第1頁（共1頁）2025年黑龍江省大慶市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求。1．（3分）（2025?大慶）﹣2025的絕對值是（）A．2025 B．12025 C．﹣2025 D．2．（3分）（2025?大慶）某學校開展了“共走平安路”交通安全主題教育活動．以下交通標識圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?大慶）近年來我國電影行業(yè)發(fā)展迅速，電影《哪吒之魔童鬧?！凤L靡全球．據(jù)統(tǒng)計，截至2025年5月底，其票房達到約150億元．數(shù)科學記數(shù)法表示為（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×1094．（3分）（2025?大慶）由若干大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖為（）A． B． C． D．5．（3分）（2025?大慶）一個圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（）A．4π B．6π C．12π D．18π6．（3分）（2025?大慶）下列說法正確的是（）A．調查某種燈泡的使用壽命最適合采用普查的方式 B．64的平方根為8 C．若一個正多邊形的每個內角都是108°，那么這個多邊形是正五邊形 D．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2=0.17．（3分）（2025?大慶）如圖，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°．將△ABC繞點A順時針旋轉120°得到△ADE，點B，點C的對應點分別為點D，點E連接CE，點D恰好落在線段CE上，則CD的長為（）A．23 B．4 C．328．（3分）（2025?大慶）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，反比例函數(shù)y=2x(x＞0)與正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象交于點A．將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移32個單位后得到的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=2x(x＞0)的圖象交于點C．過點C作x軸的垂線，與x軸交于點D．線段CD與OA交于點EA．13 B．1 C．129．（3分）（2025?大慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20cm．動點P從點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向點B運動，動點H從點B開始沿BA邊以2cm/s的速度向點A運動，動點Q從點C開始沿CD邊以4cm/s的速度向點D運動．點P，點H和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另兩點也隨之停止運動．設動點的運動時間為ts，當QP＝QH時，t的值為（）A．52 B．4 C．103 10．（3分）（2025?大慶）如圖，在正方形ABCD中，AB=32，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BC上，AE=CF=2，連接EF，AC．過點E，F(xiàn)分別作線段AC的垂線，垂足分別為G，H．動點P在△ACD內部及邊界上運動，四邊形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面積分別為S0，S1，S2，S3，S4，若點P在運動中始終滿足3S0＝S1+S2+S3+S4，則滿足條件的所有點A．2 B．32π C．4 二、填空題：本題8小題，每小題3分，共24分。不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上。11．（3分）（2025?大慶）函數(shù)y=x?1的自變量x的取值范圍是12．（3分）（2025?大慶）因式分解：x2﹣x＝．13．（3分）（2025?大慶）寫出一個圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大的一次函數(shù)表達式．14．（3分）（2025?大慶）不等式組12x?1＜7?315．（3分）（2025?大慶）2025年國產AI大模型的爆火，引發(fā)了全球科技界的廣泛關注．若小慶同學從“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢AI”、“文心一言”四種應用軟件中隨機選取兩種進行學習，則小慶同學選取的兩種軟件為“豆包”和“騰訊元寶”的概率為．16．（3分）（2025?大慶）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分別截取AM，AN，使AM＝AN．分別以M，N為圓心、以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點F．作射線AF交BC于點D，則點D到AC的距離為17．（3分）（2025?大慶）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝1．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點A為圓心，以AD為半徑順時針作弧DE交BA的延長線于點E，得到扇形DAE；第二次操作以點B為圓心，以BE為半徑順時針作弧EF交CB的延長線于點F，得到扇形EBF；第三次操作以點C為圓心，以CF為半徑順時針作弧FG交DC的延長線于點G，得到扇形FCG，依此類推進行操作，其中DE，EF，F(xiàn)G，GH，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線DEFGH…叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為18．