2022年廣西高考理科數(shù)學第一次適應性試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合A={m?<9},B={-1,1,2,3）.則AC8=（）

A.{-1,1,2}B.（1,2}C.{1,2,3）D.{-1,1,2,3）

2.（5分）已知，是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=（z+l）3,貝lj|z|=（）

A.2B.V5C.2V2D.2V5

已知sing—a）+cos（與+a）=一咯,

3.（5分）則sin2a=（）

2472324

A.—B.—Cc-25D.

2525~25

4.（5分）（1-2x）4的展開式中含/項的系數(shù)為（）

A.-24B.24C.-16D.16

5.（5分）在正方體ABC。-AiSCiDi中，。為面44113的中心,01為面AHCDi的中

心，若七為C。的中點，則異面直線4E與001所成角的余弦值為（）

2V5V10C.在D.法

A.——B.——

55105

6.（5分）設一組樣本數(shù)據(jù)％1，X2,…，X2022的平均數(shù)為100,方差為10,則O.lxi+l,0.1X2+1，

…，0.1X2022+1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.10,1B.10,0.1C.11,1D.11,0.1

7.（5分）已知直線Z：（m+2）x-（加+1）-1=0（m￡R）與圓C：（X-1）2+（廠2）

2=9交于A,B兩點,則|A8|的最小值為（）

A.V5B.2V3C.V7D.2V7

8.

第1頁共26頁

9.（5分）過拋物線CF=2〃x（P>0）的焦點尸作傾斜角為60°的直線交拋物線C于A,

B兩點,則吊得■的值為（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

10.（5分）已知函數(shù)fQ）=2sWs+9）?>0,101V芻的圖象如圖所示，則下列說法正

確的是（）

71

A.將f（X）的圖象向左平移一7個單位長度，得到新函數(shù)為奇函數(shù)

12

B.函數(shù)f（x）的圖象關于點（1,0）對稱

C./（%）的解析式為/■（%）=2sin（2x+1）

D.函數(shù)/（X）在區(qū)間芻上的值域為技，2]

X2V2

11.（5分）設尸1，尺是雙曲線。：一7—77=1（。>0,Z?>0）的左、右兩個焦點，若雙曲

a2b2

線。上存在點尸滿足|PQ|：|尸出|=2：1且NF]尸產(chǎn)2=90°,則雙曲線。的漸近線方程是

（）

A.x±2y=0B.2x±y=0C.5x±4y=0D.4x±5y=0

12.（5分）己知f（x）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)加，也，

都有一f四）r"g）〈o.記0=改算,6=四弈，,=華陪，則（）

l3A

X1-X23.1$z3.2'1O93.2

A.a〈b<cB.b〈a<cC.c<a<bD.c<b<a

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二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量3=（2,2）,b=（-1,m）,若（2^+b）||b,則實數(shù)機=.

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=是尹在x=l處取得極值，則,（X）的極小值為.

15.（5分）2021年9月17日，搭載著3名英雄航天員的神舟十二號載人飛船返回艙成功著

陸于東風著陸場，標志著神舟十二號返回任務取得圓滿成功.假設返回艙。是垂直下落

于點C,某時刻地面上點A、B觀測點觀測到點。的仰角分別為45°、75°,若A、B

間距離為10千米（其中向量21與后同向），試估算該時刻返回艙距離地面的距離|CC|約

為千米（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.732）.

16.（5分）已知在三棱錐A-BCD中，面A8￡>_Lj5fBC￡>,△BCZ）和△ABO均是邊長為2百

的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）已知數(shù)列｛。>的前解項和為S”,滿足。"+〃2=〃（即+1）,@=3.

（1）求｛即｝的通項公式；

⑵設為=不々一，｛為｝的前"項和為7；,.若T”必對于任意〃6N*恒成立，求〃的取

anan+l>

值范圍.

