求數(shù)列通項公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細）

總述：一.利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的11種方法：

累加法、

累乘法、

待定系數(shù)法、

階差法（逐差法）、

迭代法、

對數(shù)變換法、

倒數(shù)變換法、

換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號）、

數(shù)學(xué)歸納法、

不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、

特征根法

二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、

等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。

三.求數(shù)列通項的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等級差數(shù)列或等比

數(shù)列。

四.求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。

五.數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。

一、累加法

1.適用于：4+1=/+/（〃）----這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之一。

2.若見+|-22）,

a2-ay=/（1）

則…⑵

=/（〃）

兩邊分別相加得。用一弓=￡/（〃）

k=T

例1已知數(shù)列｛4｝滿足。,用=a,,+2〃+l,q=l,求數(shù)列｛4,｝的通項公式。

解：由a“+i=an+2〃+1得an+l-an=2n+l則

F

a“=(an-an_x)+(a,1—a?_2)^----(?3-a2)+(a2-+a]

=[2(/J-1)+l]+[2(n-2)+1]+.??+(2x2+1)+(2x1+1)+1

=2[(H—1)+(zz—2)+???+2+1]+(z?—1)+1

,、,

=2*：(?-21)j/2(,〃T)+l

=(〃-1)(”+1)+1

=n2

所以數(shù)列｛a,,｝的通項公式為="2。

例2已知數(shù)歹U｛a,』滿足a"+1=a“+2x3"+L4=3,求數(shù)列｛a,,｝的通項公式。

n

解法一：由%=a,+2x3”+1得aM-an=2x3+l則

H

a”=(a?-an_t)+-an_2)----n(小一生)+(的一6)+%

=(2x3,,_|+l)+(2x3n-2+l)+---+(2x32+l)+(2x3'+l)+3

=2(3"T+3~2+…+32+31)+(〃-1)+3

=2止宜1+5.D+3

1-3

=3"-3+〃—1+3

=3"+〃一1

所以?！?3"+〃-1.

a21

解法二：an+l=3?！?2x3”+1兩邊除以3向，得爵=—+-+—,

3"33,,+,r

21“

貝ij也一—'--77T，故

3'用3"33,,+|

3"3"a/a.3""S"'23^323'3

2121、，21、213

=(z§十寸(§+寸(§+口+…+，)+§

=貯+—+與\.—)+1

33"3"3"T3132

因此5=22

1-3322x3"

x3n--.

2

練習(xí)1.已知數(shù)列｛%｝的首項為I,且=4+2〃(〃eN)寫出數(shù)列｛4｝的通項公式.

答案：n~-n+\

a?=a.+

練習(xí)2.已知數(shù)列｛“，」?jié)M足《=3,'〃(〃-1),求此數(shù)列的通項公式.

ci=2---

答案：裂項求和“n

評注：已知/=。，“，出一"，，=/(〃)，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函

數(shù)、分式函數(shù)，求通項明.

①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。

S,,=-(??+—)

例3.已知數(shù)列｛%｝中，且2%，求數(shù)列但"的通項公式.

解:由已知2%得

化簡有S；—S,3=〃，由類型⑴有S：=S：+2+3+-一+〃

12n(n+1)

、2_〃_(_〃__+_1_)

又S]=%得4=1,所以"2，又%>°

、/2n(n+1)--1)

此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.

二、累乘法

1.適用于：。,用=/(?)??-----這是廣義的等比數(shù)列

累乘法是最基本的二個方法之二。

2.若也=/(〃)，則竺=川),&=/(2),……，也=/(〃)

a\%an

a"

兩邊分別相乘得，=q?1[/(%)

a\k=\

例4已知數(shù)列｛4｝滿足〃用=2(〃+1)5〃x%,6=3,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：因為。,用=2(〃+l)5"xa“，4=3,所以q,*0,則也=2(〃+1)5”,故

冊

a4?-1aa

Cnl—-....n...32nCl,

an-lan-2024

=[2(n-1+1)5/,_,][2(n-2+1)5B-2]…-[2(2+l)x52][2(l+l)x5']x3

(n-1)+(n-2)++2+I

=2'i[n(n-1)…“3x2]x5"x3

〃(〃一1)

=3x2n~[x52x〃！

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為為=3x2"Tx5kx〃!.

例5.設(shè)也｝是首項為1的正項數(shù)列，且(〃+l)a，3一〃《：+“，，+a=°(〃=1,2,3,?

