第2課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)解簡(jiǎn)單的分式不等式．2．掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用．3．會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題．核心素養(yǎng)1．通過(guò)不等式的恒成立問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助一元二次不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．簡(jiǎn)單的分式不等式的解法2．一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題．3．利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如下：(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；(2)由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．題型探究題型一簡(jiǎn)單分式不等式的解法典例1(1)不等式eq\f(x＋5,(x－1)2)≥2的解集是(D)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3≤x≤\f(1,2)))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x≤3))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x<1或1<x≤3))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x<1或1<x≤3))(2)若關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，則關(guān)于x的不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0的解集為(C)A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2}C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2}[解析](1)eq\f(x＋5,(x－1)2)≥2?x＋5≥2(x－1)2且x≠1?2x2－5x－3≤0且x≠1，化簡(jiǎn)得解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x<1或1<x≤3)).(2)x＝1為ax－b＝0的根，所以a－b＝0，即a＝b.因?yàn)閍x－b>0的解集為{x|x>1}，所以a>0，故eq\f(ax＋b,x－2)＝eq\f(a(x＋1),x－2)>0，等價(jià)為(x＋1)(x－2)>0.所以x>2或x<－1.[歸納提升]簡(jiǎn)單分式不等式的解法：先通過(guò)移項(xiàng)、通分整理，再化成整式不等式來(lái)解．如果能判斷出分母的正負(fù)，直接去分母也可．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)不等式eq\f(x＋1,2x－1)＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(1,2)))_.(2)不等式eq\f(x＋1,a－x)≥0的解集是{x|－1≤x＜5}，則a的值為_(kāi)5_.[解析](1)原不等式可化為(x＋1)(2x－1)＜0，∴－1＜x＜eq\f(1,2)，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(1,2))).(2)由于原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x＋1)(x－a)≤0，,x≠a.))因此結(jié)合不等式解集知a＝5.題型二不等式的恒成立問(wèn)題典例2設(shè)函數(shù)y＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y<0恒成立，求m的取值范圍；(2)對(duì)于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．[解析](1)若m＝0，顯然－1<0恒成立；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))－4<m<0.∴m的取值范圍為{m|－4<m≤0}．(2)y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<eq\f(6,x2－x＋1).∵函數(shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，∴只需m<eq\f(6,7)即可．∴m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m<\f(6,7))).[歸納提升]1.一元二次不等式在R上恒成立問(wèn)題的解法ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．在給定范圍上的恒成立問(wèn)題的解法方法一：①當(dāng)a＞0時(shí)，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時(shí)的函數(shù)值同時(shí)小于0.②當(dāng)a＜0時(shí)，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時(shí)的函數(shù)值同時(shí)大于0.方法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)關(guān)于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R，則a的取值范圍為(D)A．－eq\f(3,5)<a<1B．－eq\f(3,5)≤a≤1C．－eq\f(3,5)<a≤1或a＝－1D．－eq\f(3,5)<a≤1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x2＋mx＋9＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_{m|m>－6}_.[解析](1)當(dāng)a2－1＝0時(shí)，a＝±1，若a＝1，則原不等式可化為－1<0，顯然恒成立；若a＝－1，則原不等式可化為2x－1<0不是恒成立，所以a＝－1舍去；當(dāng)a2－1≠0時(shí)，因?yàn)?a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，))解得－eq\f(3,5)<a<1；綜上，a的取值范圍為：－eq\f(3,5)<a≤1.故選D.(2)因?yàn)閤＞0，所以不等式x2＋mx＋9＞0可化為－m＜x＋eq\f(9,x)，而當(dāng)x＞0時(shí)，x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(9,x)，即x＝3時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m>－6}．題型三一元二次方程根的分布典例3已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有兩實(shí)根，如果兩實(shí)根都大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]設(shè)方程兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝eq\f(m－1,8)，x1x2＝eq\f(m－7,8).因?yàn)閮筛笥?，所以x1－1>0，x2－1>0，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝(m－1)2－32(m－7)≥0，,(x1－1)＋(x2－1)>0，,(x1－1)(x2－1)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((m－1)2－32(m－7)≥0，,\f(m－1,8)－2>0，,\f(m－7,8)－\f(m－1,8)＋1>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥25或m≤9，,m>17，,m∈R，))所以m≥25.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥25}．[歸納提升]方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情況如下，其中x1，x2為該方程兩根：(1)x1，x2一正一負(fù)?x1x2<0.(2)x1>0，x2>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2>0，,x1x2>0.))(3)x1<0，x2<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2<0，,x1x2>0.))對(duì)點(diǎn)練習(xí)?要使關(guān)于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是_{a|－2<a<1}_.[解析]設(shè)兩根為x1>1，x2<1，則x1－1>0，x2－1<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x1－1)(x2－1)<0，,Δ>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1x2－(x1＋x2)＋1<0，,Δ＝(a2－1)2－4(a－2)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＋(a2－1)＋1<0，,(a2－1)2－4(a－2)>0，))解得－2<a<1.題型四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用典例4某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷(xiāo)售量．(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？[解析](1)由題意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－(1.2－1)×1000>0，,0<x<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0，,0<x<1，))解不等式組，得0<x<eq\f(1,3)，所以為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,3))).[歸納提升]求解一元二次不等式應(yīng)用問(wèn)題的步驟對(duì)點(diǎn)練習(xí)?國(guó)家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶(hù)向國(guó)家納稅為：每收入100元納稅8元(稱(chēng)作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購(gòu)政策．根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，收購(gòu)量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.[解析]設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依題意，得y≥2400m×8%×78%，即－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根據(jù)x的實(shí)際意義，知x的范圍為0<x≤2.誤區(qū)警示不等式恒成立時(shí)忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)特征典例5要使函數(shù)y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒為負(fù)值，求m的取值范圍．[錯(cuò)解]二次函數(shù)y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒為負(fù)，則必須圖象開(kāi)口向下，且與x軸無(wú)公共點(diǎn)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m2－4m(m－1)<0))?m<0，所求范圍為m<0.[錯(cuò)因分析]只有一元二次不等式才有相應(yīng)判別式的研究，本題中的函數(shù)由于二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，因此可能不是一元二次型，因此必須討論m的取值．解答本題時(shí)容易出錯(cuò)的地方是直接默認(rèn)函數(shù)為一元二次型而采用判別式法處理．[正解]函數(shù)y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒為負(fù)值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，于是①當(dāng)m＝0時(shí)，－1<0恒成立；②當(dāng)m≠0時(shí)，要使其恒成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2－4m(m－1)<0，))解得m<0.綜上，m的取值范圍為{m|m≤0}．[方法點(diǎn)撥]忽略對(duì)疑似二次型問(wèn)題的二次項(xiàng)系數(shù)的討論是二次型問(wèn)題的常見(jiàn)且典型的錯(cuò)誤，因此要注重對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論．1．不等式eq\f(3x＋1,1－4x)≥0的解集是(B)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,4)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))[解析]原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((3x＋1)(4x－1)≤0，,1－4x≠0，))解得－eq\f(1,3)≤x<eq\f(1,4)，故其解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4))))).故選B.2．若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤－\f(1,3)))))，則不等式eq\f(3x－a,x－3)<0的解集為_(kāi){x|2<x<3}_.[解析]由不等式ax2＋5x＋1≤0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤－\f(1,3)))))，可知方程ax2＋5x＋1＝0有兩根x1