2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2+i

1.設(shè)1+1+1,則2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共輾復(fù)數(shù)即可.

【詳解】由題意可得z=

l+i2+i5

則彳=1+2i.

故選：B.

2設(shè)集合U=R,集合/={小<1},N={x[-l<x<2},貝ij{x|xN2}=()

A.2（M-N）B.NUA/M

C.N）D.M外N

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為2}即可.

【詳解】由題意可得"N={x|x<2},則,（/N）={x|xN2},選項(xiàng)A正確;

^M={x|x>l},則N」dM={x|x>—1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

MN={x|-l<x<l},則名（McN）={x|x?—l或x?l},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

GN={x|xV-l或X22},則MQ,N={x|x<l或x“},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC?！狝4G2中，AB=BC=2,A4=3,

點(diǎn)、H」，J,K為所在棱上靠近點(diǎn)g,G,。,A的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn),

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCD—ABCP去掉長方體ONIC「LMHB］之后所得的幾何體,

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個(gè)邊長為1的正方形,

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

4.已知是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?（力=乎1為偶函數(shù)，則/（X）—/（—%）=喀一一（一乎7

又因?yàn)閄不恒為0,可得e*-=0，即e'=e（"f"，

則X=（4—1）JV,即1=。-1,解得。=2.

故選：D.

5.設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（X,y）|l?x2+y2?4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,則直線

0A的傾斜角不大于當(dāng)?shù)母怕蕿椋ǎ?/p>

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛（%,〉）|162+'2<4｝表示以。（（）,（））圓心，外圓半徑R=2，內(nèi)圓半徑r=1的圓環(huán),

7T7T

則直線Q4的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角NMON=一,

44

2x工

結(jié)合對稱性可得所求概率,41.

r=-----=—

2兀4

6.已知函數(shù)/（x）=sin（s+e）在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=工和工=生為函數(shù)y=/（x）的圖像

\63J63

的兩條對稱軸，則/)

A.--B.--C.1D.—

2222

【答案】D

【解析】

5H

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x=-一即可得到答案.

12

（兀2兀、

【詳解】因?yàn)?（X）=sin（a）x+⑼在區(qū)間（,三單調(diào)遞增，

所以匕T=二27r一2jr=T'T，且。＞0,則7=兀，卬=27衛(wèi)r=2,

2362T

當(dāng)x時(shí)，/（“取得最小值，則21+e=2E-],ZeZ,

則e=2E_g,kwZ,不妨取攵=0,則/（x）=sin（2x_^）,

mil5吟.，5*百

貝----=sin------=——，

I12J\3y2

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C：種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C/A；=120種，

故選：C.

8.已知圓錐PO的底面半徑為石，O為底面圓心，PA,P8為圓錐的母線，ZAOB=120°,若的面

積等于隨，則該圓錐的體積為（）

4

A.兀B.扁C.3萬D.3屈兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在：AOB中，ZAOB=120°而04=08=6，取AC中點(diǎn)C,連接OC,PC,有

OC±AB,PC±AB,如圖,

NA5O=30，0C=昱,AB=2BC=3,由&PAB的面積為九5,得，x3xPC=%^

2424

解得「。二乎，于是po=J?c2_oc?=J呼了_（爭2=瓜,

所以圓錐的體積兀*042、尸。=；兀乂（6）2、指=逐兀.

故選：B

9.已知一ABC為等腰直角三角形，A8為斜邊，△A5D為等邊三角形，若二面角C—AB—。為150°,

則直線C。與平面ABC所成角的正切值為（）

1722

A.-D.

