大招7"片段和"秒解前〃項和

大招總結(jié)

5?,S2?-S?,S3,,-%我們暫且稱之為“片段和”.

2

當(dāng)｛4｝是等差數(shù)列時，s?,S2?-Sn,S3,,-邑,,也構(gòu)成等差數(shù)列，公差為nd.

當(dāng)｛4｝是等比數(shù)列時，S?,S2?-Sn,53“-S?”也構(gòu)成等比數(shù)列，公比為二.（當(dāng)n為偶數(shù)

）

時，"T,不然S八S2?-Sn.S3?-52?每一項為0

證明：等差數(shù)列，=4+出++%,

S

2?-S?=a?+l+an+2++a2?,

S+a

S3"-2n=”2，，+1+%+2+3n?

6”-S“）-S,、=（4+|+all+2++a2il）-（at+a2++a“）

=nd+nd++nd=nd?

（S3"一邑/一⑸〃-5〃）=（4〃+1+。2〃+2++々3〃）一（％+1+?！?2++々2〃）

=nd+nd++nd=ivd

明顯可以看出公差為n2d.

同理：等比數(shù)列的公比為qn.

典型例題

例1.（2021?甲卷文科）記S"為等比數(shù)列｛見｝的前n項和.若52=4,S4=6,則

56=（）

A.7B.8C.9D.10

解：因為S,,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，S2=4,邑=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知52，S4-S2,§6-54成等比數(shù)列，

所以4,2,臬-6成等比數(shù)列，

所以22=4（§6-6）,解得$6=7.

故選A.

例2.已知等差數(shù)列｛4,｝的前?項和為S“,若S1O=1O,S2O=4O,則邑。等于

（）

A.70B.90C.130D.160

解：因為等差數(shù)列｛4｝的前?項和為S.,所以九，S20-5I01SJO-^O也成等差數(shù)列,

故2x（40-10）=10+%-40,解得%=90,故選B.

例3.（2021秋?會寧縣校級期末）設(shè)等差數(shù)列,“｝的前?項和為5?,若其=8,

SR=20,貝1）43+%+45+46=（）

A.20B.16C.12D.8

解：因為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“S4=8,58=20,

由等差數(shù)列的性質(zhì)得：5』，58-S4,S12-S8,516-5,,成等差數(shù)列，

又54=8,$-3=20-8=12,

所以d2-S8=SI2-20=12+4=16,

516-512=43+〃14+《5+46=16+4=20.故選A.

例4.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前n項和為%若稱=3，則T=()

d6d9

83

A.2B.-C.—D.3

37

解：方法1因為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，今=3,

所

以3

+9

^4+43

故

所

選

以4=-

￥9+7C.

9-

妨

方

法

2設(shè)3S

-6

47所以率=；,故選C.

邑=3.56-53=-2,所以59-S6=-,求得S9=-,

例5.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛??｝的前n項和為S,,若幾=2,%=14,則%等

于（）

A.80B.30C.26D.16

解：方法1：由題意知等比數(shù)列｛4｝的公比9>0,且什】，則有

+g">-6=0,解得產(chǎn)=2,則g40=16,且代入①得

=-2x(1-16)=30.故選B.

方法2因為為等比數(shù)列，所以4,S20-S10,S3O-S2O,S4G-S3。成等比數(shù)列

520S|()_即鳥丁=￡夸，求得

%=6或-4（因為｛%｝為正項數(shù)歹I

2320一，

所以舍去Y),求得S4O-S3O=16.所以幾=30,故選B.

例6.(2021秋?海珠區(qū)期末)等比數(shù)列｛〃"｝中，已知4+%+%=6,g+〃5+〃6=—3,

則%+《+偈=()

3327

A.24B.-C.-D.——

248

解：等比數(shù)列MJ中，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：s“，s2n-sn,%,-%,成等比數(shù)列，由

,-33j,

%+%+/=6,4+區(qū)+4=一？，得：Oj+tz+6^=-3x-=-.故選B.

862

例7.（2021秋?河西區(qū)期末）在等差數(shù)列（??｝中，S?為其前〃項的和，若￡=12,

58=40,貝IJ$6=.

解：在等差數(shù)列｛q｝中，S,為其前〃項的和，S4=12,S8=40,由等差數(shù)列的性質(zhì)得：

九一無是等差數(shù)列，且首項為公差為

S4,58-S4,S12-SS,12,4=（40—12）—12=16,

S]2-Ss=（40-12）+16=44,二兀=44+40=84,S|6-Sn=44+16=60,

S16=60+84=144.故答案為:144.

自我檢測

1.已知S“是等差數(shù)列｛?！ǎ那啊椇?且S2=6,54=20,則56等于（）

A.50

B.42

C.38

D.36

答案：.等差數(shù)歹U的前幾項和為,§2=6,§4=20,則S2,§4—$2,§6—§4成等差數(shù)歹U,

.?.6,20-6=14,§6-20成等差數(shù)列，.?.2X14=6+S$-20,解得56=42.故選B.

2.（2021春-靜?？h期中）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃,若S4=8,S8=20,則

出+為+%+42=。

A.18

B.17

C.16

D.15

答案：設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為冬,??.5438-54，52-58成等差數(shù)列，即8,12,、2-58

成等差數(shù)列，故S|2-$8=16,即佝+。]0+%+《2=16,故選C.

