，

一..一…1Q+h}?hm(m+4)

所以cos60—二二—=//>0,

2|blla+blV4+m9*v(4+m)9

所以m>0或m<-4,

解得3或m=-2"(舍).

33

故選：D.

RtonQ.1

8.已知a,pG(0,n),sin(a-p),----x—則a+0=()

6tanp4

5711

A.—7TB.nC.—JTD.7T

666

【分析】利用和差公式結(jié)合條件求出sinacosp和cosasin0,再求出a+p即可.

解：Va,pe(0,ir),sin(a-p)=—,tangJ,

6tanB4

/.sinacosp-cosasinp=—,g_工

6cosasinp4

解得/sinacos0=—1,cosasinp=--2-,

63

iirjr

sin(a+0)=——f且=之一VaVn,OV0V-,

226

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.已知空間中的兩條直線〃?，”和兩個平面a,由則。，0的充分條件是()

A.m_La,m//^B./nca,〃u0,mA_n

C.，〃ua,m//n,"_L0D.m±n,7w±a,n±P

【分析】根據(jù)線面垂直或平行關(guān)系，代入分析討論求證即可.

解：對于選項A,枕〃0,

則有相〃B內(nèi)的一條直線I,

因為m±a,

所以Ua,

又Zcp,

所以a_L0,

即條件''/?_La,能夠得到a_L0,

所以選項A是a_L0的充分條件；

對于選項B，mua,〃u0,不一定能夠得出結(jié)論a_L0,

P，a也可能相交或平行；因此該選項錯誤；

對于選項C,m//n,

所以

又因為〃?ua,

所以a，0,

因此該選項正確；

對于選項D,

因為機_L",777±a,

所以“〃a,或〃ua,

又因為〃邛,

所以a_L0.

故選：ACD.

(多選)10.已知2"=5%=10,則()

A.工+^>1B.a>2bC.ab>4D.a+b>4

ab

【分析】利用對數(shù)的運算法則判斷AB,利用基本不等式判斷CD

解:V2a=5fc=10,

.?.戶|。酎0=擊，八.］。=擊

A,?.?LL=/g2+/g5=/g10=l,錯誤,

ab

告僵正確’

B,?h=11_lg5-21g2

lg2lg5Ig2<g5

；：正確,

C,-^+―=1,aWb.l>21L,.ab>4,

abVab

D,\'a+b=(a+6)(―+^)=上包+2>2百+2=4,正確,

abab

故選：BCD.

(多選)11.已知點O(0,0),A(4,4),過直線OA上一點B作圓C：(x-4)2+f

=4的切線，切點分別為P,Q,則()

A.以線段P。為直徑的圓必過圓心C

B.以線段PQ為直徑的圓的面積的最小值為2TT

C.四邊形BPCQ的面積的最小值為4

D.直線PQ在x,y軸上的截距的絕對值之和的最小值為4

【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點到直線距離公式，逐個進行判斷即可.

解：由題知，設(shè)點8(項，州)，則由切點弦結(jié)論得直線PQ：(xo-4)(x-4)+y0y=4,

易得直線PQ過定點M(3,1),故圓心C到直線P。的距離不是定值，PCLC。不恒

成立，故A錯誤；

因為直線PQ過定點M(3,1),故當PQ_LCM時PQ最小，|PQ|”“”=2"^=2&,

故最小直徑為&,

所以線段PQ為直徑的圓的面積的最小值為2n,故8正確;

四邊形BPCQ的面積S=\BP\^\PC\=2\BP\^2yl|BC|2-4，?二0。“,“為點C到直線0A

的距離2衣，

故5加"=248-4=4,故C正確；

當刈=3時，直線PQ：-x+3y=0過原點。，兩截距均為0,故。錯誤.

故選：BC.

￡及點P(s,0),則過點P且與曲線y=f(x)相切的直

(多選)12.已知曲線f(x)

線可能有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點坐標，得到過切點的切線方程，把尸點代入，

可得關(guān)于s的方程，令g(x)=33也(xWO),再由導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形

X-1

結(jié)合得答案.

xYI

er-)

解：由得/(x)=且％：(丘0),

c0xoe°(xn-l)

設(shè)切點為（X”—）則過切點的切線方程為￥-J=----------5——(x-xo),

°X0

?e°（Xn-1）

把尸（s,0）代入，可得=2--------——（S-Xn）,

2

X。x0

2_n

整理得S=x°0,

x0-l

令g（x）=x-2x（x^：o）,則/a）=—~~2x+?>o,

x-1（x-1）2

；.g(x)在(-8,1),(1,+oo)上單調(diào)遞增,

如圖，

由圖可知，y=s與函數(shù)y=g（x）的圖象有一個或兩個交點,

即過點P且與曲線），=f（x）相切的直線可能有1條或2條.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2_

13.若拋物線V=8x的焦點也是雙曲線七-了2=1（&>0）的焦點，貝U

【分析】求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，然后求解。即可.