555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取AB的中點(diǎn)￡，連接C￡OE，因?yàn)?.ABC是等腰直角三角形，且A6為斜邊，則有CE1A8,

又△A3O是等邊三角形，則。E1AB，從而NCED為二面角C—AB-。的平面角，即NCa=150,

D,

顯然CEc。E=E,CE,。Eu平面CZ)E,于是ABI平面CDE，又ABu平面ABC,

因此平面COE_L平面ABC，顯然平面CDEc平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE，則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而/QCE為直線8與平面A8C所成的角，令A(yù)B=2,則CE=1,OE=6,在：CZ)E中，由余弦

定理得:

CD=7CE2+DE2-2CE-DEcosZCED=^1+3-2x1x73x(-^)^77)

DECD即si"C￡=^l=*,

由正弦定理得

sinNDCEsinNCEDa2V7

顯然/￡>C￡是銳角,cosZDCE=?-sin?NDCE=

所以直線CO與平面ABC所成的角的正切為且.

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛qj的公差為會，集合S=tosa,JneN*｝,若5=｛。,可，則成=()

I

A.-1B.——C.0D.J1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作

答.

2TT2兀2久

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛"”｝中，a”=q+(〃—1)?-1=?-〃+(q——),

27t2兀

顯然函數(shù)>=85[7〃+(勾一7)]的周期為3,而〃eN*，即cos%最多3個(gè)不同取值，又

{cosan\neN*}={a,b],

則在cosq,cosGCOsq中，cosq=cosa2wcos%或cosqcosa2=cosa3,

27r/TT7T

于是有cose=cos((9+}-),即有。+(e+[-)=2ki,&eZ,解得。=4兀―wZ,

所以keZ,ab=COS(AK-—)cos[(E-—)+—]=-cos(E--)coskn.=-cos2kitcos—=

33333

故選：B

11.設(shè)A,B為雙曲線/一方=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段48中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B,(-1,2)C.(1,3)D.(-1)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得&AB?&=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對

于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

西+尤2X+%

【詳解】設(shè)4（百,%）,3（占,％），則AB的中點(diǎn)M

22

可得如=q,%=T-=正造

%一％2一+“2玉+尤2

2

2_yL=i

Xx\Q_12_2

因?yàn)锳,8在雙曲線上，貝N,,兩式相減得一)20.

,-匹=1一9

一9

所以L小號=>

對于選項(xiàng)A：可得左=1,須8=9,則AB:y=9x—8,

y=9x-8

聯(lián)立方程，2V2，消去y得72X2-2X72X+73=0,

X-----=1

9

此時(shí)△=(-2x72)2-4x72x73=-288<0，

所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

995

對于選項(xiàng)B：可得上=—2，須8=-/，則48:丁=一萬》—

[95

y=——x—

“22

聯(lián)立方程42，消去V得45/+2*45%+61=0，

X/yt

I-----9----1

此時(shí)△=（2x45）2-4x45x61=Tx45xl6<0,

所以直線48與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：可得左=3,%.=3,則=

由雙曲線方程可得。=1力=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

-則Ay=-X--

對于選項(xiàng)D：k=4,kAB=4fi:44

97

y=-x——

44

聯(lián)立方程42，消去y得631+126l一193=0，

2》1

Xr----1

19

此時(shí)A=1262+4X63X193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知的半徑為1,直線出與O。相切于點(diǎn)A,直線P8與（O交于B,C兩點(diǎn)，。為8c的中點(diǎn)，

若1Poi=JL則P4PZ）的最大值為（）

1+2&

B.

A?竽2

C.1+s/2,D.2+V2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PAPD

=---sin2a--,或尸A.PQ=▲+在sin2a+工]然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定PQ

22I4J22（4J

的最大值.

【詳解】如圖所示，|。4|=1,|。8=五，則由題意可知:ZAPO=45，

由勾股定理可得PA=y/oF^-OA1=1

_71

當(dāng)點(diǎn)AO位于直線P。異側(cè)時(shí)'設(shè)/“。“，。“會了

a+生］

則:PAPD=|PA||PD|cos

4J

=lxV2coscos!cr+^

V2V2

=V2cosa------COS6Z----------sina

22/

=cos?a-sinacosa

1+cos2a1

???當(dāng)2。一一=一一時(shí)，尸A.尸。有最大值1.

7T

當(dāng)點(diǎn)AO位于直線P°同側(cè)時(shí)，設(shè)N°PC=a,0“a<“

冗

則：PA..PD=\PM-\PD\COSa--

\4

=lx及cosacos]a-?

