清單04指數(shù)與對(duì)數(shù)（6個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識(shí)點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則3、次方根的定義：若，則稱(chēng)為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．4、兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）知識(shí)點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識(shí)點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算5、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無(wú)理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．知識(shí)點(diǎn)五、對(duì)數(shù)概念6、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．7、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．8、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．9、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見(jiàn)a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱(chēng)可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)六、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以?xún)缰笖?shù)；知識(shí)點(diǎn)七、對(duì)數(shù)公式10、對(duì)數(shù)恒等式：11、換底公式【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：根式的化簡(jiǎn)與求值例1．（2023·江蘇連云港·高一江蘇省板浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝懈魇秸_的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；∵，∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；成立，故D正確.故選：D.例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，即，所以.故選：B例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因，則有，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D例4．（2023·浙江溫州·高一甌海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D例5．（2023·江西南昌·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【解析】依題意，，，則，所以的值為1.故選：A例6．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二?？计谀┗?jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】依題意.故選：C.考點(diǎn)2：指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例7．（2023·重慶云陽(yáng)·高一重慶市云陽(yáng)鳳鳴中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）計(jì)算：．（2）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算：．【解析】（1）原式．（2）．例8．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┯?jì)算下列各式的值．(1)(2)已知求的值．【解析】（1）原式；（2），等號(hào)兩邊同時(shí)平方，得，所以.例9．（2023·河北唐山·高一統(tǒng)考期中）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2)若，求的值.【解析】（1）.（2），.例10．（2023·天津和平·高一天津市雙菱中學(xué)校考期中）計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）易知；（2）由題意可知：，則.例11．（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【解析】（1）原式.（2）由，得，所以．例12．（2023·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┤?，求下列各式的值：(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得；?）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?所以.例13．（2023·陜西安康·高一統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）（2），所以，，．考點(diǎn)3：對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)例14．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，.故選：D.例15．（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）已知，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D例16．（2023·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校?則的值為（

）A．6 B．7 C．12 D．18【答案】C【解析】，故選：C例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．,且【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義得到不等式組解得.解得，即且.故選：例18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程＝的解是（

）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝9【答案】A【解析】由題得.故選：A例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)，則，∵，即，整理得，注意到，則，解得，即.故選：D.考點(diǎn)4：對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值例20．（2023·重慶·高一重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）計(jì)算.【答案】【解析】.故答案為：.例21．（2023·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？计谥校┯?jì)算.【答案】2【解析】根據(jù)題意可得：；故答案為：2例22．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算＝．【答案】25【解析】故答案為：25例23．（2023·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）．【答案】【解析】.故答案為：例24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．【答案】5【解析】，故答案為：5例25．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谥校┯?jì)算：.【答案】/【解析】.故答案為：.例26．（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）.【答案】/【解析】，故答案為：例27．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【解析】由題意可得：.故答案為：18.考點(diǎn)5：對(duì)數(shù)的應(yīng)用例28．（2023·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱(chēng)贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，所以所在的區(qū)間為.故選：C例29．（2023·四川成都·高一校考期中）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車(chē)，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē)．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的進(jìn)度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A．7 B．8 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，即，由于在定義域上單調(diào)遞減，所以，∴他至少經(jīng)過(guò)8小時(shí)才能駕駛.故選：B.例30．（2023·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．正常人體的血氧飽和度一般不低于，在以下為供氧不足．在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度（單位：%）隨給氧時(shí)間（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)．已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80．若使得血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（取）（

）A．約小時(shí) B．約小時(shí) C．約小時(shí) D．約小時(shí)【答案】B【解析】由題意知，，，當(dāng)小時(shí)，，得：要使血氧飽和度達(dá)到正常，即需：，即：，化簡(jiǎn)得：，所以得：因?yàn)橐呀?jīng)給氧1小時(shí)，所以還需要繼續(xù)給氧時(shí)間至少為：小時(shí).故選：B.例31．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）碳－14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體生物其體內(nèi)的碳－14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳－14開(kāi)始衰變并逐漸消失.已知碳－14的半衰期為5730年，即生物死亡年后，碳－14所剩質(zhì)量，其中為活體組織中碳－14的質(zhì)量.科學(xué)家一般利用碳－14這一特性測(cè)定生物死亡年代.2023年科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳－14含量約為原始質(zhì)量的倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果并結(jié)合下表中我國(guó)歷史朝代的時(shí)間段可推斷該生物死亡的朝代為（參考數(shù)據(jù)：）（