則它的通項公式是%=.

解：已知等式可化為：(為+|+“")[(〃+D%+i_"《』=0

4+]二〃

...a“>0((n+i)""+i一=0,即％〃+]

a?_?-1

〃22時，an-\n

〃_anan-la2n—ln—21,1

a?..............—a\----------------1-

aaa

n-\n-2\=nn-\2=n

評注：本題是關(guān)于%和“用的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到

""與"向的更為明顯的關(guān)系式，從而求出

練習(xí).己知%+1=〃“">T,求數(shù)列｛an｝的通項公式.

答案：=（n-l）!-（tZj+1）?

評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式"的1'轉(zhuǎn)化為

4+1+1=〃（%+1），若令a=%+1,則問題進一步轉(zhuǎn)化為"用=〃a形式，進而應(yīng)用累乘法求

出數(shù)列的通項公式.

三、待定系數(shù)法適用于an+i=44+/（〃）

基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一

個函數(shù)。

1,形如“"+1=can+"，（°#°,其中q=a）型

（1）若c=l時，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

（2）若d=0時，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

（3）若時，數(shù)列｛%｝為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列

來求.

待定系數(shù)法：設(shè)a"+'+'=C（a"+團，

得%+i=/+9-1）巳與題設(shè)凡+|=/+%比較系數(shù)得

【d/八、d,d、

（_]U-ri丸=一an+-7=+--）

（rCD"一”,所以C-l所以有：C-lC-l

/d1d

因此數(shù)列〔C—1J構(gòu)成以1為首項，以C為公比的等比數(shù)列，

d,d、-i/d_|d

a?H------;-(?i-------),cna-(%H-------)-cn--------

所以c-1c-1即：nc-1c-1.

dd、

_,aH--------c(a“H-------)

規(guī)律:將遞推關(guān)系”"+i=C""+"化為n+]c-1,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列

,d.dd.

{an+--}an+}=--+c(a,+--)

c-l從而求得通項公式l-cc-1

逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系"向=C%+"中把n換成n.j有a“=c*+d,

兩式相減有%+i一%=c（""一《I）從而化為公比為。的等比數(shù)列｛“"+1一/｝,進而求得通項公式.

%+1-%=°”（。2-%）,再利用類型（1）即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.

例6已知數(shù)列｛a,｝中，q=l,a,=2a“T+l（〃N2）,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

解法一：；an=2?n_1+l（n>2）,

a”+1=2（a“_1+1）

又+1=2,；.｛%+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列

.,.6,+1=2",即%=2"-1

解法二：an=2a“_1+1（〃>2）,

?,?4+i=2a“+l

兩式相減得an+i-an=2（4—）（〃>2）,故數(shù)列｛an+l-%｝是首項為2,公比為2的等

比數(shù)列，再用累加法的……

_\_

練習(xí).已知數(shù)列｛《J中，a'5""+萬'求通項明。

%=（；嚴(yán)+1

答案：2

2.形如：ae=p-a“+q"（其中q是常數(shù)，且n#O,l）

①若p=l時，即：a,+i=a"+q”,累加即可.

②若。工1時，即："，，+尸〃,明+夕”，

求通項方法有以下三種方向：i.兩邊同除以目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列

（馬—與…=3,

即：pqpq,令2,則pq，然后類型1，累加求通項.

汛兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。

4+1p勺工1

即：q""qq"q,

,anp1

b.=-be=--bn+-

令q，則可化為q4.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，

iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列

設(shè)七+1+4-/川=P（%+%-P"）通過比較系數(shù)，求出4,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.

注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求p*q,否則待定系數(shù)法會失效。

例7已知數(shù)列｛"力滿足/M=2a“+4-3'i,a,=1求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解法_（待定系數(shù)法）：設(shè)4用+43"=4a+九3"|）,比較系數(shù)得4=—4,4=2,

則數(shù)列｛/一'？'’｝是首項為4—小31=-5,公比為2的等比數(shù)列，

所以4-431=-5-2",即％=4-3,1-5-2,1

I〃”+|=2.EJL+@

解法二（兩邊同除以兩邊同時除以3""得：3，，+133"32,下面解法略

”+1=—+—?（―）?,

解法三（兩邊同除以〃*）：兩邊同時除以22得：2向2〃32，下面解法略

練習(xí).（2003天津理）

設(shè)“。為常數(shù)，且％=3'1-2詢_|（〃eN）.證明對任意〃》1

nn1H

?=^l3+（-l）--2"]+（-!）?.2a0

J?

