第05講：函數基礎知識和基本性質期末高頻考點題型講與練【考點梳理】考點一：函數的有關概念函數的定義設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數函數的記法y＝f(x)，x∈A定義域x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域值域函數值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函數的值域考點二：函數的單調性增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的考點三．函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值考點四．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱【題型歸納】題型一：函數的定義域1．（2023下·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據解析式列出不等式組求解即可.【詳解】由題得，解得且.故選：A.2．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，列出不等式求解，即可得到結果.【詳解】由題知，即，解得，故函數的定義域為.故選：B3．（2023上·吉林·高一長春市第二實驗中學校聯(lián)考期末）若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數的定義域，可得，求出的范圍，即可得到函數的定義域.【詳解】因為函數的定義域為，所以，解得，所以函數的定義域為.故選：A.題型二：已知函數的定義域求參數范圍4．（2023上·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學?？计谀┖瘮档亩x域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先驗證時的情況，再當時，利用二次函數的性質列不等式求解.【詳解】當時，，定義域不為；當時，若函數的定義域為，則，解得故選：A.5．（2021下·甘肅慶陽·高一?？计谀┤艉瘮档亩x域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知恒成立，利用二次函數恒成立求解即可.【詳解】∵函數的定義域為，所以恒成立，當時，顯然不合題意，當時，則∴綜上所述故選：C.6．（2022上·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎瘮档亩x域為，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得不等式恒成立，分類討論列不等式組求解，【詳解】由題意得對恒成立，當即時，不滿足題意，當時，由解得，綜上，的取值范圍是，故選：B題型三：復雜（根式、分式）函數的值域7．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列函數中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的定義域、冪函數的性質、以及基本不等式可直接求得選項中各函數的值域進行判斷即可.【詳解】由已知值域為，故A錯誤；時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；因為定義域為，，函數值域為，故C正確；，，，所以，故D錯誤.故選：C.8．（2022上·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的范圍，再由單調性求值域．【詳解】解：因為，所以，，即函數的定義域為，又在時單調遞增，所以當時，函數取得最大值為，所以值域是，故選：D.9．（2021上·內蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法轉化為一元二次函數，利用一元二次函數最值性質進行求解即可．【詳解】解：設，則，則，則函數等價為，對稱軸為，則當時，函數取得最大值，即，即函數的值域為，，故選：．題型四：求解析式三大方法10．（2023上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將變?yōu)?，根據整體代換思想，可得答案.【詳解】由題意，故，故選：D11．（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎x在上的函數滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，解方程組求即可.【詳解】由可得，所以由解得，故選：A12．（2021·高一課時練習）已知，則函數的解析式是（

