射影面積法求二面角_第1頁
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射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD與面SAB所成的角的大小。圖1圖1SDCBA解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應(yīng)滿足===。例2．（2008北京理）如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大??；AACBP解：（Ⅰ）證略（Ⅱ），，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中點．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，，則，設(shè)二面角的大小為，則∴二面角的大小為練習(xí)1：如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1銳角的余弦值.（答案：所求二面角的余弦值為cosθ=）.AA1D1B1C1EDBCA圖5平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點間距離公式求二面角的平面角。解1：（三垂線定理法）取AC的中點E，連接BE，過E做EFPC,連接BF平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC圖1BE平面PAC圖1由三垂線定理知BFPC為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1,E為AC的中點，BE=,EF=tan==argtan解2：（三垂線定理法）PCBAEFPCBAEFMAB=AC,PB=PC AEBC,PEBC BC平面PAE,BC平面PBC圖2 平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE圖2由三垂線定理知AMPC為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1，AM=,AF=sin=PCBAEPCBAE解3：（投影法）過B作BEAC于E,連結(jié)PE平面ABC，PA平面PAC圖3平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC圖3BE平面PAC是在平面PAC上的射影設(shè)PA=1,則PB=PC=,AB=1,由射影面積公式得，,4.在單位正方體中，求二面角的度數(shù)。三垂線法利用三垂線定理或逆定理構(gòu)造出二面角的平面角，進(jìn)而求解。解法一.作取的中點,連結(jié).由三垂線逆定理知為所求二面角的平面角在中二．射影法利用斜面面積和射影面積的關(guān)系：（為斜面與射影所成二面角的平面角）直接求

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