2

解：拋物線V=8x的焦點（2,0）也是雙曲線七-了2=1（2>0）的焦點，

a

所以刊22+1=2,

所以a=M，

故答案為：

14.為籌集善款增設(shè)了一個“看圖猜詩句”的游戲互動環(huán)節(jié)主辦方為每位參與者最多展示三

張圖片，每張圖片的內(nèi)容均對應(yīng)一首詩詞，參與者說對其中一句即視為這張圖片回答正

確.主辦方為參與者每次只展示一張圖片，若參與者回答正確才繼續(xù)為他展示下一張圖

片，若參與者回答錯誤則游戲結(jié)束，參與者每正確回答一張圖片就可為慈善機構(gòu)募集到

一筆基金，多筆基金累積計算.己知某位參加此游戲的嘉賓能正確回答第一、二、三張

圖片的概率分別為0.9,0.5,0.4,相應(yīng)能募集到的基金金額分別為1000元，2000元，3000

元，且各張圖片是否回答正確互不影響，則這位嘉賓參加此游戲恰好共募集到3000元慈

善基金的概率為0.27.

【分析】根據(jù)獨立事件和對立事件的概率計算公式求解.

解：這位嘉賓參加此游戲恰好共募集到3000元慈善基金的情況為：

答對第一、二張圖片，答錯第三張圖片，

，這位嘉賓參加此游戲恰好共募集到3000元慈善基金的概率為:

P=0.9X0.5X(1-0.4)=0.27.

故答案為：0.27.

15.但凸)(mx-2)5的展開式中x的系數(shù)是-27,則機=_焉_.

x2

【分析】利用多項式乘多項式法則，求出(〃a-2)5展開式中常數(shù)項及V項即可列式計

算作答.

解：依題意，6心)(3-2)5的展開式中》的項是由乂，為分別與(〃優(yōu)-2)5展開

XX

式中常數(shù)項及X3項相乘積的和，

因此，(x+-y)(mx-2)5的展開式中x的項為

x

x-Cg(-2)5-^-Cg(mx)(-2)2=(-32+40m3)x,

X

即有-32+40加=-27,解得m=￡,

所以m=￡.

故答案為：

16.無窮符號8在數(shù)學(xué)中是一個重要的符號，該符號的引入為微積分和集合論的研究帶來了

便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動中以無窮符號為創(chuàng)意來源，設(shè)計了如圖所示的活動標志，該

標志由兩個半徑分別為15和20的實心小球相交而成，球心距002=25,則該標志的體

附：一個半徑為R的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截

面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高(記為”)，球缺的體積公式為丫=兀112(R用).

【分析】作出大圓截圖，利用弦心距、直角三角形得到兩個球缺的高，再利用球的體積

公式、球缺的體積公式進行求解.

解：記兩球面的交線為圓。，其大圓截面如圖所示，

2222

則15-010=20-020.且001+002=25,

解得00|=9,002=16,且圓0的半徑為12,

兩球體的公共部分可看作兩個球缺，

小球中的球缺高為15-。。1=6,VI=36TTX(15-2),

大球中的球缺高為20-002=4,V2=16HX(20號)，

33

故兀(15+20)-V1-V2

=告兀(153+203-27X13-16X14)

=14400n.

故答案為：14400m

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛如｝的前三項和為12,等比數(shù)列｛仇｝的前三項和為76,

Ka\=b\,ai=b2.

(1)求｛斯｝和出“｝的通項公式；

fa,n為奇數(shù)

(2)設(shè)c=<—4而^求數(shù)列｛/｝的前20項和.

n［丸，n為偶數(shù)

【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量，根據(jù)題意得到關(guān)于基本量的方程組進

行求解；

(2)利用分組法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式進行求解.

解：(1)由題知b2=a2=4,l+q+q2=7(q〉0)即4=2,

故bi=2,0=2,d=2,

==n

?**an2n,bn2：

+++b

(2)由題知｛Cn｝的前20項和S=aj+a3+-"a19+-Jb^*"720)

即S寫.10+考也=2246-

18.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,cosCsin(A+?L)-sinCsin(A-

63

=1

~~2'

(1)求8；

(2)若AABC的周長為4,面積為匹，求b.

3

【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得sin化工jr-)耳i，結(jié)合范圍0

即可求解3的值.

(2)由已知利用余弦定理可得4+c2-“c=〃，又a+8+c=4,利用三角形的面積公式可

求ac-1，進而求得a+cg即可求解6的值?

jrjr兀、

解：⑴sin（A-^~）二sin-^-)=-COS

故原式左邊等價于

兀jf7T7T

cosCsin（A-^-）+sinCcos（A-^-）=sin=sin（兀-B+^^）=sin（B

IT1

，即sin(B一二)，，

bN

又OVBVir,

皿兀兀

故B彘"不

所以B哈TT；

222

(2)由余弦定理知一上'二cosB=1~，即/+/-訛=〃，

2acCOSD2

又a+b+c=4f

故。[4-(〃+c)]2,整理得3〃c+16=8(〃+c),

又SMBC=法-=《acs'nB上任-ac,可得ac^，

3243

故a+c二尚，

所以

2

19.如圖，在多面體A8CDEFG中，矩形AOEF、矩形C0EG所在的平面均垂直于正方形

48co所在的平面，且AB=2,AF=3.