）A． B．（且）C． D．【答案】B【分析】根據換元法求解析式即可.【詳解】解：由題知且，令，則（且），∴（且），∴（且）．故選：B．題型五：函數相等問題13．（2023上·甘肅臨夏·高一?？计谀┫铝袃蓚€函數相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】直接根據函數的三要素判斷.【詳解】對于A，，定義域為R，，，故A不正確；對于B，定義域為R，定義域為，故B錯誤；對于C，，的定義域為，故C正確；對于D，定義域為，的定義域為，故D錯誤；故選：C.14．（2023上·四川遂寧·高一校考期末）下列四組函數中，同組的兩個函數是相同函數的是（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】A【分析】根據相同函數的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，的定義域是，，且定義域為，是相同函數，A選項正確.B選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數.C選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數.D選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數.故選：A15．（2023上·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）下列四組函數中，表示同一函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】分別判斷選項中函數的定義域和對應關系，即可得到答案.【詳解】對選項A，因為定義域為R，定義域為R，定義域相同，但，所以，不是同一函數，故A錯誤；對選項B，因為定義域為R，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故B錯誤；對選項C，因為定義域為，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故C錯誤；對選項D，因為定義域為R，定義域為R，又，所以，是同一函數，故D正確.故選：D題型六：分段函數問題16．（2023上·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學?？计谀┮阎瘮?，若的零點個數為2，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出的圖象，令，利用數形結合思想即可求解的范圍.【詳解】由題知，函數，作出的圖象，利用數形結合思想可知：當時，與有兩個交點.故選：B.17．（2022上·河南焦作·高一?？计谀┤艉瘮登覞M足對任意，都有成立，則的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據條件先分析出的單調性，然后列出關于的不等式組，由此求解出結果.【詳解】因為對任意，都有成立，所以在上單調遞增，所以，解得，故選：D.18．（2022上·河南新鄉(xiāng)·高一?？计谀┤艉瘮翟谏蠁握{遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，由條件列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】函數在上單調遞增，，解得，實數的取值范圍是.故選：C題型七：函數的單調性問題19．（2023上·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學?？计谀┤艉瘮翟趨^(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次函數的性質即可求解.【詳解】已知是二次函數，其對稱軸為，開口向上，要使得函數在區(qū)間上是減函數，則必須，即，所以實數的取值范圍是.故選：D.20．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學?？计谀┤舳x在的奇函數在單調遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，得到的單調性及，再結合不等式，分類討論，即可得出答案.【詳解】因為定義在上的奇函數在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，所以當時，，當時，，所以由可得：或或,解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：B.21．（2022上·廣東深圳·高一?？计谀┤羰桥己瘮登以谏蠁握{遞增，又，則不等式的解集為（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根據偶函數的性質有在上單調遞減，在上單調遞增，且，再由偶函數、單調性求解集.【詳解】由題設，偶函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以，故或，解集為或.故選：B題型八：函數的最值問題22．（2023上·遼寧本溪·高一?？计谀┤舨坏仁剑?，且）在內恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出時，不成立，當時，畫出，的圖象，數形結合得到實數a的取值范圍.【詳解】若，此時，，而，故無解；若，此時，，而，令，，畫出兩函數圖象，如下：故要想在內恒成立，則要，解得：.故選：B.23．（2023上·上海徐匯·高一上海市西南位育中學?？计谀┮阎瘮?，若對于任意，存在，使得，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據對數函數、指數函數的性質求出、的值域，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.【詳解】解：因為，所以，所以，即，由，則，即，因為對于任意，存在，使得，所以，則，解得，即.故選：A24．（2022上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱德強學校?？