（3分）（2025?大慶）定義：若點A（m，n），點A1（﹣m，﹣n）都在同一函數(shù)圖象上，則稱點A和點A1為該函數(shù)的一組“奇對稱點對”，記為[A，A1]．規(guī)定：[A，A1]與[A1，A]為同一組“奇對稱點對”．例如：點B（1，2）和點B1（﹣1，﹣2）都在一次函數(shù)y＝2x的圖象上，則點B和點B1為一次函數(shù)y＝2x的一組“奇對稱點對”，記為[B，B1]．下列說法正確的序號為．①點A（1，1），點A1（﹣1，﹣1），則點A和點A1為二次函數(shù)y＝x2+x﹣1的一組“奇對稱點對”；②反比例函數(shù)y=1③點C（1，2），點C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]為函數(shù)y＝ax2+bx﹣1的一組“奇對稱點對”，則a＝2，b＝2；④由函數(shù)y＝﹣x在x＜0范圍內的圖象與函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范圍內的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，將該圖象所對應的函數(shù)記為w函數(shù)，其解析式可寫為y=?x(x＜0)?x2+2x?k(x≥0)．若w三、解答題：本題10小題，共66分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答應寫出必要的文字說明、計算過程、證明過程。19．（4分）（2025?大慶）求值：4?20220．（4分）（2025?大慶）先化簡，再求值：(1?1x?1)÷21．（5分）（2025?大慶）某公司開發(fā)了兩款AI模型，分別為模型A和模型B．由于工作需要，公司同時使用這兩款模型處理數(shù)據(jù)．已知模型B比模型A每小時多處理10GB數(shù)據(jù)，模型B處理300GB數(shù)據(jù)的時間與模型A處理200GB數(shù)據(jù)的時間相同，求模型A每小時能處理多少GB數(shù)據(jù)？（備注：GB為數(shù)據(jù)的存儲單位）22．（6分）（2025?大慶）數(shù)學綜合實踐活動中，兩個興趣小組要合作測量樓房高度BC．如圖，第一小組用無人機在離地面40米高的點D處，測得地面上一點A的俯角為45度，測得樓頂C處的俯角為30度（點A，B，C，D都在同一平面內，無人機在點A和樓房之間的點D處測量）；第二小組人工測量得到點A和大樓之間的水平距離AB＝70米．請根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出樓房高度．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7323．（7分）（2025?大慶）開展航空航天教育對提升青少年的科學素養(yǎng)有重要的意義．某學校對學生進行了航空航天科普教育并組織全校學生參加航空航天知識競賽，每個學生回答10道問題，每題10分．賽后發(fā)現(xiàn)所有學生知識競賽成績不低于70分．為了更好地了解本次知識競賽的成績分布情況，從所有學生答題成績中隨機抽取部分學生答題成績作為樣本進行整理，繪制條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）①此次抽查的學生總數(shù)為；②請補全抽取的學生成績條形統(tǒng)計圖；③條形統(tǒng)計圖中學生競賽成績得分的眾數(shù)為分；（2）在扇形統(tǒng)計圖中：m＝，得分為“100分”這一項所對應的圓心角是度；（3）已知該校共有3000名學生，請估計該校得分不低于90分的學生有多少名？24．（7分）（2025?大慶）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點O．點B，點D關于AC所在直線對稱．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作BC的垂線交BC延長線于點E．若CE＝3，AD＝5，求線段OC長．25．（7分）（2025?大慶）為推進我市“紅色研學”文化旅游發(fā)展，大慶博物館新推出A，B兩種文創(chuàng)紀念品．已知2個A紀念品和3個B紀念品的成本和是155元；4個A紀念品和1個B紀念品的成本和是135元．一套紀念品由一個A紀念品和一個B紀念品組成．規(guī)定：每套紀念品的售價不低于65元且不高于72元（每套售價為整數(shù)）．如果每套紀念品的售價為72元，那么每天可銷售80套．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每套紀念品的售價每降價1元，其銷售量相應增加10套．設每天的利潤為W（元），每套紀念品的售價為a元（65≤a≤72且a為整數(shù)）．（1）分別求出每個A紀念品和每個B紀念品的成本；（2）求當a為何值時，每天的利潤W最大．26．（8分）（2025?大慶）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，OA＝2，點B在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，△OBA為等邊三角形，延長BO與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第三象限交于點C，連接CA（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求點D的坐標及△OAD的面積；（3）在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．27．（9分）（2025?大慶）如圖，DE為△ADE外接圓⊙O的直徑，點C為線段DO上一點（不與D，O重合），點B為OD的延長線上一點，連接BA并延長至點M，滿足∠CAE＝∠MAE．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）證明：OE2＝OB?OC；（3）若射線BM與⊙O相切于點A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．28．（9分）（2025?大慶）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的對稱軸為y軸，且過坐標原點O及點A(23，3)，過點A作射線AM平行于y軸（點M在點A上方），點F坐標為（0，1），連接AF并延長交拋物線于點E，射線AB平分∠FAM，過點A作AB的垂線l交y軸于點（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）判斷直線l與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的公共點的個數(shù)，并說明理由；（3）點P（m，0）為x軸上的一個動點，且∠APE為鈍角，請直接寫出實數(shù)m的取值范圍．