(1)求多面體ABCDE尸G的體積；

(2)求平面2FG與平面AOEF所成銳二面角的余弦值.

【分析】(1)利用補形法和體積差減去三棱錐8-尸”G的體積即可；

(2)以A為坐標原點，標，元I,而分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

，.—?一

求出平面BFG與平面ADEF的法向量-1,—),n=(1?0?0),求出

o

G,W〉，并結(jié)合立體圖形判定二面角為銳角，從而進一步求出二面角余弦值即可.

解：(1),：AF1AD,；.AF_L平面ABC。，

同理EQ,GC均與平面A8C￡＞垂直，

故可將多面體補成如圖所示的長方體ABCD-FHGE,

此長方體體積為2X2X3=12,

三棱錐B-FHG的體積為梟2X3=2-

故此多面體的體積為10；

(2)以A為坐標原點，AB,AD,而分別為X，y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),。(0,2,0),F(0,0,3),G(2,2,3),

???而=(-2,0,3),FG=(2,2,0)，設(shè)平面BFG的法向量為(x,y,z),

Mm令e得彘a，7叱

又ABC。為正方形，J.ABLAD,故ABJ_平面AOEF,

An=(l,0,0)為平面ADE尸的一個法向量,

r,i=3V22

cos(m，n；=r4-22

r+1+-94

故平面BFG與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為之叵.

22

20.在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“”合i檢測法”，即將“個人的樣本合并檢測，

若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對本組的每個人再做檢

測.現(xiàn)有2（uaeN*）人，已知其中有2人感染病毒.

（1）若k=5,并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；

（2）設(shè)采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為X,采取“20合1檢測法”的總檢測次

數(shù)為匕若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當k為多少時，采取“20合1檢測法”更適宜？

請說明理由.

【分析】（1）對100個人采取“20合1檢測法”需平均分為5組，共檢測25次即2個

感染者分在同一組，

（法一）只需考慮其中某位感染者所在的小組，原題等價于：從99人中任選19人與他

組成一組，求選到的19人中有另一位感染者的概率；

（法二）將100人平均分成5組，結(jié)合排列與組合數(shù)計算公式及其古典概率計算公式，

即可得出概率.

（2）若2個感染者分在同一組，則X=2K+10；若2個感染者分在不同小組，則X=

2K+20.利用古典概率計算公式即可得出.進而得出數(shù)學(xué)期望，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即

可得出最值.

解：（1）對100個人采取“20合1檢測法”需平均分為5組，共檢測25次即2個感染

者分在同一組，

（法一）只需考慮其中某位感染者所在的小組，原題等價于：從99人中任選19人與他

組成一組,

^18

C98_19

求選到的19人中有另一位感染者的概率，此概率為市二的;

七9

2o2o2o2o

CCCC_?A

(法二)將100人平均分成5組，共有C溫8O6O4O2O?

C18C2oC2oC2oC2o?418

丁

988O6O4O2O^5C9819

2o2o2o

故所求概率為COC2CCC2oA5C2O99

18O6O4O2O51

0000

(2)若2個感染者分在同一組則

P8p18

X=2k+10,P-^~2=7^9—Y=k+20,P=^y^-=—,

「920k-101920k-1

^20k-lv20k-l

若2個感染者分在不同小組，則X=2k+20,PF”？，,Y=k+40,P=l-^-

2uk-120k-1

E(X)=2k+20-麗*'E(Y)=k+40-黯?,

由題

8Q2

E(X)>E(Y)=?2k+20->k+40-o^11k-20.05k+15.5>0,k€N*

ZUkTZUk-1

拋物線-20.05x+15.5的對稱軸為x=10.025,

取x=20得y>0,取x=19得yVO,故//20,

綜上，當后》20時，采取“20合1檢測法”更適宜.

21.已知函數(shù)/(x)-ax2-x-1(x>0)存在極值點xo.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)比較/(2沖)與0的大小，請說明理由.

【分析】(1)先求解函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值存在性定理討論參數(shù)的取值范

圍(注意這里需要二次求導(dǎo))；

(2)根據(jù)題意列出關(guān)于用的等式，再運用構(gòu)造新函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解最值可得出

結(jié)果.

解：(1)/(x)-2ax-1,令〃(x)="-2ax-1(JC>0),h'(JC)—eK-2a>1-

2a,

當a4費時，〃(x)>0,h(x)在(0,+8)上單增，

即/(x)在(0,+co)上單增，：.f(x)>f(0)=0,

從而/(x)在(0,+8)上單增，故f(x)無極值點，不滿足題意，

當a>2時，〃(％)>0=>x>ln2a,h'(x)<0=x</〃2a,

2

/./?(x)在(0,ln2a)上單減,在Cln2a,+°°)上單增，

即/(x)在(0,ln2a)上單減，在(/