頁(yè)第四節(jié)橢圓核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合橢圓的定義、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、幾何圖形，會(huì)求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2﹣b23．常用結(jié)論(1)過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦，長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，過(guò)焦點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸．(2)過(guò)原點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，最短弦為短軸長(zhǎng)2b.(3)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的橢圓方程為eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞﹣b2)．(4)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a＋c)．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(橢圓的定義)設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝()A．4B．8C．6D．18解析：選C由定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.2．(橢圓的離心率)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3)B．eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)解析：選B∵橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故選B.3．(橢圓的方程)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1解析：選D依題意，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(求參數(shù))橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________.解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，因?yàn)槠浣裹c(diǎn)在y軸上，所以a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依題意知eq\r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(忽視橢圓定義中2a>|F1F2|)到兩定點(diǎn)F1(﹣2,0)和F2(2，0)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡是()A．橢圓B．線段C．圓D．以上都不對(duì)答案：B2．(忽視對(duì)焦點(diǎn)位置的討論)若橢圓的方程為eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10﹣a﹣(a﹣2)＝22，解得a＝4；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a﹣2﹣(10﹣a)＝22，解得a＝8.答案：4或83．(忽視橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件)已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2﹣b2＝5﹣4＝1，所以c＝1，則F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用考法(一)利用定義求軌跡方程[例1]已知兩圓C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,48)＝1B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)﹣eq\f(y2,64)＝1D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[解析]設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13﹣r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.[答案]D考法(二)求解“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題[例2]橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PF1，PF2的中點(diǎn)分別為M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為2eq\r(3)，則△PF1F2的周長(zhǎng)是()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3))B．4＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3)D．eq\r(2)＋2eq\r(3)[解析]如圖，由于O，M，N分別為F1F2，PF1，PF2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四邊形OMPN為平行四邊形，所以?OMPN的周長(zhǎng)為2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2﹣1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，所以△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋eq\r(3))，故選A.[答案]A考法(三)利用定義求最值[例3]設(shè)點(diǎn)P是橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,1)，則|PA|＋|PF|的取值范圍是______________．[解析]如圖所示，設(shè)F′是橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，PF′，則F′(﹣2,0)，∴|AF′|＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq\r(2)＋eq\r(17)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|＝2a﹣(|PF′|﹣|PA|)≥2a﹣|AF′|＝4eq\r(2)﹣eq\r(17).∴|PA|＋|PF|的取值范圍是[4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)]．[答案][4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)][方法技巧]橢圓定義應(yīng)用的類型及方法求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問(wèn)題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧求最值抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)(2021·日照模擬)已知P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則()A．△PF1F2的周長(zhǎng)為12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2解析：選BCD由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36﹣2|PF1|·|PF2|﹣eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，解得d＝eq\f(2\r(10),5)，故C選項(xiàng)正確；eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝|eq\o(PF1,\s\up7(→))|·|eq\o(PF2,\s\up7(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D選項(xiàng)正確．2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為eq\f(2－\r(3),2)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范圍是________．解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2﹣c2＝b2＝1.①∵△F1AB的面積為eq\f(2－\r(3),2)，∴eq\f(1,2)(a﹣c)b＝eq\f(2－\r(3),2)，∴a﹣c＝2﹣eq\r(3).②由①②聯(lián)立解得，a＝2，c＝eq\r(3).由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq\f(4,|PF1|4－|PF1|)＝eq\f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，又2﹣eq\r(3)≤|PF1|≤2＋eq\r(3)，∴1≤﹣|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)≤4，即eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范圍是[1,4]．答案：[1,4]考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，﹣eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1[解析]法一：定義法橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)為(0，﹣4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2﹣b2，可得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故選C.法二：待定系數(shù)法設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,25＋k)＋eq\f(x2,9＋k)＝1(k>﹣9)，將點(diǎn)(eq\r(3)，﹣eq\r(5))的坐標(biāo)代入，可得eq\f(－\r(5)2,25＋k)＋eq\f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝﹣5，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故選C.[答案]C[例2]如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(﹣5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1[解析]由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故選C.[答案]C[方法技巧]求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程待定系數(shù)法若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[針對(duì)訓(xùn)練]1．若直線x﹣2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不正確解析：選C直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(﹣2,0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.2．