3.形如-=Pa，，+Z〃+"（其中k,b是常數(shù)，且2w0）

方法1：逐項相減法（階差法）

方法2：待定系數(shù)法

通過湊配可轉(zhuǎn)化為（凡+尤"+V）=P（a”-i+M"-1）+y）.

解題基本步驟：

1>確定/（"）=kn+b

2、設(shè)等比數(shù)列4=（%+x〃+y）,公比為p

3、列出關(guān)系式⑸+切+?。?「（%+M〃T）+y）,即6“=血_]

4、比較系數(shù)求x,y

5、解得數(shù)列（4+“"+?。┑耐椆?/p>

6、解得數(shù)列｛“"｝的通項公式

例8在數(shù)列伍"｝中,%=1'—+|=3/+2〃,求通項a“（逐項相減法）

解：?.?，”"+i=3a“+2〃，①

n>2時，an=3a〃_[+2（〃-1）

a

兩式相減得明M_"=3（%—）+2令4=an+l-a“，則bn=3%+2

利用類型5的方法知""=5?3"?+2即a“+i=5-3'一一1②

a“=—-3,,"|—n--a=_.30-1—n--

再由累加法可得22.亦可聯(lián)立①②解出"2、2.

3

a｝=—,2an-a”-=6n-3

例9.在數(shù)列｛“J中，2，求通項明.（待定系數(shù)法）

解：原遞推式可化為2（氏+龍〃+）'）=%+-1）++y

比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為=2T

9￡

仍）4=6一6〃+9?也福尸

所以如工是一個等比數(shù)列，首項2,公比為2.即：

an-6/7+9=9?

H

an=9-(-)+6〃-9

故2

4,形如““+尸+,（其中a,b,c是常數(shù)，且0）

基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。

例10已知數(shù)列｛4｝滿足%=2/+3/+4〃+5,4=1,求數(shù)列｛可｝的通項公式。

axn

解：設(shè)n+i+(+1)2+y(n+1)+z=2(。“+xn~+yn+z)

比較系數(shù)得x=3,y=10,z=18,

所以a“+i+3(〃+l)2+10(〃+l)+18=2(a“+3〃2+i0〃+i8)

由q+3xF+10x1+18=1+31=32w0,得+3/+1?！?18Ho

則1等需鏟=2,故數(shù)列｛「—+18｝為以

4+3x12+10x1+18=1+31=32為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此

+3〃2+10〃+18=32x2"T,貝風(fēng)=2"4一3〃2一io〃—18。

5.形如an+2=pan+l+qan時將a“作為/（"）求解

分析：原遞推式可化為4+2+，。“+1=（。+之）（。用+之?！埃┑男问剑容^系數(shù)可求得4,數(shù)列

｛a,用+/la“｝為等比數(shù)列。

比較系數(shù)得4=-3或丸=一2,不妨取幾=_2,（取_3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）

則?！?2—2。,用=3（??+1-2a?）,則｛an+i-2a）,｝是首項為％公比為3的等比數(shù)列

???--2勺=43,二所以%=4-3'i—5-2'i

練習(xí).數(shù)列中，若卬=&%=2,且滿足a,.-4《用+3an=0,求明

答案：6=11-3

四、迭代法a"+'=P"；（其中p,r為常數(shù)）型

例12已知數(shù)列｛《J滿足%'4=5,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

,3(〃+1)2"

解：因為為+1=M-，所以

C一「”3(〃-1>2"-2]3〃21_”32(〃-1)加2gMM)

Cln~Un-\一1。”-2J—Un-2

_「3(〃-2>2"3]32(”-1)"2g2”(〃T)

一《?-3」

_/,33(〃一2)(〃一1)〃.2d)+5-2出”1)

_3rt_|-2.3<?:-2).(n-l)/:-2,+2+,…*(?-3>+(?-2)+<?-!>

二a\

,3“一]句?2=

又q=5,所以數(shù)列｛qJ的通項公式為%=5,n'2

注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。

例13.

已知數(shù)列｛/｝的各項都是正數(shù)，且滿足一。=1，%+1=/%（4-%）,〃eN,

（1）證明4<4M<2,〃GN;（2）求數(shù)列｛6J的通項公式an.

