3．3．2拋物線的幾何性質(zhì)課程標準學習目標能通過拋物線的方程推出它的簡單幾何性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想.（1）掌握拋物線的幾何性質(zhì).（2）會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.知識點01拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線標準方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標的橫坐標滿足不等式；當x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線（）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點：坐標原點拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標是．離心率：．拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標準方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．【即學即練1】（多選題）（2023·高二課時練習）對標準形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（）A．焦點在y軸上B．焦點在x軸上C．拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為【答案】BD【解析】由拋物線的焦點坐標為，位于軸上，所以A不滿足，B滿足；對于C中，設(shè)是拋物線上一點，為焦點，則，所以C不滿足對于D中，由于拋物線的焦點為，若由原點向該直線作垂線，垂足為，設(shè)過該焦點的直線方程為，則，此時該直線存在，所以D滿足．故選：BD.知識點02拋物線標準方程幾何性質(zhì)的對比圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點離心率準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點到準線的距離；恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應(yīng)找到相當于的值，才易于確定焦點坐標和準線方程．【即學即練2】（多選題）（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，且A在x軸上方，過A、B分別作的準線的垂線，垂足分別為、，則（

）A．B．若，則A的縱坐標為4C．若，則直線AB的斜率為D．以為直徑的圓與直線AB相切于F【答案】BCD【解析】由題意可得：拋物線：的焦點，準線，設(shè)直線AB為，則，聯(lián)立方程，消去y可得：,則，對A：∵，∴，∴不相互垂直，A錯誤；對B：∵，則或（舍去），∴A的縱坐標為4，B正確；對C：∵，且，∴，則，解得或（舍去），故直線AB的斜率，C正確；對D：∵，∴的中點到直線AB的距離，又∵，故以為直徑的圓與直線AB相切于F，D正確；故選：BCD.知識點03焦半徑公式設(shè)拋物線上一點的坐標為，焦點為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】【即學即練3】（2023·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)第四象限的點為拋物線上一點，為焦點，若，則（

）A．4 B． C． D．32【答案】B【解析】由拋物線的方程可得焦點坐標為，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，將的坐標代入拋物線的方程：，所以，又因為在第四象限，所以.故選：.知識點04直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點．（2）直線的斜率存在．設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù)．①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點．②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．【即學即練4】（2023·全國·高二課堂例題）（1）求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程.（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合.【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在.設(shè)直線斜率為，則切線方程為，由消去x，得.當時，此時直線，與拋物線只有一個公共點；當時，所以，解得，即過M點的切線有兩條.所求直線l的方程為或.綜上所述，所求直線l的方程為，或，或.（2）因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組只有一組實數(shù)解，消去y，得，即①.當，即時，直線為，直線與曲線恰一個公共點；當，即時，由，解得（舍去）或.當時，由方程①化為，解得，代入直線方程為，解得，即此時直線與曲線恰一個公共點.綜上，實數(shù)a的取值集合是.知識點05直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【即學即練5】（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學校考期中）已知拋物線的方程為，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【解析】如下圖所示：易知，不妨設(shè)；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點弦公式可得；代入計算可得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】1、點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上題型一：拋物線的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·山東聊城·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點坐標為，斜率為2的直線與拋物線交于兩點，則（

）A．拋物線的準線方程為B．若經(jīng)過點，則線段的長為10.C．線段的中點在直線上D．以線段為直徑的圓一定與軸相交【答案】BC【解析】對A：由拋物線，可得其焦點坐標為，準線為，A錯誤；對B：若經(jīng)過點，則，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，B正確；對C：∵直線的斜率為2，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，故線段的中點的縱坐標為，即線段的中點在直線上，C正確；對D：不妨設(shè)點A在第一象限，如圖，過點作準線的垂線，垂足為，交y軸于點，則線段的中點到y(tǒng)軸的距離，故以線段為直徑的圓一定與軸相切，D錯誤.故選：BC.例2．（多選題）（2023·高二?？颊n時練習）下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（