一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由點(diǎn)P(2，eq\r(3))在橢圓上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2﹣b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.所以橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)考法(一)求橢圓的離心率[例1](1)已知橢圓方程為eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)(2)過(guò)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左焦點(diǎn)F的直線過(guò)C的上端點(diǎn)B，且與橢圓相交于點(diǎn)A，若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)因?yàn)閍，b，a＋b成等差數(shù)列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因?yàn)閍，b，ab成等比數(shù)列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，c＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以離心率e＝eq\f(\r(2),2).故選C.(2)由題意可得B(0，b)，F(xiàn)(﹣c,0)，由eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，又點(diǎn)A在橢圓上，則eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故選D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]求橢圓離心率的3種方法(1)直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根.考法(二)求橢圓的離心率的范圍[例2](1)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線y＝x與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上存在異于A，B兩點(diǎn)的點(diǎn)P使得kPA·kPB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，則離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x﹣3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于eq\f(6,5)，則橢圓離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3)))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))[解析](1)設(shè)P(x0，y0)，直線y＝x過(guò)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性設(shè)A(x1，y1)，B(﹣x1，﹣y1)，kPAkPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)×eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1)).又eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，兩式做差，代入上式得kPAkPB＝﹣eq\f(b2,a2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故0<eq\f(b2,a2)<eq\f(1,3)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).(2)如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3.取P(0，b)，∵點(diǎn)P到直線l：4x﹣3y＝0的距離不小于eq\f(6,5)，∴eq\f(|3b|,\r(16＋9))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.∴c≤eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴0<eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),3).∴橢圓E的離心率范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))).故選C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]求橢圓離心率范圍的2種方法方法解讀適合題型幾何法利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式題設(shè)條件直接有不等關(guān)系考法(三)與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題[例3]如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值為()A．1B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)[解析]設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．由題意知a＝2，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3.∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.∴﹣2≤x0≤2，﹣eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).又F(﹣1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up7(→))＝(﹣1﹣x0，﹣y0)，eq\o(PA,\s\up7(→))＝(2﹣x0，﹣y0)，∴eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o\al(2,0)﹣x0﹣2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)﹣x0＋1＝eq\f(1,4)(x0﹣2)2.當(dāng)x0＝﹣2時(shí)，eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))取得最大值4.故選C.[答案]C[方法技巧]與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．[提醒]求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知橢圓C：16x2＋25y2＝400，則下述正確的是()A．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10B．橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，﹣3)和(0,3)C．橢圓C的離心率等于eq\f(3,5)D．若過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線l與橢圓C交于P，Q，則|PQ|＝eq\f(32,5)解析：選ACD∵16x2＋25y2＝400，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝10，故A、C正確，B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，|PQ|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,5)，正確．故選A、C、D.2．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線l過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓截l所得的弦長(zhǎng)等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(6),3)解析：選D直線l的方程為y＝x±c，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓截l所得的弦為AB，AB＝2c，設(shè)OC⊥AB，垂足為C，則OC＝eq\f(|±c|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2?a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2＋eq\f(1,2)c2?a2＝eq\f(3,2)c2?c＝eq\f(\r(6),3)a?e＝eq\f(\r(6),3)，故選D.3．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：選A設(shè)P(x0，y0)，由題易知|x0|<a，因?yàn)椤螰1PF2為鈍角，所以eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))<0有解，即c2>xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)有解，即c2>(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))min，又yeq\o\al(2,0)＝b2﹣eq\f(b2,a2)xeq\o\al(2,0)，xeq\o\al(2,0)<a2，故xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝b2＋eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)∈[b2，a2)，所以(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2﹣c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)>eq\f(1,2)，解得e>eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，故橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，故選A.一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法橢圓中的垂徑定理：kAB·kOM＝﹣eq\f(n,m).[證明]設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上的兩點(diǎn)，把點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),m)＋\f(y\o\al(2,1),n)＝1，,\f(x\o\al(2,2),m)＋\f(y\o\al(2,2),n)＝1，))將兩式作差并整理得eq\f(x1－x2x1＋x2,m)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,n)＝0，記弦AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，若x1≠x2，則eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝﹣eq\f(n,m)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝﹣eq\f(n,m)，從而kAB·eq\f(y0,x0)＝﹣eq\f(n,m)，即kAB·kOM＝﹣eq\f(n,m).[應(yīng)用體驗(yàn)]1．