第3頁共26頁

18.（12分）某市公安交管部門曾于2017年底公布了一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：一年來全市范圍內(nèi)共

發(fā)生涉及電動自行車的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因顱腦損傷

導致死亡占81.2%）,死亡人數(shù)中有263人未佩戴頭盔（占80.7%）.駕乘電動自行車必需

佩戴頭盔，既是守法的體現(xiàn)，也是對家庭和社會負責的表現(xiàn).該市經(jīng)過長期開展安全教

育，取得了一定的效果.表一是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設備抓拍到的駕乘人員未

佩戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

表一

年度20172018201920202021

年度序號X12345

未佩戴頭盔125012001010920870

人數(shù)y

（1）請利用表一數(shù)據(jù)求未佩戴頭盔人數(shù)y與年度序號x之間的回歸直線方程y=bx+a,

并預測該路口2022年駕乘人員未佩戴頭盔的人數(shù)；

（2）交管部門從2017?2021年在該路口發(fā)生涉及電動自行車的交通事故案例中隨機抽

取了50起作為樣本制作出表二：

表二

未佩戴頭盔佩戴頭盔合計

傷亡61016

無傷亡43034

合計104050

請問能否有95%的把握認為駕乘電動自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關？

附：參考公式及數(shù)據(jù)：b='陶弓廠”藝=抽1⑺一粗%?。?a=y-bx,2Mlx以

E陶屏一位2（x-x）2-

=14710.

心衣笳篇等溫可其中"="+b+c+a

P（力沁）0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

第4頁共26頁

19.(12分)如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面A8CZ)是矩形，平面以。_1底面ABCD

且AB=1,PA=AD=2,E為尸。中點.

(1)求證：AE±PC；

(2)若P8與底面ABC。所成角的正切值為三，求二面角A--B的正弦值.

第5頁共26頁

20.（12分）已知橢圓C：?+*=1的右焦點為尸，過點F且不垂直于x軸的直線交C于

A,B兩點，分別過A,B作平行于x軸的兩條直線/”12,設/1,/2分別與直線x=4交

于點M,N,點R是MN的中點.

（1）求證：AR//FN-,

（2）若AR與x軸交于點。（異于點R）,求學”的取值范圍.

S〉FDN

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21.(12分)已知函數(shù)/(%)=Enx—a%+1(a>0).

⑴當a=:時，討論函數(shù)/G)的單調(diào)性，并證明：(1+^)(1+^)(1+-(1+

3

Ve4(nGN*,n>2)；

(2)若函數(shù)y=/(x)與丫=一票+m2的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)。的取值范

圍.

第7頁共26頁

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做

的第一題計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

(一憶

I%=24--Q-1/

22.(10分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為12為參數(shù)).以

(y=-2+丁3

。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p=4sin*

(1)設點M(x,y)是曲線C上的一個動點，求2x+y的取值范圍；

,=1

(2)經(jīng)過變換公式*一之"'把曲線C變換到曲線Ci，設點P是曲線Ci上的一個動

./=y-2,

點，求點P到直線/的距離的最小值.

第8頁共26頁

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|2x-m\,(/nGR).

(1)當〃?>0時，解不等式，(x)>\x+l\；

(2)若對任意的在［-1,2］,不等式f(x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

第9頁共26頁

2022年廣西高考理科數(shù)學第一次適應性試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)設集合A={x*V9},B=[-1,1,2,3}.則()

A.{-1,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,1,2,3}

解：???集合AnaFv%ntvLBVxVB},

B={-1,1,2,3},

：.AQB={-1,1,2).

故選：A.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=（i+1）3,則0=（)

A.2B.V5C.2V2D.2V5

解：??二是虛數(shù)單位,

，復數(shù)z=(z+1)3=(a+2計J)(j+i)=2i(i+1)=22+2i=-2+2)

：.\z\=，(-2)2+22=2V2.