）A．焦點在x軸上B．焦點到準線的距離等于10C．拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標可能為【答案】ACD【解析】拋物線的焦點在x軸上，，正確，錯誤；設(shè)是上的一點，則，所以正確；由于拋物線的焦點為，過該焦點的直線方程為，若由原點向該直線作垂線，垂足為時，則，此時存在符合題意的垂線，所以正確.故選：.例3．（多選題）（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知平面內(nèi)到定點比它到定直線：的距離小1的動點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于軸對稱C．當點在曲線上時， D．當點在曲線上時，點到直線的距離【答案】AB【解析】由題意可知：動點到定點與它到定直線：的距離相等，由拋物線定義，知曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為，所以A，B正確；由知，點到直線的距離，所以C，D錯誤．故選：AB．變式1．（多選題）（2023·甘肅蘭州·高二?？计谀╆P(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標為 C．準線為 D．對稱軸為軸【答案】AD【解析】對選項A，，開口向左，故A正確；對選項B，，焦點為，故B錯誤；對選項C，，準線方程為，故C錯誤；對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD變式2．（多選題）（2023·全國·高二專題練習）（多選）平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對稱C．當點在曲線上時，D．當點在曲線上時，點到直線的距離【答案】AB【解析】由拋物線定義，知曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為，故A正確；若點在曲線上，則點也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對稱，故B正確；由知，故C錯誤；點到直線的距離，所以D錯誤故選：AB變式3．（多選題）（2023·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，點)在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標為【答案】AC【解析】由題可知,由，，所以，.故選：AC．題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例4．（2023·全國·高二隨堂練習）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有幾條？【解析】當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時與拋物線只有一個公共點，符合題意．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，得，當時，符合題意；當時，由，可得，即當時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有條．例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知點和拋物線，求過點A且與拋物線C相切的直線l的方程．【解析】當直線l的斜率不存在時，由直線l過點可知，直線l就是y軸，其方程為．由消去未知數(shù)x得．這是一個一元二次方程且只有唯一的實數(shù)解，所以直線與拋物線C相切．如果直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由方程組消去x，整理得．為了使得這個方程是一元二次方程且只有一個實數(shù)解，必須有且，因此可解得．此時直線l的方程為，即．綜上可知，直線l的方程為或．例6．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習）已知曲線C：y=x22x+3，直線l：xy4=0，在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最短，并求出最短距離.【解析】點P到直線l的距離最短，故點P是在曲線C上平行于直線l的切線的切點.設(shè)由切線平行于直線l得：且故∴所求最短距離變式4．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點時的相應(yīng)取值范圍.【解析】（1）設(shè)是軌跡上的任意一點，因為點到點的距離比它到的距離多，可得，即，整理得，所以點的軌跡的方程為.（2）在點軌跡中，記，因為斜率的直線過定點，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當時，，此時，可得直線與軌跡恰好有一個公共點；當時，可得，不妨設(shè)直線與軸的交點為，令，解得，若直線與軌跡恰好有一個公共點，則滿足，解得或，綜上，當時，直線與軌跡恰好有一個公共點.變式5．（2023·高二課時練習）已知拋物線的方程為，直線l過定點，斜率為k.當k為何值時，直線l與拋物線有一個公共點，有兩個公共點，沒有公共點？【解析】由題意，可設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，則，當時，即，解得或，此時方程只有一個實數(shù)解，即直線與拋物線只有一個公共點；當時，即，解得或，此時方程兩個不等的實數(shù)解，即直線與拋物線兩個公共點；當時，即，解得，此時方程沒有實數(shù)解，即直線與拋物線沒有公共點，綜上可得：當或，直線與拋物線只有一個公共點；當或，直線與拋物線兩個公共點；當，直線與拋物線沒有公共點.題型三：中點弦問題例7．（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因為線段的中點坐標為，所以，則，故直線的斜率為2.例8．（2023·陜西商洛·高二校考期末）直線：與拋物線：交于，兩點，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點，且弦的中點的縱坐標為，求的斜率．【解析】（1）因為M的焦點為，且直線l：經(jīng)過點，所以經(jīng)過的焦點．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，則，解得．所以M的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減，得．因為，所以l＇的斜率為.例9．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【解析】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即變式6．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．【解析】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.變式7．（2023·高二課時練習）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且線段AB恰好被點平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關(guān)于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設(shè)拋物線上存在點C，D滿足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設(shè)，則，于是線段的中點坐標為，顯然點在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點C，D，使得C，D關(guān)于直線l對稱.變式8．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，當軸時，．(1)求拋物線的方程；(2)當線段的中點的縱坐標為時，求直線的方程．【解析】（1）由題意得，當軸時，，兩點的橫坐標為，當時，，解得，，解得，故拋物線的方程為；（2）由（1）得，且直線的斜率存在，設(shè)，，且，則，，，即，線段的中點的縱坐標為，，即，，即直線的斜率，直線的方程為，即．變式9．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點，是拋物線C上一點，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且線段的中點坐標為，求直線l的方程．【解析】（1）因為是拋物線C上一點，，且，所以根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點M在第一象限，解得，故拋物線C的方程為．（2）設(shè)，，則兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，則，故直線l的方程為．變式10．（2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與拋物線交于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.【解析】（1）由定義知，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，顯然點在拋物線C內(nèi)，且是線段的中點，所以,因為兩點在拋物線上，所以，由，得，所以，故所求直線的方程為，即.題型四：焦半徑問題例10．（2023·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可得拋物線的準線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A例11．（2023·高二課時練習）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設(shè)，，，，因為，所以，得，①因為，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故選：C例12．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W校考期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則的中點到準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，設(shè)拋物線的準線交軸于點，的中點為，過作準線的垂線使得，，，軸于，設(shè)，又，則，，則，又，則，又，則，即，則，故選：C．變式11．（2023·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，點在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點，拋物線的準線方程為，因為到直線的距離為，則，可得，所以，.故選：C.變式12．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的準線方程為y＝－1，焦點為，設(shè)點P的坐標為，則點Q的坐標為，，由拋物線的定義知，因為，所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點P的坐標為，所以，所以．故選：C．變式13．（2023·全國·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】拋物線的方程為，則其焦點，設(shè)直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因為，所以，所以即，解得：.故選：B.變式14．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且點坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設(shè)，則易知，點為拋物線的焦點，所以當且僅當時，等號成立，所以的取值范圍為.故選：B變式15．（2023·高二課時練習）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點（點在第一象限）．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】設(shè)拋物線的準線為，過點作于點,過點作于點,過點作于點,交軸于點，如圖所示，由，得，解得，所以，.設(shè)，因為，所以,又,故，解得，所以.故選：A.變式16．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，過點的直線交于兩點，當與圓相切時，的中點到的準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，設(shè)直線的方程為.因為直線與圓相切，所以圓心到的距離，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以的中點到的準線的距離為.故選:D變式17．（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于兩點，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】由已知得.顯然，直線不與軸垂直.設(shè)直線.聯(lián)立，得，得.設(shè)，則，得，所以，當且僅當時等號成立，此時，滿足條件，故的最小值為9．故選：B．變式18．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，焦點為F，準線為l，過F的直線交C于A，B兩點，過B作l的垂線交l于點D，若的面積為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】焦點,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程得，設(shè),則，所以，故，，化簡得，所以，由，所以,故，故選：B變式19．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設(shè)，則.因為，所以，所以，所以，即.所以，拋物線為，焦點為，準線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯(lián)立方程得，解得，所以，，所以，故選：B題型五：弦長問題例13．（2023·全國·高二專題練習）過點作兩條直線與拋物線相切于點A，B，則弦長等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】由題意直線斜率存在，可設(shè)過點的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，解之得，如圖所示，設(shè)，則，當時，，即，當時，，即，所以.故選：A例14．（2023·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線上的動點，且點在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由知，則直線為，設(shè)，則D到直線的距離為，又點在的右下方，所以，聯(lián)立方程，消元得，設(shè)，則，，所以，所以故當時，有最大值.故選：A例15．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┤鐖D，設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則（