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析：選D設(shè)AB的中點(diǎn)為M(1，﹣1)，則kAB·kOM＝﹣eq\f(b2,a2)，而kAB＝kMF＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，kOM＝﹣1，故eq\f(1,2)×(﹣1)＝﹣eq\f(b2,a2)，故a2＝2b2，①又a2＝b2＋9，②由①②解得a2＝18，b2＝9，故橢圓E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.2．如果AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為()A．e﹣1B．1﹣eC．e2﹣1D．1﹣e2解析：選C易知kAB·kOM＝﹣eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)﹣1＝e2﹣1.二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為eq\f(\r(7),4)，面積為12π，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,32)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,36)＝1解析：選A由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，所以橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1.2．“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器于2019年1月在月球背面成功著陸．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用e1和e2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的離心率，則()A．e1>e2B．e1<e2C．e1＝e2D．e1與e2的大小關(guān)系不能確定解析：選A設(shè)橢圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2a1,2a2，焦距分別為2c1,2c2.由題意知a1>a2>0，c1>c2>0，且a1﹣c1＝a2﹣c2.令a1﹣c1＝a2﹣c2＝t，t>0，則a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.所以eq\f(1,e1)＝eq\f(a1,c1)＝eq\f(c1＋t,c1)＝1＋eq\f(t,c1)，eq\f(1,e2)＝eq\f(a2,c2)＝eq\f(c2＋t,c2)＝1＋eq\f(t,c2).因?yàn)閏1>c2>0，t>0，所以eq\f(t,c1)<eq\f(t,c2)，所以eq\f(1,e1)<eq\f(1,e2)，即e1>e2.故選A.3.如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<5)的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF的方程為eq\r(15)x＋y﹣4eq\r(15)＝0，且eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))＝0，設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，則橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值為()A.eq\f(\r(7),4)B．eq\f(4\r(7),3)C.eq\f(\r(7),3)D．eq\f(3\r(7),4)解析：選D依題意得直線AP的方程為x﹣eq\r(15)y＋5＝0，直線PF與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25﹣16＝9，即橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.設(shè)M(m,0)(﹣5≤m≤5)，則M到直線AP的距離為eq\f(|m＋5|,4)，又|MB|＝|5﹣m|，∴eq\f(|m＋5|,4)＝|5﹣m|，∵﹣5≤m≤5，∴eq\f(m＋5,4)＝5﹣m，解得m＝3，∴M(3,0)．設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)(x∈[﹣5,5])到M(3，0)的距離為d，則d2＝(x﹣3)2＋y2＝(x﹣3)2＋9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25)))＝eq\f(16,25)x2﹣6x＋18＝eq\f(16,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(75,16)))2＋eq\f(63,16)，∵x∈[﹣5,5]，∴當(dāng)x＝eq\f(75,16)時(shí)，d2最小，此時(shí)dmin＝eq\f(3\r(7),4).4．(多選)如圖，記橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A．P到F1(﹣4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，﹣4)，E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值B．曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝﹣x均對(duì)稱C．曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36D．曲線C的總長(zhǎng)度不大于6π解析：選BC對(duì)于A，若點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則P到F1(﹣4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值，到E1(0，﹣4)，E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A錯(cuò)；對(duì)于B，聯(lián)立兩個(gè)橢圓的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,\f(y2,25)＋\f(x2,9)＝1，))得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝﹣x均對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故C正確；對(duì)于D，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長(zhǎng)度必大于圓的周長(zhǎng)6π，故D錯(cuò)．故選B、C.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．(多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上C．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線解析：選AD∵mx2＋ny2＝1，∴eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，∴C是橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，故A正確，B錯(cuò)誤．若m＝n＞0，則x2＋y2＝eq\f(1,n)，C是圓，半徑為eq\f(1,\r(n))，C錯(cuò)誤．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq\f(1,n)，∴y＝±eq\f(\r(n),n)，則C是兩條直線，D正確．故選A、D.2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b解析：選B因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.3．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,m)＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，則m＝()A．4B．8C．16D．18解析：選C橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則m＝a2.由長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝8得a＝4，所以m＝16.故選C.4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A∵△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，∴由橢圓的定義可知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故選A.5．橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝()A．1B．eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：選C∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3)，故選C.6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1﹣eq\f(\r(3),2)B．2﹣eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\r(3)﹣1解析：選D由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)﹣1.故選D.二、綜合練——練思維敏銳度1．橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1B．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1解析：選C由題意知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，即a＝2b.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，所以若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝2，b＝1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a＝4，b＝2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1，故選C.2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為()A．4B．3C．2D．5解析：選A連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.故選A.3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1解析：選B橢圓9x2＋4y2＝36可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(5))，故可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,6)＝1.4．直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)解析：選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.由題意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(1,2).故選B.5．(多選)設(shè)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線y＝m(0<m<eq\r(3))與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下述結(jié)論正確的是()A．