6.]

V^cosacoscK+——sina

2

7

=cos~9a+si?nacosa

1+cos2a1.八

=---------F—sin2a

22

1V2.r乃]

22I4J

C//冗Lt九"C冗冗

0<a<—,則一W2a+—W—

4442

.?.當(dāng)2。+工=工■時(shí)，pA.p。有最大值Lt』!.

422

綜上可得，%-PQ的最大值為上也.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了

學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A0,后）在拋物線C：V=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為》=-*,最后利

4

用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（不『=2pxl,則2P=5,拋物線的方程為V=5x,

準(zhǔn)線方程為％=-2,點(diǎn)A到c的準(zhǔn)線的距離為i—（一31=3.

4I4J4

9

故答案為：一.

4

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.

3>x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

x-3y=-1x=5

聯(lián)立有《，解得<

x+2y=9）=2

設(shè)A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

15.已知｛??｝為等比數(shù)列，a2a4a5=，GAo=_8，則ai=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對a24a5=%4化簡得44=1，聯(lián)立為6。=一8求出/=一2,最后得

%=a、q-qS=q，=—2.

【詳解】設(shè)｛a“｝的公比為q（q。O）,則4a4%=。3a6=%q-a5q,顯然H0,

則％=",即a/=q：則qg=1,因?yàn)閍^aw=-8,則?*=-8,

貝ij,5=,5）3=_8=（_2）3,則/=_2,貝Ij%=a0q5=q5=_2,

故答案為：-2.

16.設(shè)ae(O,l),若函數(shù)〃x)=a'+(l+a),在(0,+功上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是.

【解析】

【分析】原問題等價(jià)于/'(x)=a'lna+(l+a)*ln(l+a)30恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形,

可得>-―粵二，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)

\a)ln(l+a)

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得尸(同=優(yōu)111〃+(1+〃)”11(1+々)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

1+a

則(1+Q)'ln(l+a)N-a'Ina,即在區(qū)間(0,+8)上恒成立,

a>-JWj

故=1>——而a+l"l,2),故ln(l+a)>0,

\aJln(l+a)

也ln(?+l)>-lnaa(a+l]>1

I),故

即4<a<\y

0<。<10<a<l

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為:

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)

相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為占，%(i=l,2,…10),試驗(yàn)結(jié)果如下

試驗(yàn)序號i12345678910

伸縮率為545533551522575544541568596548

伸縮率先536527543530560533522550576536

記Z,=玉一%(Z■=1,2,,10),記Z1,z2,Z]0的樣本平均數(shù)為三，樣本方差為$2,

⑴求z，5*2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2J—，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，

V10

否則不認(rèn)為有顯著提高).

【答案】(1)5=11，?=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出U再得到所有的4值，最后計(jì)算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2年的值，和I比較大小即可.

【小問1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548「…

x=-------------------------------------------------=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536°

=541.3,

10

2=552.3-541.3=11,

馬=百一。的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2八

改S2=-----------------------------------------------------------------------------=01

10

【小問2詳解】

由(1)知:彳=11,2總=2瘋1="W，故有222年，

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.在.ABC中，已知NB4C=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sin/ABC；

(2)若D為BC上一點(diǎn),且NR4Z>=90。，求△ADC的面積.

【答案】（1）叵;

14

⑵得

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長BC的值為8C="，然后由余弦定理可得cos8=逆，最后由同

14

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin8=力

14

1

%=-%

（2）由題意可得置坐=4,4CD5據(jù)此即可求得ZV1DC的面積.

【小問1詳解】

由余弦定理可得：

BC~-a'-b~+c2-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7,

7+4-1577

則BC=V7，cosB=

2ac2x2xV7-14

【小問2詳解】

S-xABxA￡)xsin90

由三角形面積公式可得》坐=年------------------=4,

,△ACDxACxADxsinSO

2

則ZACD=gSz\ABc=§x(5x2xlxsin120)=

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，ABJ.BC，AB=2，BC=272-PB=PC=?BP,AP,BC

的中點(diǎn)分別為。，E,0,4。=石。0，點(diǎn)廠在AC上，BFLAO.