2025年黑龍江省大慶市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADB．DBCBCDA一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求。1．（3分）（2025?大慶）﹣2025的絕對值是（）A．2025 B．12025 C．﹣2025 D．【考點】絕對值．【分析】根據(jù)絕對值的定義即可解決問題．【解答】解：由題知，﹣2025的絕對值是2025．故選：A．【點評】本題主要考查了絕對值，熟知絕對值的定義是解題的關鍵．2．（3分）（2025?大慶）某學校開展了“共走平安路”交通安全主題教育活動．以下交通標識圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．3．（3分）（2025?大慶）近年來我國電影行業(yè)發(fā)展迅速，電影《哪吒之魔童鬧海》風靡全球．據(jù)統(tǒng)計，截至2025年5月底，其票房達到約150億元．數(shù)科學記數(shù)法表示為（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×109【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解1.5×1010．故選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2025?大慶）由若干大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)簡單組合體三視圖的畫法，畫出它的主視圖即可．【解答】解：這個組合體的主視圖為：故選：D．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單組合體三視圖的畫法是正確解答的關鍵．5．（3分）（2025?大慶）一個圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（）A．4π B．6π C．12π D．18π【考點】圓錐的體積．【分析】根據(jù)圓錐的體積=13×【解答】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為2，∴它的體積=1故選：B．【點評】本題考查圓錐的體積，掌握圓錐的體積公式是解題的關鍵．6．（3分）（2025?大慶）下列說法正確的是（）A．調查某種燈泡的使用壽命最適合采用普查的方式 B．64的平方根為8 C．若一個正多邊形的每個內角都是108°，那么這個多邊形是正五邊形 D．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2=0.1【考點】方差；平方根；多邊形內角與外角；全面調查與抽樣調查；算術平均數(shù)．【分析】根據(jù)普查與抽樣調查，平方根，多邊形的內角和與外角和，方差的意義，逐項分析判斷即可求解．【解答】解：A、調查某種燈泡的使用壽命，具有破壞性，其范圍廣，最適宜采用抽樣調查的方式，故原說法不正確，該選項不符合題意；B、64的平方根為±8，故原說法不正確，該選項不符合題意；C、∵多邊形的每一個內角都是108°，∴每一個外角都是180°﹣108°＝72°，∵多邊形的外角和為360°，∴這個多邊形的邊數(shù)為360°÷72°＝5，那么這個多邊形是正五邊形，故原說法正確，該選項符合題意；D、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2=0.10.1＜0.5，則甲的成績較穩(wěn)定，故原說法不正確，該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了普查與抽樣調查，平方根，多邊形的內角和與外角和，方差的意義，掌握數(shù)據(jù)分析能力是解題的關鍵．7．（3分）（2025?大慶）如圖，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°．將△ABC繞點A順時針旋轉120°得到△ADE，點B，點C的對應點分別為點D，點E連接CE，點D恰好落在線段CE上，則CD的長為（）A．23 B．4 C．32【考點】旋轉的性質；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形．【分析】由等腰三角形的性質得∠BAC＝30°；再由旋轉的性質得∠CAD＝90°，AD＝AB＝2，∠ADE＝120°，從而得∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，故可得CD＝2AD，從而可求出結論．【解答】解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC=1由旋轉可知∠BAD＝120°，∴∠CAD＝90°，由旋轉得：AD＝AB＝2，∠ADE＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝2AD＝2×2＝4，故選：B．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，直角三角形的性質以及旋轉的性質，掌握以上性質是解題的關鍵．8．（3分）（2025?大慶）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，反比例函數(shù)y=2x(x＞0)與正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象交于點A．