新課程理念下的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練武漢市第一初級(jí)中學(xué)閔耀明中學(xué)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)概述思維品質(zhì)是思維發(fā)生和發(fā)展中所表現(xiàn)出來(lái)的個(gè)性差異．1.1數(shù)學(xué)思維的靈活性思維的靈活性指的是不過(guò)多地受思維定勢(shì)的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中解脫出來(lái)，及時(shí)轉(zhuǎn)向，迅速找到解決問(wèn)題的途徑．例1（2009年上海市中考題）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M為邊BC上的點(diǎn)，連接AM（如圖所示）．如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是．A圖A圖2BMCNPA圖1BMC解法1：設(shè)經(jīng)翻折后點(diǎn)B落在AC的P處，連接MP，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴AP＝PC，過(guò)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC＝45°，∴AN＝MN，設(shè)AN＝MN＝x，∵AB＝AP，∴AC＝2AP＝2AB＝6，CN＝AC－AN＝6－x，∵△CNM∽△CBA，∴eq\f(CN,CA)＝eq\f(NM,AB)，即eq\f(6－x,6)＝eq\f(x,3)，解得x＝2．解法2：∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴△AMP的面積等于△ABC的面積的eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)AP×MN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×6＝3，∴MN＝2．解法2比解法1簡(jiǎn)捷得多，而這種解法需要思維的靈活性支撐．1.2數(shù)學(xué)思維的批判性數(shù)學(xué)思維的批判性指的是對(duì)已有的數(shù)學(xué)表述和論證能提出自己的見(jiàn)解，能獨(dú)立思考，不盲從，不輕信．例2一個(gè)概率問(wèn)題的爭(zhēng)議1.3數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性指的是思考問(wèn)題符合邏輯，嚴(yán)密，準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)運(yùn)算精確無(wú)誤．例3(2009年濟(jì)南市中考題)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4eq\r(2)，∠B＝45°．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值．（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．AADCBMN（圖3）解：（1）如圖①，過(guò)A，D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形，∴KH＝AD＝3，在Rt△ABK中，AK＝AB·sin45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4，BK＝AB·cos45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC＝eq\r(52－42)＝3．∴BC＝BK＋KH＋HC＝10．（圖（圖①）ADCBKH（圖②）ADCBGMN（第23題圖⑤（第23題圖⑤）ADCBHNMFADCBMN（第23題圖③）（第23題圖④）ADCBMNHE（2）如圖②，過(guò)D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．∵M(jìn)N∥AB，∴MN∥DG．∴BG＝AD＝3．∴GC＝10－3＝7．由題意知，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN＝t，CM＝10－2t．∵M(jìn)N∥DG，∴∠NMC＝∠DGC．又∠C＝∠C，∴△MNC∽△GDC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CM,CG)．即eq\f(t,5)＝eq\f(10－2t,7)．解得，t＝eq\f(50,17)．（3）分三種情況討論：①當(dāng)NC＝MC時(shí)，如圖③，即t＝10－2t．∴t＝eq\f(10,3)；②當(dāng)MN＝NC時(shí)，如圖④，過(guò)N作NE⊥MC于E.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠NEC＝90°，∴△NEC∽△DHC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CE,CH)．即eq\f(t,5)＝eq\f(5－t,3)．解得，t＝eq\f(25,8)；③當(dāng)MN＝MC時(shí)，如圖⑤，過(guò)M作MF⊥CN于F點(diǎn).FC＝eq\f(1,2)NC＝eq\f(1,2)t.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠MFC＝90°，∴△MFC∽△DHC．∴eq\f(FC,HC)＝eq\f(MC,DC)．即eq\f(\f(1,2)t,3)＝eq\f(10－2t,5)．解得，t＝eq\f(60,17)．綜上所述，當(dāng)t＝eq\f(10,3)、t＝eq\f(25,8)或t＝eq\f(60,17)時(shí)，△MNC為等腰三角形．1.4數(shù)學(xué)思維的廣闊性數(shù)學(xué)思維的廣闊性指的是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮，對(duì)一個(gè)對(duì)象能用多種角度觀察，對(duì)一個(gè)題目能想出各種不同的解法，即通常所說(shuō)的“一題多解”．