第6章

最優(yōu)證券投資組合第6章

最優(yōu)證券投資組合6.1兩證券模型的最優(yōu)證券組合

—模型假定

a）只包含一支風(fēng)險證券和一支無風(fēng)險證券

b）經(jīng)濟(jì)主體的效用函數(shù)具有單調(diào)遞增和二階可導(dǎo)的VNM效用函數(shù)的形式

c）假設(shè)經(jīng)濟(jì)主體在時期1的收入都在證券組合收益空間中（即假設(shè)的經(jīng)濟(jì)是一個證券市場經(jīng)濟(jì)）（一）證券組合選擇問題同決策主體的財富或收入的關(guān)系

—一個具有嚴(yán)格遞增預(yù)期效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)行為主體，其預(yù)期效用取決于時期1消費(fèi)，最優(yōu)化證券組合選擇問題可以寫成

—約束條件為

—由于假設(shè)的經(jīng)濟(jì)是一個證券市場經(jīng)濟(jì)，這樣，最優(yōu)化證券組合選擇問題可以重寫為

約束條件為

—經(jīng)濟(jì)行為主體的財富的定義是其在時期0的所得收入加上其所持有的證券組合的價格，這支證券組合為他產(chǎn)生時期1的所得收入，即，使用財富w并在預(yù)期效用函數(shù)中代入，可以得到最優(yōu)證券組合選擇問題的另一種表達(dá)：約束條件為如果經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，那么最優(yōu)消費(fèi)計劃就是唯一的，更進(jìn)一步，如果證券市場中不存在多余的證券，那么經(jīng)濟(jì)行為主體的最優(yōu)證券組合仍然是唯一的。

—兩證券模型的最優(yōu)證券組合分析

a）設(shè)風(fēng)險證券收益率為r，無風(fēng)險證券收益率為rf

，其差r-rf為非零，是風(fēng)險證券的超額收益率，也即風(fēng)險貼水。

b）在兩證券模型分析中，用投資于各支證券的財富量來描述一個預(yù)算上可行的證券組合。令a代表經(jīng)濟(jì)行為主體投資于風(fēng)險證券上的財富價值，則代表無風(fēng)險證券上所投資的財富數(shù)量為w-a，那么投資組合(w-a,a)的未來收益為wrf+(r-rf)a。

c）假設(shè)經(jīng)濟(jì)行為主體財富w是嚴(yán)格正值的，可以用a*表示經(jīng)濟(jì)行為主體的最優(yōu)投資組合，它是以下規(guī)劃問題的解

約束條件為

d）如果證券市場上的證券價格是排除套利的，并且假設(shè)經(jīng)濟(jì)行為主體的消費(fèi)是嚴(yán)格正值的，那么上述最優(yōu)化問題存在解。

e）如果經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，則在上述最優(yōu)化問題中的最優(yōu)投資組合就是唯一的。

f）作為內(nèi)部解的經(jīng)濟(jì)行為主體最優(yōu)投資組合a*滿足一階條件（二）運(yùn)用模型分析風(fēng)險證券的最優(yōu)投資數(shù)量與風(fēng)險貼水的關(guān)系

—定理一：如果一個經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，那么，他投資于風(fēng)險證券的最優(yōu)數(shù)量是嚴(yán)格正值的、是零、或者是嚴(yán)格負(fù)值的充分必要條件是：這支風(fēng)險證券的風(fēng)險貼水是嚴(yán)格正值的，是零，或者是嚴(yán)格負(fù)值的。

—定理二：如果風(fēng)險貼水很小，那么一個嚴(yán)格風(fēng)險厭惡、在時期1的收入為0的經(jīng)濟(jì)行為主體在風(fēng)險證券上的最優(yōu)投資為6.2最優(yōu)證券投資組合的決定因素

—主要內(nèi)容：討論在經(jīng)濟(jì)行為主體的財富狀況、經(jīng)濟(jì)中的無風(fēng)險收益率、風(fēng)險證券的預(yù)期收益率和風(fēng)險程度發(fā)生變化的情況下，最優(yōu)證券投資組合的決定。

—模型：分析仍僅限定于兩證券模型，即一支無風(fēng)險證券與一支風(fēng)險證券。

—假定：經(jīng)濟(jì)行為主體的財富只由時期0的收入構(gòu)成，其時期1的收入假設(shè)為0。

—方法：借鑒投資者理論中的比較靜態(tài)分析方法。（一）首先討論財富變動對最優(yōu)證券投資組合的影響

—定理：如果經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，并且如果他的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞減的，同時如果風(fēng)險證券的風(fēng)險貼水是正值的，那么，當(dāng)經(jīng)濟(jì)行為主體的財富增加時，他的最優(yōu)投資組合中的對風(fēng)險證券的投資a*是增加的。