將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移32個單位后得到的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=2x(x＞0)的圖象交于點C．過點C作x軸的垂線，與x軸交于點D．線段CD與OA交于點EA．13 B．1 C．12【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】令點A坐標為（m，2m），結合點E為OA的中點，用m表示出點E的橫坐標，進一步用m表示出點C的坐標，再將A，C【解答】解：由題知，令點A坐標為（m，2m因為點E為OA的中點，所以點E的橫坐標為m2因為CD⊥x軸，所以點C的橫坐標為m2則點C坐標可表示為（m2將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移32個單位后，所得直線的函數(shù)解析式為y=kx+將點A和點C坐標分別代入y＝kx和y＝kx+3mk=2m，則8m解得m＝2，經(jīng)檢驗m＝2是原方程的解，且符合題意，則2k＝1，解得k=1故選：C．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．9．（3分）（2025?大慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20cm．動點P從點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向點B運動，動點H從點B開始沿BA邊以2cm/s的速度向點A運動，動點Q從點C開始沿CD邊以4cm/s的速度向點D運動．點P，點H和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另兩點也隨之停止運動．設動點的運動時間為ts，當QP＝QH時，t的值為（）A．52 B．4 C．103 【考點】矩形的性質．【分析】由題意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，求得PH＝20﹣3t，根據(jù)等腰三角形的性質得到PE=10?32t，再利用CQ【解答】解：作QE⊥AB于點E，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形BCQE是矩形，∴CQ＝BE，由題意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t，∵QP＝QH，QE⊥AB，∴PE=HE=1∵CQ＝BE，∴4t=10?3解得t=20故選：D．【點評】本題考查了矩形的判定和性質，等腰三角形的性質，掌握以上性質是解題的關鍵．10．（3分）（2025?大慶）如圖，在正方形ABCD中，AB=32，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BC上，AE=CF=2，連接EF，AC．過點E，F(xiàn)分別作線段AC的垂線，垂足分別為G，H．動點P在△ACD內部及邊界上運動，四邊形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面積分別為S0，S1，S2，S3，S4，若點P在運動中始終滿足3S0＝S1+S2+S3+S4，則滿足條件的所有點A．2 B．32π C．4 【考點】正方形的性質；三角形的面積．【分析】由正方形的性質得AC＝6，AG＝CH＝1，求出GE＝1，GH＝4，求出S0＝4，根據(jù)圖形得S1+S2+S3＝S0+S4，根據(jù)3S0＝S1+S2+S3+S4，得S4＝4，可得點P的運動軌跡是△ACD中平行于AC的一條線段MN，取AC的中點O，連接OD交MN于點Q，根據(jù)三角形面積公式求出OQ＝2，得到DQ＝1，從而求出MN＝2．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝32，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AC=2AB∵EG⊥AC，F(xiàn)H⊥AC，∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°，∴∠AEG＝∠HFC＝45°，∴△AGE，△HFC為等腰直角三角形，∴AG＝GE，HC＝HF，∵AE＝CF=2由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝1，BE＝BF，GH＝AC﹣AG﹣CH＝4，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵∠EGH＝∠FHG＝90°，∴四邊形GEFH是矩形，∴S0＝EG?GH＝1×4＝4，∵S1+S2+S3＝S0+S4，3S0＝S1+S2+S3+S4，∴S4＝4，∵動點P在△ACD內部及邊界上運動，∴點P的運動軌跡是△ACD內部及邊界上平行于AC的一條線段MN，則△DMN是等腰直角三角形，如圖，取AC的中點O，連接OD交MN于點Q，則DO=12∵S4=12×GH?OQ∴OQ＝2，∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣2＝1，∴MN＝2，即點P組成的圖形長度為2，故選：A．【點評】本題主要考查正方形的性質，勾股定理以及點的軌跡，解決本題的關鍵是得到點P的運動軌跡．二、填空題：本題8小題，每小題3分，共24分。不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上。11．（3分）（2025?大慶）函數(shù)y=x?1的自變量x的取值范圍是x≥1【考點】函數(shù)自變量的取值范圍．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為x≥1．【點評】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．12．（3分）（2025?大慶）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）．【考點】因式分解﹣提公因式法．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．