PAGEPAGE1廣東省廣州市荔灣區(qū)2024屆高三上學(xué)期十月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，則或，解得或或，當(dāng)或時，此時集合不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，，滿足，符合題意.故選：A.2.已知、為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椤閷?shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，所以，關(guān)于的方程的兩個虛根分別為、，由韋達(dá)定理可得，可得，，解得，故.故選：B.3.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即對任意的恒成立，所以，，所以，，解得，.故選：D.4.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.則在被調(diào)查的用戶中，月用電量的第71百分位數(shù)為（）A.205 B.215 C.225 D.235【答案】C【解析】，解得，在這組數(shù)據(jù)中對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，所以這組數(shù)據(jù)第71百分位數(shù)在中，設(shè)第71百分位數(shù)為，則，解得.故選：C.5.已知是鈍角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，等式兩邊平方可得，所以，，又因?yàn)槭氢g角，則，因此，.故選：D.6.從橢圓上一點(diǎn)（在軸上方）向軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，其中，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，即點(diǎn)，由題意可知點(diǎn)、，因?yàn)?，則，即，整理可得，則，所以，.故選：B.7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由可得，整理可得，解得，，所以，，則，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，.故選：A.8.已知函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠜]有零點(diǎn)，則，當(dāng)時，，則，又由正弦線可知，當(dāng)時，，所以恒成立，故滿足題意；當(dāng)時，因?yàn)?，因?yàn)?，，則，當(dāng)時，，，所以當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，則在上至少有一零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，令，得或，不妨設(shè)，使得，顯然，所以當(dāng)，即時，；當(dāng)或，即或時，，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則，又，所以要使在沒有零點(diǎn)，只需即可，則，解得，故；綜上：，即的取值范圍為.故選：D.二、選擇題9.過所在平面外一點(diǎn)，作平面，垂足為，連接、、.下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)是的重心B.若點(diǎn)到三條邊的距離相等，則點(diǎn)是的內(nèi)心C.若，，，則點(diǎn)是的垂心D.若、、與平面所成的角均相等，則點(diǎn)是的外心【答案】BCD【解析】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，因?yàn)?，則，所以，，所以，點(diǎn)是的外心，A錯；對于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接、、，因?yàn)槠矫?，、平面，則，，又因?yàn)椋?、平面，所以，平面，又因平面，所以，，所以，，同理可知，，，且，，由題意，，所以，，此時，為的內(nèi)心，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，又因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，同理可證，，，此時，為的垂心，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，則、、與平面所成的角分別為、、，由題意可知，，所以，，即，所以，點(diǎn)是的外心，D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由圖可知，，可得，所以，，又因?yàn)椋瑒t，函數(shù)在附近單調(diào)遞減，所以，，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，，即，解得，因?yàn)椋瑒t，，所以，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，A錯，C錯，，B對；，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，D對.故選：BD.11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.該表蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律，下列結(jié)論正確的是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………A.B.，，，C.從左往右逐行數(shù)，第項(xiàng)在第行第個D.第行到第行的所有數(shù)字之和為【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，由組合數(shù)的計算性質(zhì)，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，，B錯；對于C選項(xiàng)，第行共有項(xiàng)，從左往右逐行數(shù)，第行最后一項(xiàng)對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)?，且，所以，從左往右逐行?shù)，第項(xiàng)在第行第個，C對；對于D選項(xiàng)，第行所有項(xiàng)之和為，所以，第行到第行的所有數(shù)字之和為，D錯.故選：AC12.已知過點(diǎn)，傾斜角為的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）.過線段的中點(diǎn)作平行于軸的直線，分別與拋物線和其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)、.則下列說法正確的是（）A. B.C. D.直線與拋物線相切【答案】ABD【解析】由題意可知，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，，則，故點(diǎn)，所以，直線的方程為，由可得，即點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，點(diǎn)，易知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，，A對；，，所以，，即，所以，，B對；解方程可得，，所以，，即點(diǎn)，，即點(diǎn)，所以，，C錯；，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立直線和拋物線的方程得，可得，，所以，直線與拋物線相切，D對.故選：ABD.三、填空題13.已知向量、滿足，，與的夾角為，則______.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?、滿足，，與的夾角為，則.故答案為：.14.已知直線l：與：交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“為直角三角形”的一個圓心C的坐標(biāo)______.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離等于，又圓心到直線的距離為，，化簡得，或，取，，所以為直角三角形的一個圓心坐標(biāo)為.故答案為：.15.如圖，一個圓錐形容器中盛有水，圓錐的高PO為2.若底面水平放置時，水面高恰為1.那么當(dāng)該容器倒置時，水面高為______.【答案】【解析】設(shè)圓錐形容器的底面半徑為，底面水平放置時，上底面的半徑為，因?yàn)閳A錐的高PO為2.若底面水平放置時，水面高恰為1，所以，設(shè)圓錐形容器中盛有水的體積為，所以有，當(dāng)該容器倒置時，設(shè)水面高為，這時小圓錐的底面半徑為，所以有，由，故答案為：16.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.【答案】【解析】因?yàn)?，，則，且，則，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得，，，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得.故答案為：；.四、解答題17.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.（1）解：因?yàn)?，，所以可得：，?dāng)時，由，得，因此數(shù)列從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值2，所以；（2）證明：因?yàn)?，所以，?dāng)時，，所以，即.18.在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點(diǎn).（1）求、的長；（2）求的余弦值.（1）解：因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，則，故.（2）解：因?yàn)?，所以?9.某專營店統(tǒng)計了最近天到該店購物的人數(shù)和時間第天之間的數(shù)據(jù)，列表如下：（1）由表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關(guān)系？（若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計算時精確到）（2）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿元可減元；方案二，購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折.某顧客計劃在此專營店購買一件價值元的商品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選哪種方案更優(yōu)惠？參考數(shù)據(jù)：.附：相關(guān)系數(shù).（1）解：，，所以，，，，所以，，所以，與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，故可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關(guān)系.（2）解：設(shè)方案一的實(shí)際付款金額為元，方案二的實(shí)際付款金額為元，由題意可知，（元），的可能取值有、、、，，，，，所以，，所以，方案二更優(yōu)惠.20.如圖，在四面體中，平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，.（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角為直二面角，求實(shí)數(shù)的值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，，又因?yàn)?，即，所以，，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫妫势矫?（2）解：因?yàn)?，則為等邊三角形，又因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立如下所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，易知平面的一個法向量為，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵瑒t，即，解得.21.已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為，的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、（、在軸右側(cè)），在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)恒在一條直線上.（1）解：由題意可得，整理可得.所以，曲線方程為.（