_/,4+i=（。"（4一%）='[-（4,-2）2+4],2（-21--（a-2）2

解：⑴略⑵22所以0一（%勾

令么=%-2,則么=一夕3=[（-；死2）2=_；&）2比尸…=_（4產(chǎn)…

222222又抽二—1,

一切=-（：產(chǎn),即%=2+2=2-（〈產(chǎn)

所以22

2

=LC

方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3：設(shè)c"=—2，則c"2"二轉(zhuǎn)化為上

面類型（1）來解

五、對數(shù)變換法適用于"而=〃"：（其中p,r為常數(shù)）型p>0,a">0

例14.設(shè)正項數(shù)列｛%｝滿足%=1,%=2。3說》2）,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

解：兩邊取對數(shù)得：1啕"=1+21%尸，log；"+l=2Qogy+l）,設(shè)2=log；"+l,則

b"=2b"_i｛"J是以2為公比的等比數(shù)列，4=叫+1=1”,=]X2"T=2"-[

log?+l=2"T]og?=2"T-l.a?=22""-1

,，??

練習(xí)數(shù)列“J中，ai=1,6，=2日二"（n22）,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

%=22孑”

答案:

例15已知數(shù)列｛%｝滿足。,用=2x3"xa；,q=7,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

解：因為a“+|=2x3"x。；，%=7,所以a“>0,an+l>0?

兩邊取常用對數(shù)得1g4萬=51g4,+〃1g3+1g2

設(shè)lga“+i+x（〃+l）+y=5（lg%+x〃+y）（同類型四）

比較系數(shù)得，犬=妲與=柜+日

4164

由lgq+堡xl+螞+匿=lg7+柜xl+更+毆。0,得Iga++照+跤。0,

141644164n4164

所以數(shù)列｛lga,,+號〃+胃+個｝是以lg7+號+臀+等為首項，以5為公比的等比數(shù)列,

則lga,+寫〃+震+等=（lg7+號+臀+詈）5"）因此

怛—十晝+里+垮5工約l史-溟

n4164464

2j_12_L1

=[lg（7?3彳?3正?21）]5"T—lg（313正?2^

_1_2M_1_1

=lg（7?3“3正?2“）件一lg（3“3正?2*）

5〃一4〃-15”7-1

=lg（75n-'-316-2^~）

5〃一4〃-152-1

則a）=7"x3|6*2丁。

六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項

例16已知數(shù)列｛4｝滿足。,用=」一,4=1,求數(shù)列｛可｝的通項公式。

4+2

首項工=公差為

解：求倒數(shù)得---=—I---,-------=一*---------?為等差數(shù)列,1L

凡+i2a?all+]an2[a?+lanq2

11,,、2

?二——二二（〃+1）,=-----

alt2n+1

七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系

例17已知數(shù)列｛%｝滿足4M=-1(1+4a“+Jl+244),4=1,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

16

解：令"=4+2也，則4=(既—1)

代入%M=上(1+4%+J1+24%)得

1O

焉(％-1)=白1+45*1)+久］

即4/九=依+3尸

因為6“=J1+24a”>0,

13

則2。出=2+3,即2用=52+/,

可化為。川_3=；(劣一3),

所以他,一3｝是以4一3=Jl+24%—3=Jl+24xl—3=2為首項,以;為公比的等比數(shù)列，因此

a一3=2(；產(chǎn)=(y-2,則2=(f"-2+3,即Ji+24a,=(#+3,得

2111

八、數(shù)學(xué)歸納法通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納

法加以證明。

例18已知數(shù)列｛%｝滿足區(qū)用=4+3)2，a\=|'求數(shù)列｛qJ的通項公式。

解：由4出=4+——嗎上?一及4=號，得

"(2〃+1>(2〃+3)2'9

8(1+1)88x224

-1(2xl+l)2(2xl+3)299x2525

8(2+1)248x348

--(2x2+iy(2x2+3)22525x4949

8(3+1)488x480

包=%~1---------9--------7=---1------=--

(2x3+1)20x3+3)24949x8181

由此可猜測a?=:；：；)丁,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。

(1)當(dāng)〃=1時，q=Qxl+1)J,所以等式成立。

1(2x1+1)29

(2*+1)2_[

(2)假設(shè)當(dāng)〃=左時等式成立，即％=」~一,則當(dāng)〃=%+1時，

3+1)2

8(攵+1)

A+1*(2%+1)2(2左+3)2

[儂+1)2-1](2:+3)2+8(、+1)