故選：C

分)已知(與+一冬則sin2a=(

3.(5sing-a)+cosa))

2472324

A.—B.—Cc?FD.

2525~25

解：Vsin(^-—a)+cos(與+a)=一1=cosa+sina,

2

—=1+2sinacosa=1+sin2a，

25

貝sin2a=

故選：C.

4.（5分）（1-2x）4的展開式中含/項的系數(shù)為（）

A.-24B.24C.-16D.16

解：二項式展開式的通項公式為：Tn\=C；（-2元）「=（-2）6鼻「，r=0,1,2,3,4,

所以含/的項的系數(shù)為（-2）2以=24,

故選：B.

5.（5分）在正方體ABC。-A1B1C1Q1中，。為面AAiBiB的中心，。1為面AiBiCid的中

第10頁共26頁

心，若E為CD的中點，則異面直線AE與。。1所成角的余弦值為（)

2x^5A/10

A.——B.——C.叵D.

55105

解：以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示,

設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),E(0,L0),O(2,1,1),0\(1,1,2),

：.AE=(-2,1,0),Ai=(-1,0，l)>

."八、AE。氏同

??cos<AE，。。1>=—=—F-，

MEII001I

.?.異面直線AE與001所成角的余弦值為厚,

故選:B.

6.（5分）設一組樣本數(shù)據(jù)Xi,xi,-,垃022的平均數(shù)為100,方差為10,則0.lxi+1,0.1x2+1,

-10.1X2022+1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.10,1B.10,0.1C.11,1D.11,0.1

解：設一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，X2022的平均數(shù)為100,方差為10,

則O.Ln+1,0.1X2+1,…，0.1X2022+1的平均數(shù)為：

100X0.1+1=11,

方差為：0.12?10-0.1.

故選：D.

7.（5分）已知直線/：（m+2）x-（zn+l）y+m-1=0C/neR）與圓C：（x-I）~+（y-2）

2=9交于A,8兩點，則的最小值為（）

第11頁共26頁

A.V5B.2V3C.y/7D.2V7

解：因為直線/：(加+2)x-(m+1)y+m-1=0(AHGR),

變形為（x-y+1）m+（2x-y-1）=0,

令卷？7m，解得尸2,尸3,

所以直線/恒過定點2（2,3）,

設圓心C（l,2）到直線/的距離為“，圓的半徑為r,

所以|AB|=2Vr2-d2=2V9-d2,

所以當4取最大值時，HB|取得最小值，

而當CP_L/時，此時|CP|即為d的最大值，

22

所以dmax^\CP\=7（1-2）+（2-3）=V2,

所以=2夕，

故選：D.

8.（5分）函數(shù)/（x）=（｝sE（嗚）_（?"+第的圖像可能是（）

第12頁共26頁

解:,//(-x)=d嚴(T+*-d)COS(-X+*)_(1嚴匿_(X+J)]_(工嚴匿-(X+分]

=$cos(x+*_弓/心+另=_f(X)

函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，排除選項C和￡）,

取x=0.01,Vsin（0.01+J）>cos（0.01+J）,：.f（0.01）<0,排除選項艮

故選：A.

9.（5分）過拋物線Cy1=2px（p>0）的焦點尸作傾斜角為60°的直線交拋物線C于A,

3兩點，則av■的值為（）

3

A.3B.2C.一D.1

2

解：拋物線（p>0）的焦點坐標為芍，0）,

?.?直線/傾斜角為60°,

；?直線/的方程為：y-0=V3（x-2）.

設直線與拋物線的交點為A（xi，yi）、B（X2，>2），

/?\AF]=x\+\BF\=X2^~

聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12?-20px+3/=0,

解得xi=孚，％2=幺

Zo

HF|=xi+?=2p，|3F|=X2+3=冬

：.\AF]：\BF\=3：1,

.犒的值為3.

故選：A.

