第十二章動量矩定理

理論力學(xué)1中南大學(xué)土木建筑學(xué)院質(zhì)點質(zhì)點系動量定理：動量的改變→外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點時，vC=0，則其動量恒等于零，質(zhì)心無運動，可是質(zhì)點系確受外力的作用。動量矩定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運動定理：質(zhì)心的運動→外力（外力系主矢）理論力學(xué)2中南大學(xué)土木建筑學(xué)院由靜力學(xué)力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動。若將簡化中心和基點取在質(zhì)心上，則動量定理(質(zhì)心運動定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運動變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運動規(guī)律的一個側(cè)面。剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將有本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械運動規(guī)律的另一個側(cè)面。理論力學(xué)3中南大學(xué)土木建筑學(xué)院正負(fù)號規(guī)定與力對軸之矩的規(guī)定相同。對著軸看：逆時針為正；順時針為負(fù)?；蛴沂致菪▌t確定正負(fù)?！?2-1動量矩一、質(zhì)點的動量矩質(zhì)點對點O的動量矩：矢量質(zhì)點對軸z的動量矩：代數(shù)量xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r理論力學(xué)4中南大學(xué)土木建筑學(xué)院質(zhì)點系對z軸的動量矩等于各質(zhì)點對同一軸動量矩的代數(shù)和。即質(zhì)點系對點O的動量矩等于各質(zhì)點對同一點動量矩的矢量和。即二、質(zhì)點系的動量矩（動量的主矩）動量矩度量物體在某瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱，kg·ｍ2/s。質(zhì)點對點O的動量矩在通過O的z

軸上的投影等于質(zhì)點對z軸的動量矩。即同理理論力學(xué)5中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。三、剛體動量矩計算1、平移剛體平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點來計算對點（或軸）的動量矩。

對轉(zhuǎn)軸的動量矩理論力學(xué)6中南大學(xué)土木建筑學(xué)院3、平面運動剛體質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩Oxyzx`y`z`Cmivi動坐標(biāo)為平移坐標(biāo)系質(zhì)點系對O點的動量矩平面運動剛體平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的某軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平移時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。對質(zhì)心的動量矩用絕對速度和用相對速度計算是相等的。理論力學(xué)7中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：[例1]滑輪A：m1，R1，J1

滑輪B：m2，R2，J2

；R1=2R2

物體C：m3

求系統(tǒng)對O軸的動量矩。理論力學(xué)8中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、質(zhì)點的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。故：§12-2動量矩定理O為固定點理論力學(xué)9中南大學(xué)土木建筑學(xué)院將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。稱為質(zhì)點的動量矩守恒。若則常矢量注意：用上式計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致。理論力學(xué)10中南大學(xué)土木建筑學(xué)院運動分析：。由動量矩定理即微幅擺動時，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運動方程，擺動周期解：將小球視為質(zhì)點，受力圖如圖示。[例2]單擺已知m，l，t=0時

=

0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。理論力學(xué)11中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、質(zhì)點系的動量矩定理左邊交換求和與求導(dǎo)運算的順序，并且注意一質(zhì)點系對固定點的動量矩定理對質(zhì)點系，將每一質(zhì)點的動量矩定理求矢量和。得對每一質(zhì)點理論力學(xué)12中南大學(xué)土木建筑學(xué)院將上式在通過固定點O的三個固定直角坐標(biāo)軸上投影，得:質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。上式稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。理論力學(xué)13中南大學(xué)土木建筑學(xué)院質(zhì)點系的動量矩守恒

當(dāng)時，常矢量。當(dāng)時，常量。動量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。理論力學(xué)14中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解:取整個系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。運動分析：

v=r

由動量矩定理：[例3]已知:理論力學(xué)15中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例4]高爐運送礦石的卷揚機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則由，有MOm2gNvm1gFOxFOyw理論力學(xué)16中南大學(xué)土木建筑學(xué)院因

,于是解得若M＞m2gRsina，則

a＞0，小車的加速度沿軌道向上。必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。理論力學(xué)17中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例5]水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸

z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞

z軸的角速度為w0。如某時此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計各桿的質(zhì)量，求這時系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即顯然，此時的角速度w＜w

