大學物理實驗――靜電場的描繪PAGEPAGE８實驗六靜電場的描繪[目的]1.學習用模擬法研究靜電場；2.描繪圓柱形電容器中的等勢線。[儀器和用具]1.靜電場描繪儀（DZ-2型）；2.靜電場描繪儀電源（AC-12型,0-12V、1KHZ）；3.游標尺(0-150mm、精度：0.02mm)；4.導線4條；5.毫米尺（0－200mm），圓規(guī)，計算器；6.坐標紙二張【140×140(mm)2】，復寫紙【140×140(mm)2】注：5和6由學員自帶。[原理]一、靜電場與穩(wěn)恒電流場靜電場是靜止電荷周圍存在的一種特殊物質(zhì)。各種電子器件的研制以及化學電鍍、靜電噴漆等工藝，均需了解帶電體或電極間的靜電場分布。但是，除極簡單的情況外，大部分情況下不能得到靜電場的解析表達式。為了解決實際問題，一般借助實驗的方法來描述電場強度或其電勢的空間分布。但是由于靜電場中不存在電流，無法用直流電表直接測量，而用靜電式儀表測量，必須用金屬探頭，然而金屬探頭伸入靜電場中將發(fā)生靜電感應現(xiàn)象，產(chǎn)生感應電荷，感應電荷的電場疊加于被測的靜電場中，改變了靜電場原來的分布，使之發(fā)生顯著的變化，導致測量誤差極大。因此，一般采用間接測量的方法來描述靜電場，利用穩(wěn)恒電流場來模擬測繪靜電場的分布，就是一種常用的測量方法。靜電場和穩(wěn)恒電流場本是不同的場，但是它們都遵守高斯定理，對靜電場有對穩(wěn)恒電流場，則有另外，它們也都引入了電勢U的概念且電場強度與電勢又存在的關系，因此描繪出U的分布即可利用此關系描繪出的分布。根據(jù)兩種場的這種相似性，我們可將不良導體作為電介質(zhì)，并使其與作為電極的良導體以及輸出電壓穩(wěn)定的電源構成閉合電路，從而在不良導體中建立一個穩(wěn)恒電流場，改變電極和介質(zhì)的形狀，使介質(zhì)中電流場的電位分布與欲測量的靜電場的電位分布完全相似，測出穩(wěn)恒電流場的電勢分布，即可得到相應的靜電場的電勢分布，根據(jù)該電勢分布圖，描繪出等位線（或等位面）圖，再根據(jù)電力線與等位線正交的性質(zhì)，作出電力線圖，即可得到靜電場的分布圖。上述這種利用規(guī)律和形式上的相似，由一種測量代替另一種測量的方法，就稱為模擬法。二、兩共軸無限長均勻帶電圓柱體間的靜電場如圖6－1(h→∞)，設內(nèi)圓柱A的半徑為，其電勢為；外環(huán)內(nèi)半徑為，其電勢為，則靜電場中距離軸心為處的P點的電勢可表示為：（6－1）根據(jù)高斯定理可知，對于兩共軸無限長均勻帶電圓柱體系統(tǒng)，垂直于軸線的任一截面S內(nèi)，都有均勻分布的如圖6－1（b）的輻射狀電力線，這是一個與圓柱中心軸線無關的二維場，即只需研究任一截面上的電場分布即可。而在二維場中，電場強度平行于x、y平面，其等位面為一簇同軸圓柱面的同心圓，圓等位面與電力線正交。如圖6－1(b),當時，電荷均勻分布的兩同軸無限長圓柱體內(nèi)距軸心距離為的場強大小為（6－2）式中C由圓柱體上的線電荷密度決定。將式（6－2）代入式（6－1）可得（6－3）在r=rb處，電勢值代入式（6－3）有整理后可得：（6－4）將此式代入式（6－3），并取Ua=U0，Ub=0，整理后可得：即或（6－5）將式（6－5）方程兩邊取自然對數(shù)的形式可得：（6－6）式（6－5）和式（6－6）即為兩共軸無限長均勻帶電圓柱體間靜電場中任意點P的電勢Ur與該點距軸心的距離的函數(shù)關系式。三、圓柱形電容器的模擬場對圓柱形電容器，當其圓柱的高度h>>rb時,可將其視為兩共軸無限長均勻帶電圓柱體。兩圓柱體間的電勢分布規(guī)律仍如式（6－6）的函數(shù)關系，由此關系式可知，在兩圓柱體間的任意位置，只要r相等，其對應的電勢值均相等?？梢?