计谀┰O奇函數在上是增函數，且，若對所有的及任意的都滿足，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由奇函數在上是增函數，且得最大值為1，則有對任意的成立，將m看成變量，得出不等式組，解之可得結果．【詳解】因為奇函數在上是增函數，且，所以的最大值為1．所以只需即對任意的恒成立即可，令，則，即解得或或．故選：D．題型九：利用奇偶性求函數的解析式25．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學?？计谀┒x在上的奇函數，當時，，當時，．【答案】【分析】先根據奇函數性質求a，然后設，利用奇函數定義和已知條件求解可得.【詳解】因為函數為奇函數，所以，解得.設，則，所以，又為奇函數，所以，即當時，.故答案為：26．（2023上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）函數為偶函數，當時，，則時，．【答案】【分析】由偶函數的定義求解．【詳解】時，，是偶函數，∴，故答案為：．27．（2023上·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數為定義在上的奇函數，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據奇函數性質可得定義域關于原點對稱求出，，再利用函數單調性和奇偶性即可求出不等式的解集.【詳解】根據奇函數定義可知，可得，函數定義域為；又，可得，所以；易知函數在上單調遞增，所以不等式即為，根據函數單調性和奇偶性可得，解得.故答案為：題型十:利用函數的奇偶性與單調性解不等式28．（2023上·上海松江·高一?？计谀┤?，則滿足不等式的實數的取值范圍是.【答案】【分析】先求定義域，再根據初等函數單調性和復合函數單調性判斷的單調性，由奇偶性定義判斷其奇偶性，然后根據奇偶性和單調性求解可得.【詳解】由得，顯然在區(qū)間上單調遞增，由復合函數單調性可知，在區(qū)間上單調遞增，所以函數在區(qū)間上單調遞增.又，所以函數為奇函數，所以，所以，解得.故答案為：29．（2023上·山西朔州·高一統(tǒng)考期末）已知函數是定義在上的偶函數，在區(qū)間上單調遞增，且，則不等式的解集為.【答案】【分析】由偶函數的性質及在區(qū)間上單調遞增，分別解不等式，，進而可得出答案.【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以，又在區(qū)間上單調遞增，由，得，解得.由，得，解得或.所以，即或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.30．（2023上·浙江杭州·高一?？计谀┮阎瘮凳嵌x在R上的奇函數，若，且，都有成立，則不等式的解集為．【答案】【分析】設函數，由條件可知函數是偶函數，并且在單調遞減，然后利用函數的性質解抽象不等式即得.【詳解】令，因為函數是定義在R上的奇函數，則，故為定義在R上偶函數，由，得在為減函數，由，可得，即，故，所以，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.題型十一：函數性質的綜合性問題31．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數．(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；(3)求在上的值域．【答案】(1)奇函數，理由見解析(2)在上為增函數，證明見解析(3)【分析】（1）根據奇偶性的定義，求出定義域，代入即可得出判斷；（2）直接根據單調性定義證明即可；（3）結合的奇偶性與單調性，即可求出在上的值域．【詳解】（1）函數是奇函數．的定義域為，關于原點對稱，因為，所以在上是奇函數．（2）在上為增函數；證明：任取，則，因為，所以，，，則，即．故在上為增函數．（3）結合（1）（2）知在上為增函數，即在上為增函數，當時，取得最小值，且最小值為當時，取得最大值，且最大值為故在的值域為．32．（2023上·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學?？计谀┮阎瘮禐槠婧瘮?(1)求的值，并用函數單調性的定義證明函數在上是增函數；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；函數在上是增函數證明見解析(2)【分析】（1）根據奇函數的性質代入可求，然后結合函數單調性的定義即可證明；（2）根據函數奇偶性和單調性之間的關系，將不等式轉化為，解之即可得結論.【詳解】（1）∵是奇函數，定義域為，∴，則，，所以，符合為奇函數，證明：任取，且，則，由，可得，則，，∴，即，∴函數在上是增函數.（2）∵函數在上是奇函數∴又函數在上是增函數∴令為，則解得即∴不等式的解集為33．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知是定義在上的奇函數．(1)求的值；(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；(3)若對恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據定義在上的奇函數過原點，以及奇函數的性質，列方程即可求解；（2）先判斷函數的單調性，結合單調性的定義證明結論即可；（3）根據函數奇偶性和單調性的性質，將不等式轉化進行求解即可.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數，則有，可得：，所以，又因為，所以，解得：，所以，；（2）在上單調遞增．