利用導數(shù)解不等式及參數(shù)范圍-2-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)證明不等式【思考】

如何利用導數(shù)證明不等式?例1已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)求證:當x>0時,x2<ex.-3-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(1)解

由題意可知點A(0,1).由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.所以f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln

2,當x<ln

2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>ln

2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當x=ln

2時,f(x)取得極小值,極小值為f(ln

2)=2-2ln

2=2-ln

4.f(x)無極大值.(2)證明

令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln

2)=2-ln

4>0,則g(x)在R上單調(diào)遞增.因為g(0)=1>0,所以當x>0時,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.-4-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思利用導數(shù)證明不等式,主要是構造函數(shù),通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立,或通過求函數(shù)的最值,當該函數(shù)的最大值或最小值對不等式成立時,則不等式是恒成立,從而可將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.-5-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練1(2018全國Ⅲ,文21)已知函數(shù)

.(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當a≥1時,f(x)+e≥0.因此曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是

2x-y-1=0.(2)當a≥1時,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g'(x)=2x+1+ex+1.當x<-1時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x>-1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.-6-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)解與不等式恒成立有關的問題【思考】

求解不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題的基本方法有哪些?例2已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)設a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實數(shù)m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點,求ab的值.-7-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-8-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(2)因為函數(shù)g(x)=f(x)-2只有1個零點,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點.因為g'(x)=axln

a+bxln

b,又由0<a<1,b>1知ln

a<0,ln

b>0,所以g'(x)=0有唯一解令h(x)=g'(x),則h'(x)=(axln

a+bxln

b)'=ax(ln

a)2+bx(ln

b)2,從而對任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)增函數(shù).于是當x∈(-∞,x0)時,g'(x)<g'(x0)=0;當

x∈(x0,+∞)時,g'(x)>g'(x0)=0.因而函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)是單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).-9-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-10-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思1.不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題的解題方法是依據(jù)不等式的特點,進行等價變形.構造函數(shù),借助圖象觀察或參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理.如不等式f(x)>g(x)恒成立的處理方法一般是構造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min>0;或分離參數(shù),將不等式等價變形為a>h(x)或a<h(x),進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)的最值.-11-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練2已知函數(shù)f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證:對于任意的實數(shù)x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a為實數(shù))有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1<x2,求證:(1)解

由f(x)=4x-x4,可得f'(x)=4-4x3.當f'(x)>0,即x<1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當f'(x)<0,即x>1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).-12-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(2)證明

設點P的坐標為(x0,0),則x0=,f'(x0)=-12.曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),則F'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-4x3+4在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故F'(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.又因為F'(x0)=0,所以當x∈(-∞,x0)時,F'(x)>0,當x∈(x0,+∞)時,F'(x)<0,所以F(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以對于任意的實數(shù)x,F(x)≤F(x0)=0,即對于任意的實數(shù)x,都有f(x)≤g(x).-13-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-14-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)解函數(shù)中的探索性問題【思考】

解決探索性問題的常用方法有哪些?例3設a,b∈R,|a|≤1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線,①求證:f(x)在x=x0處的導數(shù)等于0;②若關于x的不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范圍.-15-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(1)解

由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),(4-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).-16-命題熱點一命題熱點二命題熱點三②解

因為g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.又因為f(x0)=1,f'(x0)=0.故x0為f(x)的極大值點,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,-17-命題熱點一命題熱點二命題熱點三由(1)知f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當x0=a時,f(x)≤f(a)=1在區(qū)間[a-1,a+1]上恒成立,從而g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因為t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域為[-7,1].所以,b的取值范圍是[-7,1].-18-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思解決探索性問題的常用方法:(1)從最簡單、最特殊的情況出發(fā),有時也可借助直覺觀察或判斷,推測出命題的結論,必要時給出嚴格證明.(2)假設結論存在,若推證無矛盾,則結論存在;若推出矛盾,則結論不存在.(3)使用等價轉(zhuǎn)化思想,找出命題成立的充要條件.-19-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練3設函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x-y=0平行.(1)求a的值.(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在區(qū)間(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由.(3)設函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值.解：(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2,所以f'(1)=2.-20-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-21-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-22-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-23-規(guī)律總結拓展演練1.無論不等式的證明、解不等式,還是不等式的恒成立問題、有解問題、無解問題,構造函數(shù),運用函數(shù)的思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和最值),達到解題的目的,是一成不變的思路,合理構思,善于從不同角度分析問題是解題的法寶.2.當利用導數(shù)求解含參問題時,首先,要具備必要的基礎知識(導數(shù)的幾何意義、導數(shù)在單調(diào)性上的應用、函數(shù)的極值求法、最值求法等);其次,要靈活掌握各種解題方法和運算技巧,比如參變分離法,分類討論思想和數(shù)形結合思想等.當涉及極值和最值問題時,一般情況下先求導函數(shù),然后觀察能否分解因式,若能,則比較根的大小,并與定義域比較位置關系、分段考慮導函數(shù)符號,劃分單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)大致圖象;若不能,則考慮二次求導,研究函數(shù)是否具有單調(diào)性.-24-規(guī)律總結拓展演練1.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導函數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<1,則不等式f(x)<x+1的解集為(

)

A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案解析解析關閉不等式f(x)<x+1可化為f(x)-x-1<0,令g(x)=f(x)-x-1,則g'(x)=f'(x)-1.因為f'(x)<1,所以g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,又g(1)=f(1)-1-1=2-2=0,則g(x)<0,即g(x)<g(1),得x>1.答案解析關閉B-25-規(guī)律總結拓展演練2.已知函數(shù)f(x