0。理論力學(xué)18中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的，均為。[例6]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當(dāng)猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）理論力學(xué)19中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體于是，得到剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程一、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程§12-3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程代入質(zhì)點系動量矩定理，有FN1FN2xyzFnF2F1理論力學(xué)20中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

特殊情況：若，則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。若常量，則a=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。解決兩類問題：

①已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。

②已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束力，需用質(zhì)心運動定理求解。理論力學(xué)21中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例7]如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2

。求滑輪的角加速度a。

解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程于是得由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORa理論力學(xué)22中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例8]如圖，飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，以初角速度w0繞水平軸轉(zhuǎn)動，其阻力矩

M＝－bw

(b為常數(shù))。求經(jīng)過多長時間，角速度降至初角速度的一半，在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?解：以飛輪為研究對象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有Mw0將（1）式變換，有將上式求定積分，得理論力學(xué)23中南大學(xué)土木建筑學(xué)院即將上式求定積分，得轉(zhuǎn)過的角度為因此轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)將改寫為理論力學(xué)24中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例9]如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有由運動學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM理論力學(xué)25中南大學(xué)土木建筑學(xué)院OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時：

FOx=？,FOy=？[例10]關(guān)于突然解除約束問題理論力學(xué)26中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

突然解除約束瞬時，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動，不再是靜力學(xué)問題。這時，

0，

0。需要先求出

，再確定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程應(yīng)用質(zhì)心運動定理

OFOxFOyW=mg理論力學(xué)27中南大學(xué)土木建筑學(xué)院若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，而它對某定軸的轉(zhuǎn)動慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣量。

§12-4

剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一、定義理論力學(xué)28中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、轉(zhuǎn)動慣量的計算解：

1、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）勻質(zhì)細(xì)直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。理論力學(xué)29中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為理論力學(xué)30中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度稱為剛體對

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。在機(jī)械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。理論力學(xué)31中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

3、平行移軸定理同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。理論力學(xué)32中南大學(xué)土木建筑學(xué)院證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。理論力學(xué)33中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

[例11]如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對

z1軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1，求桿對z2的轉(zhuǎn)動慣量J2

。解：由

，得(1)－(2)得zz1z2abC理論力學(xué)34中南大學(xué)土木建筑學(xué)院當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。

4、計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法解：[例12]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l

；

均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO。理論力學(xué)35中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

[例13]均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量。解：計算下列組合桿對軸O的轉(zhuǎn)動慣量理論力學(xué)36中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

[例14]如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為R2，求對中心軸

z的轉(zhuǎn)動慣量。

解：空心圓柱可看成由兩個實心圓柱體組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為J外，內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為J內(nèi)取負(fù)值，即設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則于是理論力學(xué)37中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

設(shè)單位體積的質(zhì)量為r

，則代入前式得注意到rp

l(R21－R22)＝m,則得理論力學(xué)38中南大學(xué)土木建筑學(xué)院取輪B連同物體C為研究對象補(bǔ)充運動學(xué)條件化簡(2)

得：化簡(1)

得：解:取輪A為研究對象[例15]提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。理論力學(xué)39中南大學(xué)土木建筑學(xué)院若O為固定點，有Oxyzx`y`z`Cmivi動坐標(biāo)為平移坐標(biāo)系上式左邊求導(dǎo)展開，右邊代入也展開，得=0相等§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理理論力學(xué)40中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

質(zhì)點系相對于質(zhì)心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對于質(zhì)心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關(guān)系。質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩的改變，只與作用在質(zhì)點系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理理論力學(xué)41中南大學(xué)土木建筑學(xué)院設(shè)平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系可以簡化為該平面內(nèi)的一個平面力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。取質(zhì)心C為動系原點，則此平面運動可分解為隨質(zhì)心C的平移(xC,yC)繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動（

）可通過質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。§12-6剛體平面運動微分方程理論力學(xué)42中南大學(xué)土木建筑學(xué)院以上兩式稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時，前一式取其投影式。即理論力學(xué)43中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：輪為研究對象。受力分析如圖示。運動分析：取直角坐標(biāo)系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，

一般情況下輪作平面運動。根據(jù)平面運動微分方程，有由②式得①②③④①、③兩式中含有三個未知數(shù)aC

、F、

，需補(bǔ)充附加條件。[例16]質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為

的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f、f′，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。理論力學(xué)44中南大學(xué)土木建筑學(xué)院1．設(shè)接觸面絕對光滑。因為輪由靜止開始運動，故

