福建省漳州市2021屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班適應(yīng)性測(cè)試試題（一）（考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分）本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分。第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題。第Ⅰ卷（選擇題60分）一．單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知集合，，下列結(jié)論成立的是A． B．C．D．2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊上一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則A． B． C．D．4．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A． B．C．D．5．原始的蚊香出現(xiàn)在宋代．根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫(xiě)的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲(chóng)．”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫(huà)法如下:在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段，做一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最大值為A．B．C．D．6．已知中，，，點(diǎn)是的重心，則A．B．C．D．7．正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，，則實(shí)數(shù)，，之間的大小關(guān)系為A．B．C．D．8．正四面體的體積為，為其中心，正四面體與正四面體關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)正四面體公共部分的體積為A． B． C．D．二．多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．）9．小王于2016年底貸款購(gòu)置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式，且截止2020年底，他沒(méi)有再購(gòu)買(mǎi)第二套房子.下圖是2017年和2020年小王的家庭收入用于各項(xiàng)支出的比例分配圖：2017年各項(xiàng)支出2020年各項(xiàng)支出根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中不正確的是A．小王一家2020年用于飲食的支出費(fèi)用跟2017年相同B．小王一家2020年用于其他方面的支出費(fèi)用是2017年的3倍C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D．小王一家2020年用于房貸的支出費(fèi)用比2017年減少了10．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是A． B．C．若，則 D．若，則11．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，滿(mǎn)足，的面積，則A．B．C．D．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是周期為的奇函數(shù) B．在上為增函數(shù)C．在內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn) D．在上恒成立的充要條件是第Ⅱ卷（非選擇題90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)______．14．定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)______．15．三棱柱中，，，是等腰直角三角形，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)______．16．已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交的一條漸近線于兩點(diǎn)，且線段被的另一條漸近線平分，則的離心率為_(kāi)______；若的焦距為，為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，則_______．（本題第一空2分，第二空3分）四．解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（本小題滿(mǎn)分10分）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，并且.若，，求的面積；求的最大值.18．（本小題滿(mǎn)分12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且，，依次構(gòu)成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）請(qǐng)從①②③這三個(gè)條件選擇一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，圓柱的軸截面是正方形，、分別是上、下底面的圓心，是弧的中點(diǎn)，、分別是與中點(diǎn).（1）求證：//平面；（2）求銳二面角的余弦值.20．（本小題滿(mǎn)分12分）《中國(guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng).制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱(chēng)為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，（3）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望值．21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，（，）（1）當(dāng)，討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（本小題滿(mǎn)分12分）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線與直線交于點(diǎn)，試證明，，三點(diǎn)共線；（3）求面積的最大值.

學(xué)校:準(zhǔn)考證號(hào):姓名:（在此卷上答題無(wú)效）工作秘密★啟用前漳州市2021屆高三畢業(yè)班適應(yīng)性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)參考答案（考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分）本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分。第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題。第Ⅰ卷（選擇題60分）一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．C2．D3．D4．A5．B6．C7．A8．C【解析】1．集合，，不滿(mǎn)足，則A錯(cuò)；，則B錯(cuò)；，則C正確；，則D錯(cuò).故選C.2．則，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D.3．依題意可知在角的終邊上，所以，故選D．4．點(diǎn)是拋物線內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知，要求的最小值，即求的最小值.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值.故選A.由題意得，恰好有6段圓弧或有段圓弧與直線相交時(shí)，才恰有個(gè)交點(diǎn)，每段圓弧的圓心角都為，且從第1段圓弧到第段圓弧的半徑長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列：，，，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最大值為．故選B.6．由題意，以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，由于，，則，，故又點(diǎn)是的重心，則，，，故選C7．，即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，可得.故選A.8．如圖，點(diǎn)，，，，，分別是邊，，，，，的中點(diǎn)，這兩個(gè)正四面體公共部分為多面體．三棱錐是正四面體，其棱長(zhǎng)為正四面體棱長(zhǎng)的一半，則這兩個(gè)正四面體公共部分的體積為.故選C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）9．ACD10．BCD11．ABD12．BD【解析】9．由于小王選擇的是每月還款數(shù)額相同的還貸方式，故可知2020年用于房貸方面的支出費(fèi)用跟2017年相同，D錯(cuò)；設(shè)一年房貸支出費(fèi)用為，則可知2017年小王的家庭收入為，2020年小王的家庭收入為，，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，C錯(cuò)；2017、2020年用于飲食的支出費(fèi)用分別為，A錯(cuò)；2017、2020年用于其他方面的支出費(fèi)用分別是，B對(duì)．故選ACD．10．由已知，得.若，則，不滿(mǎn)足，故A錯(cuò)；由，故B正確；當(dāng)時(shí)，且，則，，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，且，則，，所以，所以，則，故D正確.故選BCD.11．，A正確；已知所以即，D正確；若為銳角三角形，所以，若為直角三角形或鈍角三角形時(shí)可類(lèi)似證明，B正確；，所以，C錯(cuò)．故選ABD.12．因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，但是，所以不是周期為的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，且在連續(xù)，故在單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，令得，,因此，在內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，令，，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞增.當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以，故D正確.故選BD.三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13． 14．15． 16．，【解析】13．展開(kāi)式的通項(xiàng)為令，則，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為故答案為.14．由已知，當(dāng)時(shí)，，不等式等價(jià)于又定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以或，解得或則不等式的解集為故答案為.15．因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，，所以，因?yàn)?，又，所以，所以．又，所以根?jù)題意可知異面直線與所成角為，根據(jù)余弦定理得，故答案為.16．如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，，所以，所以，可得，，；的焦距為，所以，.設(shè)，則，又由，得，所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即．故答案為，.四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?2分又因?yàn)?，所以?3分所以的面積． 5分（2）由（1）可得，所以 8分因?yàn)?，所以?9分所以當(dāng)時(shí)，有最大值1． 10分18．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，，，依次構(gòu)成等差數(shù)列，所以，則， 2分因?yàn)?，所以，解?4分由，即，所以，解得 5分所以 6分（2）選① 7分 9分 12分選② 7分（*） 9分可得 11分所以 12分選③ 9分 12分19．解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，則////，且 2分所以四邊形為平行四邊形，所以//，又面，面所以//面. 4分（2）面，則，，是圓柱底面的直徑，是弧的中點(diǎn)，所以，為中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 5分設(shè)，則，，， 6分，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，則，，則 8分，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，解得，取，則，則 10分所以. 11分所以銳二面角的余弦值為. 12分20．解：（1） 2分 3分（2）由題意樣本方差，故，所以， 4分由題意，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.所以//面. 6分（3）所有可能取值為，，，. 7分 9分隨機(jī)變量的分布列為0123 11分 12分21．解：（1），，，令，得當(dāng)，，在單調(diào)遞減當(dāng)，，在單調(diào)遞增所以是的極小值點(diǎn)同時(shí)也是最小值點(diǎn)，即 2分當(dāng)，即時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)； 3分因?yàn)?，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，取，，得?dāng)，，在單調(diào)遞增當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以對(duì)，，所以，即所以，所以?xún)?nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn). 5分綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn). 6分方法一：恒成立，即 7分所以構(gòu)造，所以，在上單調(diào)遞增只需，即恒成立 8分令， 9分當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，即 11分又，所以. 12分方法二：，有，則當(dāng)時(shí)， 7分令，所以在單調(diào)遞減， 8分注意到，所以.（必要性） 9分下面證明（）令，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減所以，