10.（5分）已知函數(shù)/■（%）=2sin（3X+"）（3>0,|如V*）的圖象如圖所示，則下列說法正

確的是（）

第13頁共26頁

2L.

lOI\TT\r/5nx

n

A.將/(x)的圖象向左平移石個單位長度，得到新函數(shù)為奇函數(shù)

B.函數(shù)的圖象關于點(今，0)對稱

C.f(x)的解析式為/'(x)=2sin(2x+

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間[一?芻上的值域為/2]

解：根據(jù)函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)(xGR,A>0,co>O,|<p|<^)的部分圖象，

—ri*ZEJnr>57rTC37r?T_27r._~

可得？="一變=丁,??7=冗=石'??3=2?

結合五點法作圖，可得2x$+(p=*,/.<p=即f(x)=2sin(2x+^).故C正確；

TCTT

將/(x)的圖象向左平移石個單位長度得函數(shù)y=2sin⑵+少=2cos2x,函數(shù)為偶函數(shù)，

故A錯誤.

令x=1，代入函數(shù)解析式得/哈)=2sin(2x=2sii噂力0,故函數(shù)/(x)的圖

象不關于點/，0)對稱，故B錯誤；

當xC[一看，引，2x+^G[0?IT],2sin(2x+g)G[0.2],故。錯誤.

故選：C.

x2y2

”?(5分)設Fi”是雙曲線C：/-訪=1(心。，心。)的左、右兩個焦點，若雙曲

線C上存在點尸滿足IP/R：|巴切=2：1且NQPF2=90°,則雙曲線C的漸近線方程是

A.x±2y=0B.2x±y=0C.5x±4y=0D.4x±5y=0

解：根據(jù)題意，得｛fl勒PFJ，-鬲\PF2\==22：a1；

：.\PF\\=4a,\PF2\=2a；

第14頁共26頁

又/四尸&=90°,

???|PF1|2+|PF2|2=|F/2|2，

即(4a)2+(2。)2=(2c)2=4tz2+4Z?2,

22

/.b=4ci9

b

=2；

a

,雙曲線C的漸近線方程是2x±y=0.

故選：B.

12.（5分）己知/G）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)制，及，

都有盤<0,記0=辱),b=地阜,cf(og3.231)

則（)

X1-X23.13.2，」/o5323.1

A.a〈b〈cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<ci

解：f（x）是定義在（0,+8）上的函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù)XI，X2,

不妨設。＜X'X2,都有—）一—

<0,

Xl-X2

所以W(xi)-x\f(X2)>0,

所以但2>3,

X1%2

??.函數(shù)尸挈在（0.+8）上是減函數(shù),

令g（x）=竽，則g'（x）=與磐

當時，g'（X）＜0,g（x）單調(diào)遞減,

所以g(3.1)>g(3.2),

ln3.1ln3.2

即——>——，

3.13.2

所以/?3.132>/M3.231,

所以3.132>3.231>1>log3,23.1>0,

?/(3.I3-2)1-1

所以Tk32")〈Ef/(Qg3-23」)，

故a<b<c.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量2=(2，2),b=(-1,m),若(2^+b)||b,則實數(shù)勿=-1

第15頁共26頁

解：：向量［二以，2),b=(-1,m),

TT

A2a4-b=(3,4+M,

V(2a+&)||h,

-1m

??,

34+m

解得實數(shù)，"=-1.

故答案為：-1.

14.(5分)己知函數(shù)/。)=三尹在*=1處取得極值，則，(x)的極小值為1

解：函數(shù)/(?=在F，

%—x2+l+a

可得/(x)

函數(shù)f(x)="護在X=1處取得極值，f(1)=0,

令1-1+1+。=0,。=-1,

所以/(X)=eX,

可得x=0或x=l,當(-8,0)和(1,+8)時，f(x)<0,函數(shù)是減函數(shù),

XG(0,1)時，/(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)，

所以x=0是函數(shù)的極小值點，極小值為：f(0)=1.

