PAGEPAGE1河南省部分學校2023-2024學年高一上學期期中大聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)（）A.0 B.1 C.1或2 D.2【答案】D【解析】由題可知，解得.故選：D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題可知且，解得.故選：A.3.已知命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知命題“，使得”為真命題，則，使得，故，.故選：B.4.“”是“函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過第三象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，，再結合指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以充分性成立；若的圖象經(jīng)過第三象限，易知時不成立，所以，且，解得，所以必要性成立.故選：C.5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當時，，為減函數(shù)，當時，，當且僅當時，取得最小值2,故B選項的圖象符合題意.故選：B.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選：A.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為2，則（）A.2或 B. C.3 D.3或【答案】D【解析】由題可知，則，，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得或.故選：D.8.已知函數(shù)是三次函數(shù)且冪函數(shù)，，則（）A.4047 B.8092 C.8094 D.9086【答案】C【解析】因為是三次函數(shù)且是冪函數(shù)，所以，所以.令，則是奇函數(shù)，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由可知，與已知矛盾，所以A錯誤；由題可知，則，所以B正確；等價于，與矛盾，所以C錯誤；等價于，因為，所以，又，所以，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，函數(shù)則（）A.是增函數(shù) B.是增函數(shù)C. D.滿足不等式的最小整數(shù)是1【答案】ACD【解析】由題可知，解得，則是增函數(shù)，所以A正確；當時，，，，所以不是增函數(shù)，所以B錯誤；，，所以C正確；由題易知只需考慮的情況，將代入可得不等式成立，所以最小整數(shù)是1.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為增函數(shù)【答案】BC【解析】令，得，即，不滿足，所以錯誤；令，，得，即，令，，得，得8，所以B正確；令，得，故為奇函數(shù)，所以C正確；由，，可知D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)且，則下列說法正確的有（）A.在區(qū)間和上單調(diào)遞減B.直線與的圖象總有3個不同的公共點C.D.【答案】ACD【解析】畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：由圖可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，所以A正確；由圖可知，當時，直線與的圖象有3個不同的公共點，當時，直線與的圖象有2個不同的公共點，所以B錯誤；令，可得直線與的圖象有4個不同的交點，且交點橫坐標分別為，，，，由圖可知，，即，所以，因為，所以，所以C，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)（且）的圖象過的定點坐標為________.【答案】【解析】當時，，故的圖像恒過點.故答案為：.14.已知冪函數(shù)滿足，則________.【答案】【解析】設，則，所以.故答案為：.15.科學研究發(fā)現(xiàn)，大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)與其游動速度（單位：）的關系式為（且為常數(shù)）.當這種鮭魚的游動速度為時，其耗氧量為8100個單位，若這種鮭魚的游動速度不小于，則其耗氧量至少為________個單位.【答案】2700【解析】由題可知，解得，當時，.故答案為：2700.16.已知關于的一元二次不等式的解集為，則的最小值為________.【答案】9【解析】由題可知，是關于的一元二次方程的實數(shù)根，且，則所以，且，，所以，所以，當且僅當，即，時取等號.故答案為：9.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，，求的值；（2）化簡：.解：（1）.（2）.18.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是增函數(shù)；（2）求不等式的解集.解：（1）設且，則，所以是增函數(shù).（2）由（1）可知是增函數(shù)，，所以不等式，即，變形得，即，解得，即不等式的解集為.19.已知關于的不等式.（1）當時，求該不等式的解集；（2）在（1）的條件下，若集合，且，求的取值范圍.解：（1）將不等式變形，可得，因為，所以，所以不等式的解集.（2）由題可知，所以結合，得，故的取值范圍為（滿足條件的不存在）.20.2023年9月23日，第19屆亞運會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產(chǎn)品在亞運會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），第天每件的銷售價格（單位：元）滿足第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.（1）求的解析式；（2）若每件該產(chǎn)品的總成本為20元，求該產(chǎn)品在開幕式后的30天內(nèi)第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.解：（1）由題可知解得所以.（2）由題可得每件該產(chǎn)品的銷售利潤為所以第天的日銷售利潤即，當時，，當且僅當，即時等號成立，當時，為減函數(shù)，所以，故當時，取得最小值714，即開幕式后的第30天的日銷售利潤最小.21.已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.（1）求，的解析式；（2）設函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，①，所以，即②，①－②可得，即，①＋②可得，即，所以，.（2）由（1）可知，圖象開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上的值域為，由題可知，在區(qū)間上的最小值大于等于在區(qū)間上的最小值，在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以得，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以得，所以實數(shù)的取值范圍是.22.已知函數(shù)的圖象可由函數(shù)（且）的圖象先向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度得到，且.（1）求的值；（2）若函數(shù)，證明：；（3）若函數(shù)與在區(qū)間上都是單調(diào)的，且單調(diào)性相同，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）