(2左+1)2(2左+3)2

_(2%+1興21+3f-(2〉+If

—(2-+1)2(2女+3)2

(2Z+3)2-1

-3+3)2

」2(1+1)+1]2]

[2(A:+1)+1]2

由此可知，當(dāng)〃=%+1時等式也成立。

根據(jù)(1),(2)可知，等式對任何〃eN*都成立。

九、階差法(逐項相減法)

1、遞推公式中既有S“，又有知

StM—1,、

分析：把己知關(guān)系通過?！?I9轉(zhuǎn)化為數(shù)列｛4｝或S“的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的

Sn-Sn_],n>2

方法求解。

例19已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且前n項和S“滿足5“=’(4+1)(4+2),且生，/，。9成

6

等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式。

解：：對任意〃eN+有S“=L(%+l)(a“+2)(1)

6

???當(dāng)n=1時，S]=q=」(q+l)(q+2),解得“=1或q=2

當(dāng)n22時，S,i=工(％_1+l)(a,i+2)⑵

o

⑴-⑵整理得：(%+5_])(%—%T-3)=0

???｛%｝各項均為正數(shù)，，?！?41=3

當(dāng)4=1時,an=3n-29此時a：=a2a9成立

當(dāng)q=2時，an=3n-l9此時式=4為不成立，故％=2舍去

所以%=3/7-2

練習(xí)。已知數(shù)列｛%｝中，4>0且S“=g(4+1)2,求數(shù)列｛凡｝的通項公式.

答案：S"-S“_|=a"(a“—1)2=("“_]+1)2an=2n-1

2、對無窮遞推數(shù)列

例20已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=1,a“=q+24+3%+…-2),求｛”“｝的通項公式。

解：因為a”=q+24+3%■1--------H(〃-22)①

a

所以?+\=%+2a2+3a,-I—+(n-1)。,—+nan②

用②式一①式得/+J-q=nan.

則〃(〃j^￡zi±L(

a“+i=(+l)a“22)=n+in>2)

a?

所以凡...--a2=[〃(〃-1)......4x3]a,=—a,.③

%4-2?22

由a”=%+2%+3a33-+(n-l)alt_l(n>2),取〃=2得4=q+羽，則“2=4，又知％=1，

則4=1，代入③得%=>3?4-5…一〃=彳。

所以，｛《,｝的通項公式為%=?.

十、不動點法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列的方法

不動點的定義：函數(shù)/(X)的定義域為。，若存在/(幻/€。，使/(%)=%成立，則稱與為

/(X)的不動點或稱(七,/(%))為函數(shù)/(幻的不動點。

分析：由.f(X)=X求出不動點與，在遞推公式兩邊同時減去升,在變形求解。

類型一:形如%=qan+d

例21已知數(shù)列｛q｝中，4=l,a,,=2a“T+l(〃N2),求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為/(x)=2x+l,由/(x)=x得，不動點為-1

4+1+1=2(?！?1)，

類型二：形如％=—，■,

cq+d

分析：遞歸函數(shù)為

c?x+d

(1)若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點p,q,再將兩式相除得

%-P1—J其中/：=.一.,,二(烏夕一聞［I-(4p-pq)

a,M-qa“_q，'a-qc'"(a,-p)k",-(al-q)

(2)若有兩個相同的不動點p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點p,然后用1除，得

----------=+k,其中k=

??+i-Pa?-p-------------------a+d

例22.設(shè)數(shù)列｛a,｝滿足卬=2,a?+i=%+、,求數(shù)列僅“｝的通項公式.

2a,+7

分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.

解：對等式兩端同時加參數(shù)3得：

It+4

5%+4(2f+5)。〃+7f%+

+/=---------=⑵+5)2t+5

2a”+72a“+72a“+7

令，=2上任，解之得t=l,-2代入%+|+f=(2/+5)得

2t+52an+7

2a.+7

/7—11/7—1”二1｝是首項為芻二|二乙

相除得Zc=--―一，即｛

a

n+\+23an+2%+2at+24

公比為1的等比數(shù)列,號卜工解…言蕓

3

方法2：…,

2T

2%+7_2(a?-l)+9_2

兩邊取倒數(shù)得一-

??+1-13(。“—1)3(??-1)3an-\

12

令b,尸-----，則6“=一一+3切，…，轉(zhuǎn)化為累加法來求.