證明如下：由（1）得，取，令，則，由于函數為上的單調遞增函數，且，又因為，所以，則，所以，即，所以在上單調遞增；（3）因為是定義在上的奇函數，所以原不等式可轉化為：，又因為在上單調遞增，所以，令，則，原式化為：，整理得：，令，則，且當時等號成立，則，令，則對恒成立，又的圖象開口向上，對稱軸為，且，當，即時，在上恒成立，當，即或時，有，即，解得：，此時，綜上所述，的取值范圍為.【強化精練】一、單選題34．（2023上·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】依題意可得，求解即可.【詳解】依題意可得，解得，所以函數的定義域是.故選：B.35．（2023上·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谀┮阎瘮禐槎x在上的奇函數，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用奇函數的性質分別求得與，從而得解.【詳解】因為為定義在上的奇函數，所以，解得，又，即，則，所以.故選：B.36．（2023上·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）下列哪組中的兩個函數是同一函數（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】利用函數的定義判斷.【詳解】A.的定義域為，的定義域為R，故錯誤；B.的定義域為，的定義域為，給錯誤；C.的定義域為，的定義域為R，故錯誤；D.的定義域為，的定義域為，故錯誤；故選：D37．（2023上·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學?？计谀┮阎瘮翟诙x域上是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函數單調性的特征，求實數的取值范圍.【詳解】當時，單調遞增且，所以當時，也單調遞增，則解得，所以.故選：B.38．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數，，對，且有，則關于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出函數，根據題意得出函數的性質，從而解決問題.【詳解】解：因為是定義在上的奇函數，所以所以函數是定義在上的偶函數，因為對，且有，所以在上單調遞增，所以，當時，則有，所以，即，所以在上單調遞增，因為是定義在上的偶函數，所以在上單調遞減，因為，所以即為，所以，解得.故選：B.39．（2023上·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谀┮阎x在上的函數滿足，在區(qū)間上滿足，則下列關系式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用函數單調性的定義判斷得在上的單調性，再利用賦值法與的單調性逐一判斷ABC；舉反例排除D即可.【詳解】因為在上滿足，所以在上單調遞增，對于A，因為，所以，即，故A錯誤；對于B，因為，所以，即，因為在上單調遞增，所以，即，故B正確；對于C，因為在上單調遞增，所以，即，故C錯誤；對于D，令，易得其滿足題設條件，但，故D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用賦值法得到，，從而結合的單調性即可得解.40．（2023上·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）函數的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件分段求出解析式及對應函數值集合，再利用數形結合，可求得結果【詳解】因為，且時，，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以當時，，解得或，作出函數的大致圖象，如圖所示，由圖可知，，恒有，必有，即的取值范圍是，故選：B【點睛】關鍵點點睛：函數不等式恒成立問題，考查二次函數的性質，考查分段函數的性質，解題的關鍵是根據已知條件求出函數的解析式，再根據解析式畫出圖象，利用圖象求解即可，考查數形結合思想，屬于較難題.41．（2023下·內蒙古赤峰·高一赤峰紅旗中學松山分校校聯(lián)考期末）已知函數是偶函數，當時，恒成立，設，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意先求出函數在上為單調增函數且關于直線對稱，然后利用函數的單調性和對稱性即可求解.【詳解】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數在上為單調減函數，∵函數是偶函數，即，∴函數的圖像關于直線對稱，∴，又函數在上為單調減函數，∴，即，∴，故選：C.二、多選題42．（2023上·山東濟南·高一濟南三中?？计谀┯幸韵屡袛?，其中是正確判斷的有（