|AF|＋|BF|為定值B．△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是[6,12]C．當(dāng)m＝eq\r(2)時(shí)，△ABF為直角三角形D．當(dāng)m＝1時(shí)，△ABF的面積為eq\r(6)解析：選AD設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6為定值，A正確；△ABF的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|為定值6，|AB|的取值范圍是(0,6)，∴△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是(6,12)，B錯(cuò)誤；將y＝eq\r(2)與橢圓方程聯(lián)立，可解得A(﹣eq\r(3)，eq\r(2))，B(eq\r(3)，eq\r(2))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴BA→·eq\o(BF,\s\up7(→))＝(﹣2eq\r(3)，0)·(eq\r(6)﹣eq\r(3)，﹣eq\r(2))＝6﹣6eq\r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C錯(cuò)誤；將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得A(﹣eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正確．6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓C上的一點(diǎn)，且AF2⊥F1F2，AF1與y軸交于點(diǎn)B，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))的值為()A.eq\f(3,4)B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．eq\f(5,2)解析：選A由AF2⊥F1F2，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，∵OB∥AF2且O為F1F2中點(diǎn)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(3,4).7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1上，動(dòng)點(diǎn)N在以M為圓心，半徑長(zhǎng)為|MF1|的圓上，則|NF2|的最大值為()A．2B．4C．8D．16解析：選B由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在y軸上，a2＝4，∴a＝2，由題意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，當(dāng)N，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值(如圖)，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，∴|NF2|的最大值為4.故選B.8．(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2且|F1F2|＝2，點(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，則以下說(shuō)法正確的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值為2eq\r(a)﹣1B．橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2C．橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．若eq\o(PF1,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq\r(5)＋eq\r(17)解析：選ACD因?yàn)閨F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2eq\r(a)﹣|QF2|＋|QP|≥2eq\r(a)﹣|PF2|＝2eq\r(a)﹣1，當(dāng)Q，F(xiàn)2，P三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，故A正確；若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，則b＝1，a＝2，所以橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,1)＝1，eq\f(1,2)＋eq\f(1,1)＞1，則點(diǎn)P在橢圓外，故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1，又a﹣b＝1，所以b＝a﹣1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,a－1)＜1，即a2﹣3a＋1＞0，解得a＞eq\f(3＋\r(5),2)＝eq\f(6＋2\r(5),4)＝eq\f(1＋\r(5)2,4)，所以eq\r(a)＞eq\f(1＋\r(5),2)，所以e＝eq\f(1,\r(a))＜eq\f(\r(5)－1,2)，所以橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))，故C正確；若eq\o(PF1,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，則F1為線段PQ的中點(diǎn)，所以Q(﹣3，﹣1)，所以eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝1，又a﹣b＝1，即a2﹣11a＋9＝0，解得a＝eq\f(11＋\r(85),2)＝eq\f(22＋2\r(85),4)＝eq\f(\r(5)＋\r(17)2,4)，所以eq\r(a)＝eq\f(\r(5)＋\r(17),2)，所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq\r(5)＋eq\r(17)，故D正確．故選A、C、D.9．與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x﹣3)2＋y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9﹣r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(﹣3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝110．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一個(gè)點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長(zhǎng)為18，則橢圓C的方程為_(kāi)_______．解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，又知△PF1F2的面積為9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，∵△PF1F2的周長(zhǎng)為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2﹣c2＝9，∴a﹣c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝111．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)P是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為A，若|OA|＝2b，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．解析：如圖，延長(zhǎng)F2A交F1P于點(diǎn)M，由題意可知|PM|＝|PF2|，由橢圓定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a，故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.連接OA，知OA是△F1F2M的中位線，∴|OA|＝eq\f(1,2)|MF1|＝a，由|OA|＝2b，得2b＝a，則a2＝4b2＝4(a2﹣c2)，即c2＝eq\f(3,4)a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)12．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)．若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為_(kāi)_______．解析：∵∠F1AF2＝90°，∴a＝eq\r(2)b，即橢圓方程為eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，n))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－b))，且eq\f(m2,2b2)＋eq\f(n2,b2)＝1，即n2﹣b2＝﹣eq\f(m2,2)，kAMkBM＝eq\f(n－b,m)·eq\f(n＋b,m)＝eq\f(n2－b2,m2)＝eq\f(－\f(m2,2),m2)＝﹣eq\f(1,2)，又kAM＝﹣1，∴kBM＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的離心率為eq\f(\r(15),4)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．解：(1)由題設(shè)可得eq\f(\r(25－m2),5)＝eq\f(\r(15),4)，解得m2＝eq\f(25,16)，所以C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(25,16))＝1.(2)設(shè)P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)yQ>0，由題意知yP>0.由已知可得B(5,0)，直線BP的方程為y＝﹣eq\f(1,yQ)(x﹣5)，所以|BP|＝y(tǒng)Peq\r(1＋y\o\al(2,Q))，|BQ|＝eq\r(1＋y\o\al(2,Q)).因?yàn)閨BP|＝|BQ|，所以yP＝1，將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或﹣3.由直線BP的方程得yQ＝2或8.所以點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(﹣3,1)，Q2(6，8)．|P1Q1|＝eq\r(10)，直線P1Q1的方程為y＝eq\f(1,3)x，點(diǎn)A(﹣5,0)到直線P1Q1的距離為eq\f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝eq\f(5,2)；|P2Q2|＝eq\r(130)，直線P2Q2的方程為y＝eq\f(7,9)x＋eq\f(10,3)，點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為eq\f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(130),26)×eq\r(130)＝eq\f(5,2).綜上，△APQ的面積為eq\f(5,2).14．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(→))，eq\o(AF1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)，求橢圓的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(﹣c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，設(shè)B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s