3.（2021秋-昌江區(qū)校級期中）設(shè)等差數(shù)列｛afl｝前n項和為S“，若邑=4,Sg=9,則S12等于（）

A.12

B.13

答案：等差數(shù)列前〃項和為,由等差數(shù)列的性質(zhì)得：

｛q｝SZI,S4=4,S8=9

S4,S8—S4，，2—§8成等差數(shù)列，4,9—402—9成等差數(shù)列，.?.2（9—4）=4+與一9,解得

Sl2=15.故選D.

4.（2021-靜寧縣一模）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前八項和為S,,，若加=288,S9=162,則$6=（）

答案：方法1:設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,由題意可得

$2=12q+—d=288,S9=9q+^d=162

4=2,"=4,r.S6=6?|H——d=72,故選D.

方法2:S3，S6-S3，S9—S6，S12-S9成等差數(shù)列，令S3=x,=y即

x,y-x,162-^,288-162成等差數(shù)列，則

%+（162-丁）=2（丁一》）,（了一%）+（288-162）=2（162-?。獾?6=丁=72,故選D.

方法3:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)&+鼠=2x*,臬=72,故選D

6129

5.（2021春-雨花區(qū)校級月考）在等差數(shù)列｛《）中，前n項和為S,，且2=3,則&=（）

C.2

D.3

答案：等差數(shù)列｛%｝中，前”項和為S“，且些=3,設(shè)S4=r，則58=3t,:.S4,Ss-S4,S12-S8,

也是等差數(shù)列，即，,2/,、2-S8成等差數(shù)列，故有SI2-S8=3f,故有'2=$8+3，=6/,則

鼠=?=2,故選C.

$83，

(2021秋-聊城期末)設(shè)S?是等差數(shù)列｛&｝的前〃項和,若1=2,則旦=()

6.

$85S]6

5

A.

14

7

B.

26

3

C.

5

2

D.

5

答案：方法1：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為是等差數(shù)列｛%｝的前N項和,

,4x3,

4?,+—

整理得

12

8x7

13Sa4+丁"8q+28d52d+28d5

a=—d,J:.」8=------旨==—!----=------------=一.故選A.

}1

2516.aI6x15416%+120"104J+120J14

12

方法2:不妨令S4=2,=5,v54,-54,512-S8,S16-S12是等差數(shù)列，即

S4=2,S3-S4=3,S12-5g=4,516-5I2=5,/.Sl2=9,耳6=14,去=2,故選A.

14

7.(2021秋?河西區(qū)期末)已知等比數(shù)列的首項為-1,前〃項和為S,，若&=必，則公比q=()

S$32

4

B-4

C.2

D.-2

答案：｛an｝是等比數(shù)列，由數(shù)列前〃項和的定義及等比數(shù)列通項公式得，

Eo=(4+2++%)+(%+%+

+4o)=S5+/(4+W++%)=(1+=]+[5=，解得q=故選B.

8.(2021春-赤峰期末)若等比數(shù)列｛fl,,｝的前〃項和為S“，且S3=3,$6=9,則$9=()

A.12

B.18

C.21

D.24

答案：等比數(shù)列｛4｝中，S3=3,§6=9,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3,§6-S3,S9—§6成等比數(shù)

列，即3,6,$9-$6成等比數(shù)列，所以36=3(Sg-S6),則Sg=21故選C.

9.設(shè)等比數(shù)列｛?,,｝的前〃項和為S“，若幾：$5=1：2,則S5+S1P+E5.=0

九一S5

A-?

B--l

C-I

9

D.一一

2

答案：等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”S1o：S5=1:2,.?.(SK)—85):85=—1:2,由等比數(shù)列的

性質(zhì)得S15

、//、3I

—Bo):(51()—55):55=1*(-2):4,/.幾：Ro:a=3:2:4,.\S15="55,5I0=—S5,.\

13

/+/+幾」+2S5+4S59

——.故選D.

510一S52

10.（2020-新課標(biāo)I）設(shè)｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，且4+%+%=1,。2+。3+。4=2,則4+。7+。8=（）

A.12

B.24

C.30

I).32

答案：｛4｝是等比數(shù)列，且4+。2+%=1，則％+/+。4=4(4+。2+/)，即

4=2,/.4+%+%=q5(q+a?+/)=2,x1=32,故選D.

11.（2021-湖北模擬）若等比數(shù)列｛q｝的前n項和為S“，且&?=6,則邑=（）

S3^6

A7

31

Bn.—

6

c-i

D.3

q(1-力

答案：方法1：設(shè)等比數(shù)處I｛?！埃氖醉椥?，公比q,顯然qX1,則區(qū)=

=l+/=6,

i-q

4(1-/)

c2

即43=5,貝|］字=—/i：6j=；j=［：=：，故選口.

S6a.

i-q

方法2:不妨令S3=1,§6=6,邑,$6-53，風(fēng)一&也是等比數(shù)列，即1,5,$9-6構(gòu)成等比數(shù)列,

$9-6=25/.S9=31,顯=衛(wèi)，故選B.

S?6

12.（2021秋-海門市校級期中）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若邑=5,則等比數(shù)列｛an｝

的公比為

A.2

B.1或2

C.-2或2

D.-2或1或2

答案：方法1：設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4,當(dāng)4=1時，S.=叫同=252,不符題意;故

可得:-4,、=5,即為1+才=5,解得q=±2,故選C.

i-q

方法2：邑=±士1世也=1+/=5,解得4=±2,故選C.

s?s?

13.（2021秋-河?xùn)|區(qū)期末）設(shè)等比數(shù)列｛an｝