P

D,

(1)證明：所//平面A。。：

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角。一40-。的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；(3)旦.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODE戶為平行四邊形，再利用線面平行判定推理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

連接。E,。/7,設(shè)=則5E=3A+AF=(1-+,AO=-BA+^BC,BF1A0,

121彳

則8F4O=K1—/)8A+，8C]?(—BA+/6C)=Q—1)8A+-ZBC2=4(Z-l)+4r=0,

解得/=',則F為AC的中點(diǎn)，由。,E,。,尸分別為產(chǎn)區(qū)PA8C,AC的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF/1AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,則四邊形0D￡戶為平行四

22

邊形,

EF//DO,EF=DO,又EF.平面ADO,OOu平面A。。,

所以EE//平面A。。.

D

【小問2詳解】

由(1)可知EF//OD,則40=&,。0=亞，得AD=^DO=也,

22

因此OZ)2+AO2=AZ)2=",則ODLAO,有跖，AO,

2

又AOLBF,BF\EF-F,BF,EFu平面BEF，

則有A。_L平面班尸，又AOu平面A。。，所以平面ADO_L平面BEf.

【小問3詳解】

過點(diǎn)。作O”//所交AC于點(diǎn)H,設(shè)A￡>BE=G,

由得“OLAO,且/

3

又由(2)知，ODVAO,則NOQH為二面角O—AO—C的平面角，

因?yàn)椤?E分別為PB,PA的中點(diǎn)，因此G為.Q43的重心，

1113

即有。G=—AD,GE=—BE,又FH=—AH,即有?！?26口,

3332

.315

4+9-V4+6-PA2/Z

cosZABD=-----石=2x2x#，解得幺=后，同理得8后=、一，

2x2x—xx2

2

1V65

于是BE2+EF2=BF?=3,即有BE_L石尸，則6/^=—X-------

323

仄而GF=晅，DH=>乂眄=叵，

3232

在△DO4中，OH-BF^—,OD=—,DH=—

2222

63_15----------

于是cos/P0"=-4巖—4e=—與,sin/O0“=1一（一交］.

2x"x"2\I2J2

22

所以二面角O—AO—C的正弦值為也

2

20.已知橢圓C：斗+￡=1(。>6>0)的離心率為苧，點(diǎn)4(—2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于點(diǎn)P,。兩點(diǎn)，直線AP,4。與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN

的中點(diǎn)為定點(diǎn).

22

【答案】(1)匕+二=1

94

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解"進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線尸。的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證”型為定值即可.

2

【小問1詳解】

b=2a=3

由題意可得，a2=b2+c2解得心=2

cV5c=5/5

e=—=——

a3

所以橢圓方程為二+三=1.

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=4（x+2）+3,0（玉,%）,。（%2，%），

y=Z(x+2)+3

聯(lián)立方程〈>2尤2,消去y得：(4F+9)d+8攵(2Z+3)x+16(42+3%)=。，

94

則△=64k2(2k+3)2-64(4公+9)(公+3攵)=一1728Z>0,解得A<(),

可得…__^21

百+%—必2+9'千2—底+9

因?yàn)?（一2,0）,則直線AP：y=｛］（x+2）,

令x=0,解得丁=上三，即加(0,名],

%+2[x,+2)

同理可得

2y12y2

則%+2%+2_伙(5+2)+3][，(/+2)+3]

2%+2x2+2

[煙+(2〃+3)](%+2)+[仇+(2女+3)](%+2)2kx}x2+(4攵+3)(5+/)+4(2%+3)

(Xj+2)(x2+2)X/2+2(X+/)+4

3"由IS小安心+3)儂

=4公+94標(biāo)+9、)=108=3

16(公+3k)16&(24+3)+436,

4&2+94犬+9〉

所以線段PQ的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟

(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);

也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)/(x)=(：+a)n(l+x).