故答案為：1.

15.(5分)2021年9月17日，搭載著3名英雄航天員的神舟十二號載人飛船返回艙成功著

陸于東風著陸場，標志著神舟十二號返回任務取得圓滿成功.假設返回艙。是垂直下落

于點C,某時刻地面上點A、B觀測點觀測到點。的仰角分別為45°、75°,若A、8

間距離為10千米(其中向量&與8同向)，試估算該時刻返回艙距離地面的距離|CO|約

為14千米(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：遮。1.732).

解：根據(jù)題意，作出示意圖如圖所示，

由/C4￡>=45°,所以C￡>=AC,

在△BCD中，tanZCBD=瑪=^=10=CD=IO'

tQ7l30°+tQ7l45°_竽+1

又tan75°=tan(30°+45°)=2+V3,

1—tan30°tan45°-］_立乂］

第16頁共26頁

CD

.=2+V3,解得C￡)=5(1+V3)=5X2.732=13.66(千米).

"CD-10

故答案為：14.

16.（5分）已知在三棱錐A-中，面BCD,/\BCD和△AB。均是邊長為2次

68g兀

的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為

3

解：在三棱錐A-BCD中，面48￡＞，面BCD,叢BCD和△A3。均是邊長為2禽的正三

角形，

如圖所示:

故設點G為△ABO的中心，F(xiàn)為△BOC的中心，。為三棱錐體的外接球的球心,

所以DF=益s=4；EG=白X2b尸_(02=i,

ofU\JJy

故R=0。=<42+l2=V17,

4

故”，7r.(舊)3=如尹

6871771

故答案為:

3,

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題:

共60分.

17.（12分）已知數(shù)列｛〃”｝的前“項和為S”滿足％+〃2=〃3+1）,s=3.

第17頁共26頁

（1）求｛。〃｝的通項公式;

（2）設與=77=—，｛為｝的前〃項和為t”若T”錄對于任意〃6N*恒成立，求"的取

a720n+15

值范圍.

解：（1）Sn+n2=n（即+1）,

時，Cln=Sn-S〃-l="（如+1）-H2-（〃-1）（斯-]+l）+（“-1）2,

化為：Un~斯-1=2,

???數(shù)列｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，

Va2=3,，。1+2=3.解得防=1.

???斯=1+2（〃-1）=2n-1.

11111

（2）bfj-4\zn?d、=K（-,

QrAi+i（2n-l）（2n+l）22n-l2n+l

???｛劣｝的前"項和為T”=；（1一寺+3一2+…+方占一方%）=|（1一票1），

2119

4對于任意“6N*恒成立，近（1—舟；）＞1,

二”的取值范圍為-2,〃CN*.

18.（12分）某市公安交管部門曾于2017年底公布了一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：一年來全市范圍內(nèi)共

發(fā)生涉及電動自行車的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因顱腦損傷

導致死亡占81.2%）,死亡人數(shù)中有263人未佩戴頭盔（占80.7%）.駕乘電動自行車必需

佩戴頭盔，既是守法的體現(xiàn)，也是對家庭和社會負責的表現(xiàn).該市經(jīng)過長期開展安全教

育，取得了一定的效果.表一是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設備抓拍到的駕乘人員未

佩戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

表一

年度20172018201920202021

年度序號X12345

未佩戴頭盔125012001010920870

人數(shù)y

（1）請利用表一數(shù)據(jù)求未佩戴頭盔人數(shù)y與年度序號x之間的回歸直線方程y=bx+a,

并預測該路口2022年駕乘人員未佩戴頭盔的人數(shù)；

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（2）交管部門從2017?2021年在該路口發(fā)生涉及電動自行車的交通事故案例中隨機抽

取了50起作為樣本制作出表二:

表二

未佩戴頭盔佩戴頭盔合計

傷亡61016

無傷亡43034

合計104050

請問能否有95%的把握認為駕乘電動自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關？

附：參考公式及數(shù)據(jù)：L,”"⑻厘-

=14710.