故答案為：x（x﹣1）．【點評】本題主要考查提公因式法分解因式，準確找出公因式是解題的關鍵．13．（3分）（2025?大慶）寫出一個圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大的一次函數(shù)表達式y(tǒng)＝x+1（答案不唯一）．【考點】兩條直線相交或平行問題；一次函數(shù)的性質．【分析】寫出一個k＞0，b＞0的一次函數(shù)即可．【解答】解：∵函數(shù)圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大，∴y＝x+1，故答案為：y＝x+1（答案不唯一）．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質，掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．14．（3分）（2025?大慶）不等式組12x?1＜7?3【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】先求出一元一次不等式組的解集，再得出整數(shù)解的個數(shù)．【解答】解：12由①得：x﹣2＜14﹣3x，x＜4，由②得：3x﹣5＞2x﹣4，x＞1，∴1＜x＜4，∴整數(shù)解為2，3，共2個，故答案為：2．【點評】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．15．（3分）（2025?大慶）2025年國產AI大模型的爆火，引發(fā)了全球科技界的廣泛關注．若小慶同學從“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢AI”、“文心一言”四種應用軟件中隨機選取兩種進行學習，則小慶同學選取的兩種軟件為“豆包”和“騰訊元寶”的概率為16【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】根據(jù)題意記“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢Al''、“文心一言”分別用字母A，B，C，D表示，列出表格表示出所有等可能的結果，再找出恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的結果，再根據(jù)概率公式計算即可．【解答】解：記“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢A′”、“文心一言”分別用字母A，B，C，D表示，根據(jù)題意可列出表格如下：ABCDA一（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）一（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）一（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）一由表可知，共有12種等可能的結果，其中恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的有2種結果，小慶同學恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的概率為212故答案為：16【點評】本題考查列表法或畫樹狀圖求概率，掌握概率公式是解題的關鍵．16．（3分）（2025?大慶）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分別截取AM，AN，使AM＝AN．分別以M，N為圓心、以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點F．作射線AF交BC于點D，則點D到AC的距離為2【考點】作圖—基本作圖；含30度角的直角三角形．【分析】先利用基本作圖得到∠BAD＝30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關系得到BD=33AB【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝30°，∴BD=33AB∵AD平分∠BAC，∴點D到AB、AC的距離相等，而點D到AB的距離為23∴點D到AC的距離為23故答案為：23【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了含30度角的直角三角形三邊的關系和角平分線的性質．17．（3分）（2025?大慶）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝1．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點A為圓心，以AD為半徑順時針作弧DE交BA的延長線于點E，得到扇形DAE；第二次操作以點B為圓心，以BE為半徑順時針作弧EF交CB的延長線于點F，得到扇形EBF；第三次操作以點C為圓心，以CF為半徑順時針作弧FG交DC的延長線于點G，得到扇形FCG，依此類推進行操作，其中DE，EF，F(xiàn)G，GH，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線DEFGH…叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為152【考點】扇形面積的計算；正方形的性質；弧長的計算．【分析】先根據(jù)正方形的性質以及操作過程確定每次操作所得扇形的半徑和圓心角，再根據(jù)扇形面積公式分別計算出四個扇形的面積，最后將它們相加得到面積和．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝1，∴第一次操作（扇形DAE），以點A為圓心，以AD為半徑，∵AD＝1，圓心角n＝90°，∴S1=90π×1第二次操作（扇形EBF），以點B為圓心，以BE為半徑，∵BE＝2，圓心角n＝90°，∴S2=90π×2第三次操作（扇形FCG），點C為圓心，以CF為半徑，∵CF＝3，圓心角n＝90°，∴S3=90π×第四次操作（扇形GDH），點D為圓心，以DG為半徑，∵DG＝4，圓心角n＝90°，∴S4=90π×42∴S1+S2+S3+S4=14π+π+94π+4故答案為：152π【點評】本題考查了正方形的性質，扇形的面積，求得每次操作時的圓心角以及半徑是解題的關鍵．