—證明：此定理的證明從最優(yōu)化投資的一階條件開始。最優(yōu)化投資的一階條件為：對此式中的變量w求偏導(dǎo)數(shù)得到：或者可證明因此在設(shè)定的條件下，隨著財富的增加，經(jīng)濟(jì)行為主體投資于風(fēng)險證券的價值將增加，風(fēng)險證券是一種正常商品。

a）當(dāng)絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)遞增或者為常數(shù)時財富變動對最優(yōu)證券投資組合變動的影響按照以上定理的證明過程，遵循類似的步驟可以得出：如果一個經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的并且其絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞增的，隨著財富的增加，他投資于風(fēng)險證券的價值將會減少。而如果經(jīng)濟(jì)行為主體的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是不變的，他的最優(yōu)投資組合中的風(fēng)險證券的投資就與財富變動無關(guān)。

b）在相對風(fēng)險厭惡系數(shù)情況下財富變動同風(fēng)險證券投資變化的關(guān)系類似于上述定理的證明，我們可以得出這樣一個定理：如果一個經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，如果他的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞減的，并且如果風(fēng)險證券的風(fēng)險貼水是正值的，那么，當(dāng)他的財富增加時，其最優(yōu)投資組合中的對風(fēng)險證券投資a*/w是增加的。類似結(jié)果同樣適用于遞增的和不變的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)。（二）其次討論收益率變動對最優(yōu)證券投資組合的影響

—無風(fēng)險收益率變動對最優(yōu)證券投資組合的影響定理：如果一個經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險厭惡的，并且他的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞增的，如果這個經(jīng)濟(jì)行為主體的最優(yōu)證券投資組合對于風(fēng)險證券的投資是正值的并且風(fēng)險貼水是正值的，那么他對風(fēng)險證券的最優(yōu)投資a*對于無風(fēng)險證券收益率的變動是嚴(yán)格遞減的。

—風(fēng)險證券預(yù)期收益率變化對最優(yōu)證券投資組合的影響同前述定理的論證方法相似，我們可以證明：如果某個經(jīng)濟(jì)行為主體是嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的，如果他的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)RA是遞減的，并且風(fēng)險證券的風(fēng)險貼水是正值的，那么，最優(yōu)證券投資組合a*關(guān)于風(fēng)險證券預(yù)期收益率變化的反應(yīng)是正相關(guān)的，即隨預(yù)期收益率的增加而遞增。但如果經(jīng)濟(jì)行為主體的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞增的，則不能肯定其對風(fēng)險證券的投資是遞增還是遞減。（三）最后討論風(fēng)險程度的改變對最優(yōu)證券投資組合的影響

—考慮最優(yōu)化問題的一階條件，同時引入一個關(guān)于變量a和y的二元函數(shù)g

我們可以證明，函數(shù)g是y的凹函數(shù)的充分條件是，經(jīng)濟(jì)行為主體的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)是增函數(shù)，并且小于或者等于1，而絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)是遞減的。如果風(fēng)險證券的風(fēng)險貼水是嚴(yán)格正值的，那么就意味著當(dāng)風(fēng)險收益率的風(fēng)險程度更大時，經(jīng)濟(jì)行為主體對于風(fēng)險證券的投資是遞減的。6.3多證券模型的最優(yōu)證券組合（一）前提假設(shè)

—經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)有預(yù)期效用的表達(dá)形式

—效用函數(shù)是嚴(yán)格的增函數(shù)并且是可微的，它只取決于時期1的消費(fèi)

—經(jīng)濟(jì)行為主體的收入存在于證券組合收益空間中，經(jīng)濟(jì)中不存在多余的證券。（二）模型表達(dá)

—一個具有嚴(yán)格遞增效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)行為主體的證券選擇問題可以表示成約束條件為

其中，aj

表示投資于證券j的財富量，而且令

經(jīng)濟(jì)行為主體的最佳證券投資組合則可以寫作

—如果有一支證券是收益率為rf的無風(fēng)險證券，那么最優(yōu)證券組合選擇問題就可記為最優(yōu)投資作為這個最優(yōu)證券組合選擇問題的一個解得出。最優(yōu)證券投資組合收益率為

投資于無風(fēng)險證券的財富量為（三）多支風(fēng)險證券條件下的風(fēng)險—收益替代兩證券模型中一個嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體的最優(yōu)證券投資組合包含風(fēng)險證券的充分必要條件是風(fēng)險證券的預(yù)期收益率嚴(yán)格大于無風(fēng)險證券的收益率，較高的預(yù)期收益率補(bǔ)償了最優(yōu)證券組合的風(fēng)險。在具有多支風(fēng)險證券的組合中，這種風(fēng)險和收益的替代關(guān)系仍然成立。即：如果r*是一個風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體的最優(yōu)證券組合的收益率，且如果r*比另一支證券組合收益率r更有風(fēng)險，則有（四）多支風(fēng)險證券條件下的風(fēng)險貼水與最優(yōu)證券組合的關(guān)系

—在兩證券模型中，對風(fēng)險證券的最優(yōu)持有是嚴(yán)格為正、為零還是嚴(yán)格為負(fù)，取決于此風(fēng)險證券的貼水是嚴(yán)格正值、是零還是負(fù)值。但兩證券模型這種風(fēng)險貼水與最優(yōu)證券組合之間的關(guān)系，并不能推展到含有多種風(fēng)險證券的情況。

—在對經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)、證券收益率或同時對這二者缺乏深入了解的情況下，在aj=0時的預(yù)期效用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)符號不足以決定多證券模型下的最優(yōu)證券投資的位置。

—如果一支證券的收益率可由其它證券構(gòu)成的一個證券組合的收益率加上一個均值獨(dú)立項表示，那么一個嚴(yán)格風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體對這支證券的最優(yōu)投資的符號，就與均值獨(dú)立項預(yù)期值的符號一樣。（五）在線性風(fēng)險容忍系數(shù)的效用函數(shù)條件下，