/二衣燒篇等盛可其中〃=。+以。+4

P(心2k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

1+2+3+4+5

解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，=3,

X=5

1250+1200+1010+920+870

=1050,

y=5

把1%必-5取_1250+2400+3030+3680+4350-5x3x1050

b二=-104,

1+4+9+16+25-5X32

a=y-bx=1050+104X3=1362,

故回歸直線方程為y=-104x+1362,

2022年，即x=6,y=-104X6+1362=738.

（2）2X2列聯(lián)表如下:

未戴頭盔戴頭盔合計

傷亡61016

無傷亡43034

合計104050

??距2=50X(6X30—4X10)_,037>4R41

,長~10x40x16x34-4-5。37>3.841,

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...有95%的把握認為不戴頭盔行為與事故傷亡有關.

19.(12分)如圖所示，已知四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是矩形，平面底面ABC。

且AB=1,PA=AD^2,E為尸。中點.

(1)求證：AE1PC；

V6

(2)若P8與底面ABC。所成角的正切值為一，求二面角A-CE-8的正弦值.

2

解：(1)所以三角形以B是直角三角形，所以以L4B.

又A￡>CAB=A,所以孫，平面ABCQ,

所以平面B4Z)_L平面ABCD.

因為底面A8C。是矩形，所以CO_LA。，

所以CO_L平面PAD,

因為AEu平面PAD,

所以CDLAE.

因為E是的中點，三角形以。是等腰直角三角形，

所以AE_LP￡>.

又PDCCD=D,所以AE_L平面尸CD.

：PCu平面PC。，/.AEIPC；

(2)如圖，作P01.AD,垂足為0,連接0B,因為平面B4D_L平面ABCD,平面PAD

A平面ABCD+AD.

所以P0_L4BC￡>,所以PB與平面ABCQ所成角為NP8。，

所以tan/P80=緇="02=苧,解得人。=1,即。為人。的中點，

J1-A02

分別以0。，0P為x,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系0-孫z,

則A(-1,0,0),8(-1,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,V3),E

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T3TT3-^3T

所以AE=(—,0,—),AC—(2,1,0),BE=(—,-1,—),BC—(2,0,0),

2222

設平面ACE的一個法向量為益=G,y,z),

則何.坐=0,即聲+岑z=0,令X=L則產(chǎn)-2,z=-V3,

(就?AC=0\2x+y=0

所以平面ACE的一個法向量為?n=(1,-2,—y/3),

同理可得平面3CE的一個法向量蔡=（0,V3,2）,

設二面角A-CE-B的平面角為。，由圖可知。為銳角,

所以cos0=后可=穿后=^故sin0=4,

|m|-|n|2/2x7777

夕

所以二面角A-CE-B的正弦值為三.

20.（12分）已知橢圓C：[+[=1的右焦點為凡過點尸且不垂直于x軸的直線交C于

4,B兩點,分別過4,8作平行于x軸的兩條直線A，12,設/1，/2分別與直線x=4交

于點"，M點R是MN的中點.

（1）求證：AR//FN；

（2）若AR與x軸交于點。（異于點R）,求沁”的取值范圍.

SRFDN

解：（1）由題意可得，設直線A8的方程為y=Z（x-1）,A（xi，yi）,B（X2，”），

%2y2

因為一+一=1,則尸(1,0),M(4,y\),N(4,”),

43

yi+y2

又R是MN的中點R（4,)

2

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y=fc(x—1)

2

/y2_(3+4-x-8必X+4F-12=0,

fT+T=1

8必4k2-12

所以X1+X2=XIX2=

3+4/'3+4必

所以T-，kFNJ於：，

X]—44—1

yiy23

所以皿_~-_3koiF)3(XI-%2)3(―—久2)

kfN2(%i—4)y22(%1—4)-/c(X2—1)2(x1一4)(%2-1)2%62—2%1-8股+8

▽8k220k2

X\~^"X2~7f34=火山羿運

3+4/J3+4必

所以5(xi+x2)=2(%1X2+4),

則也=—3(久1-X2)_=3久1-3工2

kfN5(%i+%2)-2%]—8%23%1—3%2

所以AR〃尸M得證.