，以r為半徑的圓柱面上的電勢處處相等，因此，任一截面的電勢及電場分布的規(guī)律均相等，只要模擬一個截面的電勢分布，即可反映整個圓柱體間的電勢及電場分布情況。電源檔測量檔模擬裝置可設計為如圖6－2所示的結構。A、B電極分別為高度h≈8mm的銅質(zhì)圓柱體及圓環(huán)，利用自來水作為兩電極間的導電介質(zhì)；為電源檔，即穩(wěn)定的正弦交流電源。由于水在穩(wěn)恒的直流電流場中會產(chǎn)生極化現(xiàn)象，從而在模擬場出現(xiàn)一附加電場，與模擬場的原型不符，使描繪出的等勢線產(chǎn)生較大的偏差。而水在正弦交流電流場中不會產(chǎn)生極化，而穩(wěn)定的正弦交流電源的電壓、電流有效值是穩(wěn)定的，由此建立的場是穩(wěn)恒的電流場，其等位線與被描繪的靜電場的等位線能夠完全相似，故本實驗的工作電源改用穩(wěn)定的正弦交流電源。因為正弦交流電源對水不產(chǎn)生電解，且正弦交流電源的電壓、電流有效值等效于直流電的電壓和電流值，所以只要采用穩(wěn)定的正弦交流電源，當實驗中水溫基本不變時，通過水中的交流電流有效值可視為穩(wěn)定的，由此建立的場可視為穩(wěn)恒的電流場，其等位線與被描繪的靜電場的等位線必定相似，實驗也證實了這一點；圖中，為測量檔，即交流毫伏表，用來測定等勢線，由于其內(nèi)阻(大于2MΩ)遠遠大于A、B電極間的電阻值，故電表內(nèi)阻引入的系統(tǒng)誤差完全可略。電源檔測量檔設A電極相對于B電極的電勢值為U0，A、B間介質(zhì)（水）的等效電阻為R，流經(jīng)介質(zhì)的電流有效值為I，則根據(jù)歐姆定律可得：(6－7)當水為均勻時，由于模擬裝置的對稱性，則I又可表示為（6－8）式中，h為水的厚度，r為測量點P離A電極軸心的距離，j為通過高為h,半徑為r的圓柱面的電流密度（有效值）。當電流場空間充滿均勻的電導率為σ的不良導體時，不良導體內(nèi)的電場強度與電流密度矢量之間遵循歐姆定律，故根據(jù)歐姆定律的微分形式，有(6－9)式中，σ為介質(zhì)的電導率。聯(lián)解式（6－7）、式（6－8）及式(6－9)可得：（6－10）式中，=常量。因為U0及R在實驗過程中是保持不變的，因此上式是恒定電流場的場強分布表示式，與上述圓柱形電容器中的靜電場強分布關系式（6－2）完全相似。場強的分布確定后，模擬場中各點的電勢可根據(jù)下式確定(6－11)式中積分常數(shù)由電極的形狀即邊界條件確定。當時，取，則有：，即，代入式（6－11）可得：（6－12）當時，時由（6－12）可得（6－13）將式（6－12）除以式（6－13）可得（6－14）或?qū)懗桑?－15）式(6-15)與式(6－6)完全一致?？梢姡瑘A柱形電容器中靜電場的電力線和等勢線與模擬模型的電流場的電流線和等勢線具有完全相似的分布，故可用上述的模擬模型來模擬圓柱形電容器中的電勢分布，從而描繪出靜電場的分布。歸納以上的討論可知，電流場模擬靜電場的條件為：1.電流場所用的電極系統(tǒng)應與被模擬的靜電場的電極系統(tǒng)的幾何形狀相似。2.穩(wěn)恒電流場中的導電物質(zhì)應是不良導體，且電阻率分布均勻。3.模擬場所用的電極系統(tǒng)應與被模擬的靜電場的電極系統(tǒng)的邊界條件相同。四、實驗裝置及測繪方法實驗裝置如圖6－3所示，左邊分為上、下兩層，模擬模型安裝在有機玻璃制成的水槽里并置以底層，上層放置記錄紙。記錄紙由兩張坐標紙（用其背面）和一張復寫紙疊加而成，安裝時將復寫紙夾于兩張坐標紙中，再置于記錄平臺上并用記錄紙壓緊裝置固定好。等臂記錄儀的兩根探針通過兩銅質(zhì)彈板固定于同一個手柄座上。一根探針置于作為導電介質(zhì)的水中，另一根置于記錄紙上方，兩根探針始終保持在統(tǒng)一鉛垂線上。移動手柄座時，可保證兩探針的運動軌跡是一樣的。