）A．與表示同一函數B．函數的圖象與直線的交點最多有1個C．函數的最小值為2D．若，則【答案】BD【分析】A選項，兩函數定義域不同，不是同一函數；B選項，根據函數定義進行判斷；C選項，利用基本不等式進行求解；D選項，先計算出，從而得到.【詳解】A選項，的定義域為，而定義域為R，故兩者不是同一函數，A錯誤；B選項，根據函數定義，可知的圖象與直線可以無交點，也可以有1個交點，故函數的圖象與直線的交點最多有1個，B正確；C選項，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，但無解，故等號取不到，的最小值不為2，C錯誤；D選項，，則，故，D正確.故選：BD43．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由函數的奇偶性、基本初等函數的性質再結合復合函數的單調性即可判斷.【詳解】對于A，函數在上單調遞增，在上單調遞增，故函數在上單調遞增，故A錯誤；對于B，函數的定義域為，，所以是偶函數，又函數在上單調遞增，時，，而函數在上單調遞減，故在上單調遞減，故B正確；對于C，函數的定義域為，，函數為奇函數，故C錯誤；對于D，函數的定義域為，，所以是偶函數，且在上單調遞減，故D正確.故選：BD44．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數是定義在上的偶函數，對于任意，都有成立．當時，，下列結論中正確的有（

）A．B．函數在上單調遞增C．直線是函數的一條對稱軸D．關于的方程共有4個不等實根【答案】AC【分析】由，令可得，進而結合奇偶性即可判斷A選項；由可得，可得函數是周期為4的偶函數，結合題設畫出大致圖象，結合圖象可判斷BC選項；進而畫出函數的大致圖象，即可判斷D選項.【詳解】由，令，則，即，因為是定義在上的偶函數，所以，故A正確；由A知，，則，所以函數是周期為4的偶函數，結合時，，畫出大致圖象如下：結合圖象可知，函數在上單調遞減，直線是函數的一條對稱軸，故B錯誤，C正確；對于D，畫出函數的大致圖象如下：結合圖象可知，函數和有兩個交點，所以方程共有2個不等實根，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于得出函數是周期為4的偶函數，然后畫出大致圖象，結合圖象即可求解.45．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學?？计谀┮阎瘮?，下面說法正確的有（

）A．的值域為B．的圖象關于原點對稱C．的圖象關于軸對稱D．，且恒成立【答案】BD【分析】根據分離常數的方法得到的值域，根據且定義域為即可得為奇函數且關于原點對稱.【詳解】，因為，所以，所以，，所以，可得的值域為，故選項A不正確；的定義域為，且，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，故選項C不正確，選項B正確；設任意的，則，因為，所以，即，又因為，所以，故選項D正確.故選：BD.三、填空題46．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數的定義域與值域相同，則實數的值為．【答案】2【詳解】函數函數的定義域為函數的定義域與值域相同，函數的值域為．又函數在上單調遞增，，解得．管案：247．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上是單調減函數，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據單調性分別列不等式計算即可.【詳解】由在區(qū)間上是單調減函數，有解得，則的取值范圍為.故答案為:.48．（2023上·山東泰安·高一泰山中學校考期末）若是偶函數且在上單調遞增，又，則不等式的解集為．【答案】【分析】結合函數的奇偶性和函數的單調性求解即可；【詳解】因為是偶函數，所以所以，又因為在上單調遞增，所以，解得：，故答案為：.49．（2023上·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數為奇函數，且對任意正實數都有，若實數滿足，，則的大小關系為.【答案】/【分析】對已知不等式進行變形，利用構造新函數法、奇函數的性質，結合新函數的單調性、指數函數的單調性、對數函數的單調性進行判斷即可.【詳解】因為，所以由，設，定義域為，因為，所以由，所以有，或，即，或，所以函數是正實數集上的減函數，因為為奇函數，所以有，因此函數是偶函數，，，，因為函數是偶函數，所以，因為，函數是正實數集上的減函數，所以，故答案為：【點睛】關鍵點睛：根據不等式的形式，結合所比較數的形式構造函數是解題的關鍵.四、解答題50．（2023上·安徽·高一期末）已知定義在上的函數對任意實數、，恒有，且當時，，.(1)求的值；(2)求證：為奇函數；(3)求在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)證明見解析；(3)最大值為，最小值為【分析】（1）由題意令即可求解；（2）令，利用函數的奇偶性定理即可證明.（3）利用函數單調性定義可得在上為減函數，利用函數的單調性以及函數為奇函數即可求解.【詳解】（1）解：定義在上的函數對任意實數、，恒有，令，可得，從而.（2）證明：定義在上的函數對任意實數、，恒有，令，可得，所以，故為奇函數.（3）解：對任意、，且，則，于是，則，所以，，所以在上為減函數，故函數的最大值為，最小值為，因為，，，所以在上的最大值為，最小值為．51．（2023上·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．(1)求；(2)求函數的解析式；(3)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）借助奇函數的性質即可得；（2）由定義在上的奇函數有，再設出時有，即可代入求解；（3）結合函數單調性與奇偶性即可得.【詳解】（1）由函數是定義在上的奇函數，可得．又當時，，可得；（2）當時，；當時，，則，又，可得時，．所以；（3）由的解析式可得奇函數在上單調遞增，所以即為，化為，解得，即的取值范