(2)因為AR〃FN,則以R=MV=孕,

設直線AR的方程為產(chǎn)孕（x-4）+上聲,

令『，得x=$，則”空，。）,

e

則SZ\AOM=^\AM\9\yA\=I（4-xi）yi，

115y2-3y1

SAFDM=5I五。|?|yM=5x(--------1)?(-y2),

乙L2y21

所以SDDM_(4%1)為_(drQ.Ox-l)(%IT)(4-%2)

-1-

S&FDN3yx-5y23Zc(x1-l)-5fc(x2)3(x1-l)-5(x2l)

-X1X2+4X1+X2-4

3%I-5%2+2

_歌「為_3』1+/=3

八-a，_1'

-3XI-5X2+2-8I"+~2i8+而

因為Eni,則募e(0,1],

則8+.6(8,9],

J1+必

即工<迎皿屋，

3S〉FDN8

所以用也的取值范圍為33

S&FDN38

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21.(12分)已知函數(shù)f(x)=—QX+/(a>0).

⑴當a=；時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明：(1+與(1+與(1+3).“(1++)

3

<e4(nG/V\n>2)；

(2)若函數(shù)y=f(x)與曠=一票+m2的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)。的取值范

圍.

解：(1)當a=4時，/(%)=Inx+

2

所以廣(g=>?看=一鏟"，

所以/(x)在(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

又/⑴=0,

所以當無€(1,+°°)時，f(x)V0,即)—

令x=l++(ne/V，，n>2),則仇。+今)號。+壺)一^^==

1,1,1、「1lz11、

遍+E)目=2(口一布>

從而比(1+盟+仇(1+蘇+2n(l+/+???+ln(l+%G(l一1+A1+U+“

11、1,一111、J、3

=)=

,~\--n--—-1Z----n--+-7-lry)Q2(、14-72T-----n-------np4r-)lyVf2(1、2+，5T4?

所以(1+*)(1+￡)(1+力…(1+*)〈鞏九GN*,n>2).

(2)令g(x)=(ITLX-ax-\—)—(-------FZn2)=In—axH(%>0),

XX乙X

所以g'(x)=1a—黑=-qy2V_4a(x>0).

xX&X"

設&(x)=-aj?+x-4a,則△=1-16/.

①當，即a2J時，g(x)WO,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

(a>04

所以g(x)不可能有三個不同的零點；

②當(：；；',即0Va〈時，Z(x)有兩個零點/=上￡還，%2=6.,

所以A2>Xl>0.

又因為k(x)=-ax^^x-4a開口向下，

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所以當OVxVxi時，k(x)<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0,xi)上單調(diào)遞減；

當xiVx〈X2時，k(x)>0,即g(x)>0,所以g(x)在(尤1，X2)上單調(diào)遞增；

當X>X2時，k(X)<0,即g'(X)<0,所以g(X)在(X2，+8)上單調(diào)遞減.

A/j

因為g(2)="1—2Q+彳=0,且加12=4,所以用<2VA7,

所以g(xi)<g(2)=0<g(%2).

因為9(今)="—。今+=一"2—2lnd—，+4a?,

or

1

所以令m(a)=—ln2—2Ina--+4a3,

mu，/、2?1Iio212a4—2a+l1-2a八

則m(a)=-￡+形+12a2=------芯---->-T->0.

所以僧(a)在(0,3單調(diào)遞增，

所以m(a)Vm(3=—Zn2—22n號)—4+4(*)3-3/n2