一題多解的目的當(dāng)然是為了尋找一種最簡(jiǎn)捷的解題方法，而最簡(jiǎn)捷的解法的獲得只能來(lái)自盡可能廣泛深入的思考和選擇．例4(2009年寧德市中考題)如圖，已知拋物線C1：的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式；（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．yxyxAOBPM圖1C1C2C3圖（1）yxAOBPN圖2C1C4QEF圖（2）解：（1）由拋物線C1：得頂點(diǎn)P的為（-2，-5）．∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C1上，∴．解得，a＝EQ\F(5,9)．（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G．∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，∴PM過(guò)點(diǎn)B，且PB＝MB．∴△PBH≌△MBG．∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3．∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）．拋物線C2由C1關(guān)于x軸對(duì)稱得到，拋物線C3由C2平移得到．∴拋物線C3的表達(dá)式為．yyxAOBPM圖(1)C1C2C3HGyxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGKyxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱．由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5．設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K．∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，∴EF＝AB＝2BH＝6．∴FG＝3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0），H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5）．根據(jù)勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4mPF2＝PH2+HF2＝m2+10mNF2＝52+32＝34①當(dāng)∠PNF＝90o時(shí)，PN2+NF2＝PF2，解得m＝EQ\F(44,3)，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（EQ\F(19,3)，0）②當(dāng)∠PFN＝90o時(shí)，PF2+NF2＝PN2，解得m＝EQ\F(10,3)，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（EQ\F(2,3)，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（EQ\F(19,3)，0）或（EQ\F(2,3)，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．2中學(xué)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的訓(xùn)練2.1給學(xué)生探究的空間，課堂上放手讓學(xué)生探究，教師扮演引領(lǐng)者的角色．給學(xué)生提供有探究?jī)r(jià)值的材料，使學(xué)生在自主探究中優(yōu)化思維品質(zhì)．例5教參上一個(gè)錯(cuò)題的兩種不同處理例6一節(jié)公開(kāi)課上的發(fā)現(xiàn)例7一個(gè)頗富探究?jī)r(jià)值的老問(wèn)題．2.2變式教學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維品質(zhì)的有效教學(xué)模式在新課程改革推動(dòng)的同時(shí)，中國(guó)的雙基教學(xué)的研究受到學(xué)者們的重視，“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的理論框架逐漸清晰起來(lái)”[1]．“中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)，重視‘變式練習(xí)’，在變化中求得重復(fù)，在重復(fù)中獲取變化．中國(guó)的研究，有概念變式、過(guò)程變式、問(wèn)題變式等多種方式，這些理應(yīng)成為雙基數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分”[1]．“變式教學(xué)泛指知識(shí)形成過(guò)程中的問(wèn)題設(shè)計(jì)、基本概念辨析型變式、定理、公式的深化變式、變式應(yīng)用；例題、習(xí)題的一題多解、一法多用、一題多變、多題歸一；教學(xué)方法的靈活多變等”[2]．例8一個(gè)存在性問(wèn)題的變式研究2.3解題教學(xué)既要講通解題方法，又要展現(xiàn)方法的探究過(guò)程，如有可能，還應(yīng)加以升華，將問(wèn)題想更廣闊或更深刻的方向拓展．例9一組題目的講法示范1.△ABC所在平面上的點(diǎn)P，使得△ABP，△BCP和△ACP的面積相等．這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．8B．4C．32.已知正整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且ab＋bc＋ca＝abc．求所有符合條件的a，b，c．拓展：用三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點(diǎn)拼在一起，剛好能完全鋪滿地面．設(shè)正多邊形的邊數(shù)為x，y，z．則eq\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)的值為．3.直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)P(﹣1，﹣2)，Q(4，2)