＝0，輪沿斜面平移下滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動，所以可解得3．設(shè)輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。F=f′N，可解得輪作純滾動的條件：表明：當(dāng)時，解答3適用；當(dāng)時，解答2適用；f=0時解答1適用。理論力學(xué)45中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例17]均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力。解：以桿AB為研究對象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB

桿作平面運動，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運動微分方程mg理論力學(xué)46中南大學(xué)土木建筑學(xué)院BqCAxy以C點為基點，則A點的加速度為再以C點為基點，則B點的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運動開始時,w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)

軸上，得an＝0AC同理， ，將上式投影到x軸上，得an＝0BC理論力學(xué)47中南大學(xué)土木建筑學(xué)院聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：

亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：運動開始時，，故BqCAxy理論力學(xué)48中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、基本概念1、動量矩：物體某瞬時機(jī)械運動強(qiáng)弱的一種度量。2、質(zhì)點的動量矩：3、質(zhì)點系的動量矩：4、轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。對于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量要熟記。第十二章動量矩定理習(xí)題課理論力學(xué)49中南大學(xué)土木建筑學(xué)院5、剛體動量矩計算平移：定軸轉(zhuǎn)動：平面運動：二、質(zhì)點的動量矩定理及守恒

1、質(zhì)點的動量矩定理2、質(zhì)點的動量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。理論力學(xué)50中南大學(xué)土木建筑學(xué)院三、質(zhì)點系的動量矩定理及守恒

1、質(zhì)點系的動量矩定理2、質(zhì)點系的動量矩守恒四、質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理若，則常矢量若，則常量理論力學(xué)51中南大學(xué)土木建筑學(xué)院五、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運動微分方程

1、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2、剛體平面運動微分方程理論力學(xué)52中南大學(xué)土木建筑學(xué)院六、動量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對單軸傳動系統(tǒng)尤為方便）1、已知質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動運動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2、已知質(zhì)點系所受的外力矩是常力矩或時間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3、已知質(zhì)點所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動量矩守恒定理求角速度或角位移。理論力學(xué)53中南大學(xué)土木建筑學(xué)院根據(jù)剛體平面運動微分方程①②③補(bǔ)充方程：④解：選取圓柱為研究對象。(注意只是一個剛體)受力分析如圖示。運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。七、應(yīng)用舉例[例18]均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度

0，墻面地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。理論力學(xué)54中南大學(xué)土木建筑學(xué)院將④式代入①、②兩式，有將上述結(jié)果代入④式，有解得：①②③補(bǔ)充方程：④理論力學(xué)55中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：選T字型桿為研究對象。受力分析如圖示。由定軸轉(zhuǎn)動微分方程[例19]兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型，可繞通過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于水平位置時,T形桿具有角速度

=4rad/s。求該瞬時軸承O的約束力。理論力學(xué)56中南大學(xué)土木建筑學(xué)院根據(jù)質(zhì)心運動微分方程，得理論力學(xué)57中南大學(xué)土木建筑學(xué)院選圓柱B為研究對象②③①解：選圓柱A為研究對象[例20]均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求：1、圓柱B下落時質(zhì)心的加速度。

2、若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。理論力學(xué)58中南大學(xué)土木建筑學(xué)院考慮運動學(xué)關(guān)系，有④由①、②式得：代入③、④式得：①②③理論力學(xué)59中南大學(xué)土木建筑學(xué)院由動量矩定理：(1)補(bǔ)充運動學(xué)關(guān)系式：代入(1)式，得當(dāng)M>2Pr時，，圓柱B的質(zhì)心C將上升。再取系統(tǒng)為研究對象理論力學(xué)60中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例21]如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為j。求B端繩斷開瞬時，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。有AB作平面運動，以A為基點，則jjABFT因為斷開初瞬時,

vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得jAxCBaaCxmgjAxCBan

CAat

CAat

Aan

Aaat

Aan

A理論力學(xué)61中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例22]長l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿

AB和

BC用鉸鏈

B聯(lián)接，并用鉸鏈

A固定，位于平衡位置。今在

C端作用