%-13

21/7-24

例23已知數(shù)列｛q｝滿足a.”=―2——，q=4,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

4。，+1

21r-2421x-24

解：令》=--------,得4/一20%+24=0,則凡=2,9=3是函數(shù)/(x)=-......的兩個不

4x+l4尤+1

動點。因為

2以-242

-2_4a“+1_21a“—24—2(4a“+l)_13426_13a「2a-

%.所以數(shù)列4;是

21%—24_321%—24—3(4%+1)94-279a-3

%-3nq—3.

44+1'

以幺匚4-2=2為首項，以上為公比的等比數(shù)列，故%二2=2(Uyi,則

a,-34-39a“-39

1

??=—[3------+3。

2(—

9

練習(xí)1：已知｛a“｝滿足q=2,an=%+1(n>2),求｛a“｝的通項an

2?+1

_3"-(-!)"

答案：.?.凡

3"+(-1)"

2/7-1

練習(xí)2。已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,a,m=——(〃eN*),求數(shù)列｛&｝的通項a“

4%+6

13-5〃

答案：/.a=------

“10n-6

練習(xí)3.(2009陜西卷文)

已知數(shù)列｛《,｝滿足，％=1。2=2,%2=N".

(I)令勿=可+「。“，證明：｛2｝是等比數(shù)列；

(11)求｛%｝的通項公式。

1571

答案：(1)｛勿｝是以1為首項，一;為公比的等比數(shù)列。(2)為=：—：(—])"T(〃eN*)。

十一。特征方程法形如。2=/口出+僅以/%彳是常數(shù))的數(shù)列

形如G=町,。2=加2，?！?2=pa“+i+qa”(p，4是常數(shù))的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項

an,其特征方程為犬=px+q…①

若①有二異根a,尸，則可令a“=qa"+。2月"@,。2是待定常數(shù))

若①有二重根a=用，則可令a“=(G+nc2)a'\c^,c2是待定常數(shù))

再利用4=肛，生=機2，可求得。1，。2，進而求得an

例24已知數(shù)列｛a,J滿足4=2,4=3,a“+2=3%廠2a“(〃€N*),求數(shù)列｛a,J的通項a.

解：其特征方程為d=3x—2,解得斗=1,々=2,令a“=GT+。2-2",

\a.=G+2c,-2-1

由4，得《1.：.a“=1+2”T

a2=q+4c2=3c2=-

例25已知數(shù)列｛a,J滿足q=1，4=2,4a“+2=4q+1-a”(〃eN*),求數(shù)列｛a“｝的通項an

解：其特征方程為解得玉=々=!門丫

4/=4x—l,，令/=億+〃生)［可，

1\1?

=(c)+c2)x-=lr=_4

由Jz，得「_，?3〃一2

,an~2"->

a、—(q+2c,)x—=26

練習(xí)1.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,4=2,44+2=4a的一q—1(〃GN*),求數(shù)列｛a“｝的通項

練習(xí)2.已知數(shù)列｛4｝滿足

4=1嗎=2,4<70+2=4a“+「a”-〃—4(〃eN*),求數(shù)列｛a“｝的通項

說明：(1)若方程Y=px+q有兩不同的解s,t,

則4+i一口=s(a”一柩,1)，??+1-sa“=t(an-sa,-),

n

由等比數(shù)列性質(zhì)可得an+i-tan=Q一必)$"T,an+l-san=(tz2-sat)t~',

■：t豐s,由上兩式消去a“+|可得a“=-M——g.s"--7----.

s(s-1)心-1)

(2)若方程Y=px+g有兩相等的解s=/,則

%+1-S”=s(a"一相"-1)=$2(a,i-S“-2)=???=s"~'(如一叫),

...&詈一組==丁，即是等差數(shù)列，

5n+ls"52s"I

由等差數(shù)列性質(zhì)可知之=生+（〃—

SSS

1

例26、數(shù)列｛6,｝滿足q=-g且4―—票求數(shù)列｛4｝的通項。

7+12%+?

2252”29I25

cifj----+24Q“H----A-----

-________4.......①

解：4+i+2=??i=-----29+A=

+c29

2%+彳2a+——

〃4

7QJ-?525

令分=-4-，解得4=1，4=彳，將它們代回①得,

2

%M+1=(""+?9……②，25

"+i4（3）,

24+1

“4

25

%+彳

③+②，得------生

a

?+i+1

“"+|T4"A"A

則1g-----￡=21g——生■，二數(shù)列＜lg——生卜成等比數(shù)列，首項為1,公比（7=2

%+1??+14+1

2525