第四章

數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式學習目標素養(yǎng)要求1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程數(shù)學運算2.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應用數(shù)學建模、數(shù)學運算3.會求等差數(shù)列前n項和的最值數(shù)學運算、邏輯推理自學導引等差數(shù)列前n項和公式是用____________推導的．倒序相加法等差數(shù)列前n項和公式的推導【預習自測】1．如圖1，某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根．假設在這堆鋼管旁邊再倒放上捆扎著的同樣一堆鋼管，如圖2所示，則這樣共有________根鋼管，原來有________根鋼管．【答案】78

392．能否利用前面的問題推導等差數(shù)列前n項和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?等差數(shù)列{an}的前n項和公式【答案】B【答案】C【答案】A1．若a1<0，d>0，則等差數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得Sn的最______值．2．若a1>0，d<0，則等差數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得Sn的最______值．特別地，若a1>0，d>0，則______是Sn的最小值；若a1<0，d<0，則______是Sn的最大值．小等差數(shù)列前n項和Sn的最值大S1S1【預習自測】1．設Sn是公差小于零的等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1>0，若S5＝S9，則當Sn最大時，n＝

(

)A．6 B．10C．7 D．9【答案】C【解析】因為公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn是關于n的二次函數(shù)，S5＝S9，所以對稱軸為n＝7，又因為開口向下，所以當n＝7時，Sn有最大值．2．已知等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若S16＞0，且S17＜0，則當Sn取最大值時n的值為

(

)A．7

B．8C．9

D．16【答案】B【答案】8課堂互動已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，d為{an}的公差．題型1有關等差數(shù)列的前n項和的基本運算【解題探究】合理地使用等差數(shù)列的前n項和公式，注意其變形及應用方程的思想．等差數(shù)列基本運算的解題方法a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解．這種方法是解決數(shù)列運算的基本方法，在具體求解過程中應注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用．1．數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，a1＝1，b1＝4，a100＋b100＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前100項和等于________.【答案】5250題型2等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應用等差數(shù)列的前n項和的常用性質(zhì)(1)等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．2．(1)在等差數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項和，若S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20的值為

(

)A．9

B．12C．16

D．18(2)等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，則{an}的前13項和S13＝________．【答案】(1)A

(2)104(2023年重慶開學考試)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項的和，已知a1＋a3＝22，S5＝45.(1)求an；(2)求數(shù)列Sn的最大值．題型3等差數(shù)列前n項和的最值3．(2023年湖南期末)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－8，S3＝－18.(1)求公差d及數(shù)列{an}的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值及取得最小值時n的值．已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝5n－95，求當n為何值時Sn取最小值．【錯解】由題意得，an＝5n－95＜0，解得n＜19，∴n＝18時，Sn有最小值．【錯因】錯解的原因是忽略了a19＝0，所以S18＝S19，即n＝18或n＝19時前n項和相等且最?。菊狻坑深}意得，an＝5n－95≤0，解得n≤19，∴等差數(shù)列{an}的前18項為負數(shù)，第19項為0，從第20項開始為正數(shù)，∴Sn取最小值時，n的值為18或19.易錯警示忽略等差數(shù)列中為零的項素養(yǎng)訓練2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an；③當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd，S奇∶S偶＝an∶an＋1；項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝an，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．1．(題型1)若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25且a2＝3，則a7＝

(

)A．12 B．13C．14 D．15【答案】B【解析】由S5＝5a3＝25，得a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.2．(題型2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝

(

)A．27

B．36C．45

D．63【答案】C【解析】因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S3，S6－S3，S9－S6構成等差數(shù)列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.3．(題型3)(2022年長春月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S13＜0，S12＞0，則在數(shù)列中絕對值最小的項為 (

)A．第5項 B．第6項C．第7項 D．第8項【答案】C4．(題型3)(2021年成都期末)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝22，S7＝S16，則Sn取最大值時n的值為________．【答案】11或12【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S7＝S16，得7a1＋21d＝16a1＋120d，即a1＋11d＝0，又因為a1＝22，所以d＝－2，所以an＝22－2(n－1)＝24－2n，令an＝0，可得n＝12，所以數(shù)列{an}滿足當n≤11時，an＞0；當n＝12時，a