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)是否存在a,h,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求m6的值，若不存在，說明

理由.

(3)若“X)在(0,+8)存在極值，求〃的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在a力=-1滿足題意，理由見解析.

22

⑶H)-

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)力的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可

得關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解方程可得實(shí)數(shù)。的值，最后檢驗(yàn)所得的”,6是否正確即可；

(3)原問題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ac2+x-(x+i)in(x+l),然后對函數(shù)求

導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論aWO,。之,和0＜。＜，三中情況即可求得實(shí)數(shù)。的取值

22

范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)a=-1時(shí)，=(1ln(x+l),

7

則r(x)=--yxln(x+l)+[--1|x-i-

X\XJXI1

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函數(shù)在處的切線方程為y—0=—ln2(x—1),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問2詳解】

門、(1

由函數(shù)的解析式可得一=(x+a)ln-+1

⑺lx

1I1

函數(shù)的定義域滿足；+1=土r/＞0,即函數(shù)的定義域?yàn)?F,—l)U(0,+8),

定義域關(guān)于直線％=-！對稱，由題意可得人=-！，

22

由對稱性可知/(一；

取機(jī)=|可得/(1)=/(一2),

即(a+l)ln2=(a—2)lng,則a+l=2-a,解得a=工,

經(jīng)檢驗(yàn)a=',b=—」?jié)M足題意，故〃=!,》=—■1.

2222

即存在a=,力=—■!■滿足題意.

22

【小問3詳解】

由函數(shù)的解析式可得/(力=(一Jy)ln(x+1)+(1+.\曰，

由/(x)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn),則f\x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點(diǎn)；

令13小+1)+(*)9=。，

則-(x+l)ln(x+l)+(x+ax2)=o,

令且(1)=加+工一(工+1)1口(％+1),

/(X)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點(diǎn)，

g<x)=2ax-ln(x+l),g"(x)=2〃---

當(dāng)a《0時(shí)，g'(x)<0，g(6在區(qū)間(O,+e)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g⑼=。，g(x)在區(qū)間(0,+e)上無零點(diǎn),不合題意；

當(dāng)aZ；,2a21時(shí)，由于士<1,所以g"(x)>O,g'(x)在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=。，g(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O，

所以g(x)在區(qū)間(0,+“)上無零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)0<a<，時(shí)，由g"(x)=2a--匚=0可得x=」--1,

2x+12a

當(dāng)-1)時(shí)，g〃(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe((-l,+8卜寸，g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為g'((-1)=1-2a+In2a,

_yI1

令他(x)=l—x+lnx(0<x<l),則〃(x)=----->0,

函數(shù)m(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，⑴=0,

據(jù)此可得1—x+lnx<0恒成立,

一2x2+x+1

令〃(x)=lnx-x2+x(x>0),則"(x)=

X

當(dāng)X€(O,1)時(shí),〃'(x)>O,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X€(l,+8)時(shí)，〃'(X)<O,〃(X)單調(diào)遞減，

故〃(x)wMl)=O,即lnx<x2—x(取等條件為％=1),

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+lj_(》+])]=2ax-^x2+x),

g'(2a—l)>2a(2a—1)—[(2a—iy+(2a—1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+。)上存在唯一零點(diǎn)而.

當(dāng)xe(O,不)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)xe(x(),+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(天)<g(o)=o.

令=則〃，=+J=一(二1)W0,

I，/x2(x)2x

則〃(力單調(diào)遞減，注意到力⑴=0,

故當(dāng)X￡(L+OO)時(shí)，Inx-尤—j<0,從而有l(wèi)nx<jx—|,

所以g(x)=or2+x-(x+l)ln(x+l)

>6ZX~+X-(X+1)X](X+1)-----

所以函數(shù)g(x)區(qū)間(O,+8)上存在變號零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù)。得取值范圍是(0,；.

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利

用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.

四、選做題

【選修4-4】(10分)

22.在直角坐標(biāo)系X。)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x