18．（3分）（2025?大慶）定義：若點A（m，n），點A1（﹣m，﹣n）都在同一函數(shù)圖象上，則稱點A和點A1為該函數(shù)的一組“奇對稱點對”，記為[A，A1]．規(guī)定：[A，A1]與[A1，A]為同一組“奇對稱點對”．例如：點B（1，2）和點B1（﹣1，﹣2）都在一次函數(shù)y＝2x的圖象上，則點B和點B1為一次函數(shù)y＝2x的一組“奇對稱點對”，記為[B，B1]．下列說法正確的序號為①②④．．①點A（1，1），點A1（﹣1，﹣1），則點A和點A1為二次函數(shù)y＝x2+x﹣1的一組“奇對稱點對”；②反比例函數(shù)y=1③點C（1，2），點C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]為函數(shù)y＝ax2+bx﹣1的一組“奇對稱點對”，則a＝2，b＝2；④由函數(shù)y＝﹣x在x＜0范圍內的圖象與函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范圍內的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，將該圖象所對應的函數(shù)記為w函數(shù)，其解析式可寫為y=?x(x＜0)?x2+2x?k(x≥0)．若w【考點】二次函數(shù)的性質；根的判別式．【分析】根據(jù)點A（1，1），點A1（﹣1，﹣1）都在二次函數(shù)y＝x2+x﹣1上，可判斷①；由B(a，1a)，B1(?a，?1a根據(jù)定義，將點代入，可判斷③；不妨設C和C是w函數(shù)的一組“奇對稱點對”，即C和C1在w函數(shù)上，假設C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，將C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，然后結合一元二次方程的判別式求得答案．【解答】解：①將x＝1代入y＝x2+x﹣1，得到y(tǒng)＝1+1﹣1＝1；將x＝﹣1代入y＝x2+x﹣1，得到y(tǒng)＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1；可知點A（1，1），點A1（﹣1，﹣1）都在二次函數(shù)y＝x2+x﹣1上，那么點A和點A1為二次函數(shù)y＝x2+x﹣1的一組“奇對稱點對”；故①正確；②當x＝a（a≠0）代入y=1x，得到當x＝﹣a代入y=1x，可得∴B(a，1a)，B∴B(a，1a)，B∵a可以取無數(shù)個不為0的數(shù)，∴反比例函數(shù)y=1x有無數(shù)組“奇對稱點對”；故③∵點C（1，2），點C1（﹣1，﹣2），[C，C1]為函數(shù)y＝ax2+bx﹣1的一組“奇對稱點對”，∴點C（1，2），點C1（﹣1，﹣2）都在函數(shù)y＝ax2+bx﹣1上，∴2=a+b?1?2=a?b?1∴③錯誤；④不妨設C和C是函數(shù)的一組“奇對稱點對”，即C和C1在w函數(shù)上，假設C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，將C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，∴m2+3m+k＝0，∵y=?x(x＜0)∴m2+3m+k＝0有兩個不同的實數(shù)根m1，m2，∴32﹣4k＞0，m1?m2＞0，∴k＜9∴0＜k＜9∴④正確；故答案為：①②④．【點評】本題考查了“奇對稱點對”的定義，函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程的判別式，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．三、解答題：本題10小題，共66分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答應寫出必要的文字說明、計算過程、證明過程。19．（4分）（2025?大慶）求值：4?202【考點】實數(shù)的運算．【分析】先化簡，再計算即可．【解答】解：4＝2﹣1+=5【點評】本題考查了實數(shù)的運算，掌握運算法則是解題的關鍵．20．（4分）（2025?大慶）先化簡，再求值：(1?1x?1)÷【考點】分式的化簡求值．【分析】先化簡分式，再代入x的值計算即可．【解答】解：(1?=x?1?1=x?2＝x﹣1，當x＝3時，原式＝2．【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的化簡是解題的關鍵．21．（5分）（2025?大慶）某公司開發(fā)了兩款AI模型，分別為模型A和模型B．由于工作需要，公司同時使用這兩款模型處理數(shù)據(jù)．已知模型B比模型A每小時多處理10GB數(shù)據(jù)，模型B處理300GB數(shù)據(jù)的時間與模型A處理200GB數(shù)據(jù)的時間相同，求模型A每小時能處理多少GB數(shù)據(jù)？（備注：GB為數(shù)據(jù)的存儲單位）【考點】分式方程的應用．【分析】設模型A每小時能處理xGB數(shù)據(jù)，則模型B每小時能處理（x+10）GB數(shù)據(jù)，根據(jù)模型B處理300GB數(shù)據(jù)的時間與模型A處理200GB數(shù)據(jù)的時間相同，列出分式方程，解分式方程即可．【解答】解：設模型A每小時能處理xGB數(shù)據(jù)，則模型B每小時能處理（x+10）GB數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得：300x+10解得：x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝20+10＝30，答：模型A每小時能處理20GB數(shù)據(jù)，模型B每小時能處理30GB數(shù)據(jù)．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．