實驗時，由水中的探針找到待測電勢值對應的點后，按壓記錄紙上的探針，即可利用復寫紙在坐標紙上留下測量點的記號，從而描繪出等勢線，再根據(jù)電力線與等勢線正交原理，畫出電力線。這樣就可由等勢線的間距、電力線的疏密和指向，將抽象的電場形象地反映出來。[實驗內(nèi)容與要求]利用模擬法描繪圓柱形電容器中等勢線的分布。要求：1.按表6－1的要求，用游標尺測出A極的直徑。然后，按圖6－2連接好電路。2.在圓柱形電容器等勢線的模擬模型中裝入自來水（電容器內(nèi)外都得充滿水，但水的高度不能漫過電極上表面）。然后，在靜電場描繪儀的記錄平臺上安裝好記錄紙。3.接通靜電場描繪儀電源（f=1KHZ的正弦交流電源）并調(diào)節(jié)其輸出電壓值，使得A、B電極間的電壓值U0=10.00V（用交流毫伏表測出）。再利用等臂記錄儀裝置，分別測繪出電勢值為1.00V、2.00V、3.00V、4.00V、5.00V、6.00V等六條等勢線。每條等勢線至少要有分布較為均勻的六個等勢點，并作好記號。4.根據(jù)測繪的各等勢點的記錄圖，利用幾何方法，確定出各等勢線的共同圓心O，再利用游標尺測出各等勢點至O點的距離，求出值；以為半徑，畫出相應的等勢圓，并在各等勢圓上標注其相應的、值；再按電極半徑的實際尺寸，畫出A、B電極，然后畫出八條對稱的電力線。5.根據(jù)式（6－15），令、作出Y～X圖線，應得到一條直線（否則應重新測繪），求出直線的斜率b和截距a，按求出實驗得到的B電極、A電極半徑，與用游標尺測出的B電極、A電極半徑比較，判斷本次實驗的準確程度。[問題]1.本實驗的模擬模型中的導電介質(zhì)為何選用水而不用導電紙?2.本實驗為何選用正弦交流穩(wěn)壓電源來建立穩(wěn)恒電流場而不用直流穩(wěn)壓電源?3.如何由測繪的各等勢點的記錄圖,推算出A電極和B電極的半徑?本實驗如何估算實驗的準確程度?4.在圓柱形電容器中靜電場的模擬實驗中,若圖線為直線，說明了什么？為什么？[附]測量舉例[數(shù)據(jù)記錄]組別：№17一、電極參量及測量數(shù)據(jù)記錄B電極內(nèi)半徑：表6－1：A電極半徑測量記錄。游標尺精度：0.02；零點讀數(shù)值0.00；單位：n123456(讀數(shù)值)10.0010.0210.0010.0010.0210.00（測量值）10.0010.0210.0010.0010.0210.005.0035.005.015.005.005.015.00注：－零點讀數(shù)二、位線半徑測量記錄毫伏表量程：、準確度等級：表6－2取AB電極間的電壓有效值：U0=10.00V(ri用游標卡尺測量)(mm)Ur1234561.0039.1639.9439.1839.9039.6039.3239.5172.0031.4831.1031.1631.8231.6231.6031.4633.0024.4824.9624.5224.9625.0024.6224.7574.0019.1019.9419.7419.8419.8019.5019.6535.0015.1015.2015.7015.9215.5815.3215.476.0012.2612.5012.6012.3012.1612.9012.453[數(shù)據(jù)處理]一、的換算表6－3(mm)39.51731.46324.75719.65315.4712.4533.67673.44883.20912.97822.73892.5220Ur(V)1.002.003.004.005.006.000.1000.2000.3000.4000.5000.600Y～X圖線如下圖，在直線上取“1”、“2”、“3”點，其坐標值分別為（0.120，3.630）、（0.540，2.650）、（0.270，3.280），用其計算直線的斜率和截距，可得：(注：Y～X圖線必須用坐標紙畫；“1”、“2(0.120,3.630)(0.270,3.280