）金1115年1234年元代1206年1368年明代1368年1644年清代1616年1911年A．金 B．元 C．明 D．清【答案】D【解析】由題意知，所以，所以，所以，所以，故對(duì)應(yīng)死亡的朝代為清代.故選：D.例32．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個(gè)點(diǎn)，根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼，一共有種不同的碼.假設(shè)我們1秒鐘用掉1萬(wàn)個(gè)二維碼，1萬(wàn)年約為秒，那么大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬(wàn)年 B．117萬(wàn)年 C．萬(wàn)年 D．205萬(wàn)年【答案】A【解析】由題意大約可以用萬(wàn)年，則，所以，即大約可以用萬(wàn)年.故選：A例33．（2023·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）一個(gè)容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，后剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過(guò)后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的十六分之一，則需再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意有，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，當(dāng)容器中只有開(kāi)始時(shí)的十六分之一，則有，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為.故選：A.例34．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在百端待舉、日理萬(wàn)機(jī)中，毛澤東主席仍不忘我國(guó)的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見(jiàn)安徽參加國(guó)慶的代表團(tuán)時(shí)，送給代表團(tuán)成員——渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁(yè)上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個(gè)字的題詞迅速在全國(guó)傳播開(kāi)來(lái)，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負(fù)韶華.他告訴我們：每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，持之以恒，收獲不止一點(diǎn)點(diǎn).把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1.每天的“進(jìn)步率”為3%，那么經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為，如果每天的“遲步率”為3%，同樣經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期后的學(xué)習(xí)情況為，經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期，進(jìn)步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的1335倍還多，按上述情況，若“進(jìn)步"的值是“遲步”的值的10倍，要經(jīng)過(guò)的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．28 B．38 C．60 D．100【答案】B【解析】設(shè)要經(jīng)過(guò)天，“進(jìn)步"的值是“遲步”的值的10倍，則，即，則.故選：B.考點(diǎn)6：指數(shù)冪、對(duì)數(shù)綜合運(yùn)算及應(yīng)用例35．（2023·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則.（用、表示）【答案】【解析】因?yàn)?，則，又，所以.故答案為：例36．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知，則．（用表示）【答案】【解析】由，得，又，所以.故答案為：例37．（2023·上海普陀·高一?？计谥校┰O(shè)，試用a，b表示．【答案】【解析】，所以，故答案為：例38．（2023·江蘇常州·高一校聯(lián)考期中）已知，則（結(jié)果用a，b表示）.【答案】【解析】,故答案為：.例39．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）若，且，則實(shí)數(shù)．【答案】9【解析】因?yàn)?，可知，又因?yàn)椋?，由換底公式得，則，即，解得．故答案為：9．例40．（2023·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1，滿(mǎn)足，且，則的值為.【答案】1【解析】由題意，正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1，設(shè)，則，，，即，，，由，得，即，即.故答案為：1.例41．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【解析】設(shè)，則.∴，∴，而，∴，得證.例42．（2023·廣西崇左·高一?？茧A段練習(xí)）求滿(mǎn)足下列條件的各式的值(1)若，求的值；(2)設(shè)，求證：.【解析】（1），，，（2）證明：設(shè)，則，，.所以，，.所以，所以.例43．（2023·廣東江門(mén)·高一階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足．（1）求證：；（2）比較的大小．【解析】（1）證明：令，利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化知，，則，，∴.（2）證明：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y，z，，又，，又，，∴．【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）．A．18 B．9 C． D．3【答案】B【解析】，所以，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B.2．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是16.故選：B3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，則，所以，解得或，所以或，所以或，因?yàn)椋曰?，所以或，所以或，故選：D4．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某程序研發(fā)員開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有1000名初始用戶(hù)，經(jīng)過(guò)t天后，用戶(hù)人數(shù)，其中k和m均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶(hù)，則用戶(hù)超過(guò)2萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（

）（天數(shù)按整數(shù)算，取）.A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樾〕绦虬l(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶(hù)，所以，令，所以，故用戶(hù)超過(guò)2萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為22，故選：C5．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，所以，故選：C6．（2023·廣西·統(tǒng)考三模）17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱(chēng)贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”，現(xiàn)代物理學(xué)之父伽利略評(píng)價(jià)“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙”.已知，，設(shè)，則N所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值同樣取以10為底的對(duì)數(shù)值，可知B正確.故選：B7．（2023·高一單元測(cè)試）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．設(shè)則 B．若，則C．若，則 D．【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B．二、多選題8．（2023·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）下列運(yùn)算中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD9．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，即，故，故A正確；因?yàn)椋?，所以成立，故C正確；，故，故B錯(cuò)誤；成立，故D正確.故選：ACD.10．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校考期中）已知，則下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】依題意，，即，則且a，，故C正確；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BCD.11．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)都是正數(shù)，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令，則，所以，對(duì)于A：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，A正確；對(duì)于B：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，C錯(cuò)