22．（6分）（2025?大慶）數(shù)學綜合實踐活動中，兩個興趣小組要合作測量樓房高度BC．如圖，第一小組用無人機在離地面40米高的點D處，測得地面上一點A的俯角為45度，測得樓頂C處的俯角為30度（點A，B，C，D都在同一平面內，無人機在點A和樓房之間的點D處測量）；第二小組人工測量得到點A和大樓之間的水平距離AB＝70米．請根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出樓房高度．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【分析】延長BC交直線l于點F，過點A作AE⊥l，垂足為E，則BF⊥l，根據(jù)題意可得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，從而求出DF的長，再在Rt△CDF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：延長BC交直線l于點F，過點A作AE⊥l，垂足為E，則BF⊥l，由題意得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE=AE∴DF＝EF﹣DE＝70﹣40＝30（米），在Rt△CDF中，∠CDF＝30°，∴CF＝DF?tan30°＝30×33=∴BC＝BF﹣CF＝40﹣103≈∴樓房高度約為23米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．23．（7分）（2025?大慶）開展航空航天教育對提升青少年的科學素養(yǎng)有重要的意義．某學校對學生進行了航空航天科普教育并組織全校學生參加航空航天知識競賽，每個學生回答10道問題，每題10分．賽后發(fā)現(xiàn)所有學生知識競賽成績不低于70分．為了更好地了解本次知識競賽的成績分布情況，從所有學生答題成績中隨機抽取部分學生答題成績作為樣本進行整理，繪制條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）①此次抽查的學生總數(shù)為200人；②請補全抽取的學生成績條形統(tǒng)計圖；③條形統(tǒng)計圖中學生競賽成績得分的眾數(shù)為90分；（2）在扇形統(tǒng)計圖中：m＝144，得分為“100分”這一項所對應的圓心角是72度；（3）已知該校共有3000名學生，請估計該校得分不低于90分的學生有多少名？【考點】條形統(tǒng)計圖；眾數(shù)；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．【分析】（1）①從兩個統(tǒng)計圖可知，樣本中競賽成績?yōu)?00分的有40人，占被調查人數(shù)的20%，由頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)即可求出被調查人數(shù)；②求出樣本中競賽成績?yōu)?0分的學生人數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖；③根據(jù)眾數(shù)的定義進行解答即可；（2）求出樣本中，競賽成績?yōu)?0分的學生所占的百分比，即可求出相應的圓心角的度數(shù)，確定m的值；（3）樣本估計整體，求出樣本中得分不低于90分的學生所占的百分比，估計總體中得分不低于90分的學生所占的百分比，由頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)進行競賽即可．【解答】解：（1）①被調查的人數(shù)為：40÷20%＝200（人），故答案為：200；②200×25%＝50（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：③樣本中競賽成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，共出現(xiàn)80次，因此學生競賽成績的眾數(shù)是90分，故答案為：90；（2）80÷200×100%＝40%，即m＝40，360°×40故答案為：40，72；（3）3000×80+40答：該校3000名學生中得分不低于90分的學生大約有1800人．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖以及樣本估計總體，掌握頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)是正確解答的關鍵．24．（7分）（2025?大慶）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點O．點B，點D關于AC所在直線對稱．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作BC的垂線交BC延長線于點E．若CE＝3，AD＝5，求線段OC長．【考點】菱形的判定與性質；軸對稱的性質；勾股定理；平行四邊形的判定與性質．【分析】（1）證明△ABO≌△CDO（ASA），得AB＝CD，再證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論；（2）由菱形的性質得OC＝OA=12AC，AD＝BC＝CD＝5，則BE＝BC+CE＝8，再由勾股定理求出DE＝4，BD＝45，然后由菱形面積求出【解答】（1）證明：∵點B、點D關于AC所在直線對稱，∴BD⊥AC，BO＝DO，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDOBO=DO∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形ABCD是菱形，∴OC＝OA=12AC，AD＝BC＝∴BE＝BC+CE＝5+3＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，在Rt△CED中，由勾股定理得：DE=C在Rt△BED中，由勾股定理得：BD=BE2∵S菱形ABCD＝DE?BC，S菱形ABCD=12AC?BD＝OC?∴DE?BC＝OC?BD，∴OC=DE?BC【點評】本題考查了菱形的判定與性質、軸對稱的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．25．（7分）（2025?大慶）為推進我市“紅色研學”文化旅游發(fā)展，大慶博物館新推出A，B兩種文創(chuàng)紀念品．已知2個A紀念品和3個B紀念品的成本和是155元；4個A紀念品和1個B紀念品的成本和是135元．一套紀念品由一個A紀念品和一個B紀念品組成．規(guī)定：每套紀念品的售價不低于65元且不高于72元（每套售價為整數(shù)）．如果每套紀念品的售價為72元，那么每天可銷售80套．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每套紀念品的售價每降價1元，其銷售量相應增加10套．設每天的利潤為W（元），每套紀念品的售價為a元（65≤a≤72且a為整數(shù)）．（1）分別求出每個A紀念品和每個B紀念品的成本；（2）求當a為何值時，每天的利潤W最大．【考點】二次函數(shù)的應用；二元一次方程組的應用．【分析】（1）依據(jù)題意，設每個A紀念品的成本為x元，每個B紀念品的成本為y元，可得2x+3y=1554x+y=135（2）依據(jù)題意，每套成本為25+35＝60元，售價為a元，故每套利潤為（a﹣60）元，又售價為72元時銷量80套，每降價1元銷量增10套，從而故銷量為80+10（72﹣a）＝800﹣10a，則利潤W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，結合65≤a≤72且a為整數(shù)，最后可以判斷得解．【解答】解：（1）由題意，設每個A紀念品的成本為x元，每個B紀念品的成本為y元，∴2x+3y=1554x+y=135∴x=25y=35答：每個A紀念品的成本為25元，每個B紀念品的成本為35元．（2）由題意，每套成本為25+35＝60元，售價為a元，∴每套利潤為（a﹣60）元．∵售價為72元時銷量80套，每降價1元銷量增10套，∴故銷量為80+10（72﹣a）＝800﹣10a．∴利潤W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000．∵65≤a≤72且a為整數(shù)，∴當a＝70時，天的利潤W最大．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質是關鍵．26．（8分）（2025?大慶）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，OA＝2，點B在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，△OBA為等邊三角形，延長BO與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第三象限交于點C，連接CA（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求點D的坐標及△OAD的面積；（3）在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．【考點】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）作BF⊥x軸于點F，利用等邊三角形的性質結合直角三角形的性質求得點B的坐標為(1，3（2）根據(jù)題意得到點C與點B關于原點對稱，求得點C的坐標為(?1，?3)，利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，聯(lián)立求得點（3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分當DQ⊥x軸和當DQ⊥AD時兩種情況討論，據(jù)此求解即可．【解答】解：（1）作BF⊥x軸于點F，∵△OBA為等邊三角形，OA＝2，∴OB＝2，OF＝AF＝1，∴BF=O∴點B的坐標為(1，3∵點B在反比例函數(shù)y=k∴k=1×3∴反比例函數(shù)的表達式為y=3（2）∵延長BO與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第三象限交于點∴點C與點B關于原點對稱，∴點C的坐標為(?1，?3∵OA＝2，∴點A的坐標為（2，0），設直線AC的解析式為y＝k'x+b，∴?k′+b=?3解得k′=3∴直線AC的解析式為y=3聯(lián)立得3x解得x＝3或x＝﹣1（舍去），經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的解，∴點D的坐標為(3，3∴S△OAD（3）是，理由如下：∵△OBA為等邊三角形，點C與點B關于原點對稱，∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°，∴∠OAC=∠OCA=1∴∠BAC＝90°，當DQ⊥x軸時，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°，∴△DQA∽△BAC，∵點D的坐標為(3，3∴點O的坐標為（3，0）；當DQ⊥AD時，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°，∴△QDA∽△BAC，∵點D的坐標為(3，33)∴AD=2∴AQ=AD∴OQ=2+4∴點O的坐標為(10綜上，點Q的坐標為（3，0）或(10【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解直角三角形，相似三角形的性質，等邊三角形的性質，第3問分情況討論是解題的關鍵．27．（9分）（2025?大慶）如圖，DE為△ADE外接圓⊙O的直徑，點C為線段DO上一點（不與D，O重合），點B為OD的延長線上一點，連接BA并延長至點M，滿足∠CAE＝∠MAE．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）證明：OE2＝OB?OC；（3）若射線BM與⊙O相切于點A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠DAE＝90°，得到∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°，根據(jù)余角的性