）A．2 B． C．5 D．【答案】D【解析】如圖，過點作垂直于準線，由拋物線定義得.因為是的中點，所以，所以，焦點，則直線的方程為，聯(lián)立消去得.設(shè)，所以，得，故選：D.變式20．（2023·廣東廣州·高二執(zhí)信中學校考期末）已知拋物線的焦點為，過且斜率大于零的直線與及拋物線的所有公共點從左到右分別為點，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由題意可得，設(shè)直線的方程為，由題意可得直線與拋物線必有2個交點，與拋物線相切，聯(lián)立方程組，可得，所以，解得，故直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以.故選：C.變式21．（2023·高二課時練習）過拋物線的焦點F作傾斜角是的直線，交拋物線于A，B兩點，則（

）A．8 B． C． D．16【答案】D【解析】根據(jù)拋物線方程得：焦點坐標，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，，，由得，所以，，所以弦長．故選：D．變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，過作準線于，過作準線于，由拋物線的焦點，準線方程為，由拋物線的定義可得，所以，代入拋物線方程得若，直線的斜率為，則直線方程為，即聯(lián)立得，則，所以，則；若，直線的斜率為，則直線方程為，即聯(lián)立得，則，所以，則；綜上，.故選：C.變式23．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于、兩點，且點到的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點為，準線為，設(shè)點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，所以，點到直線的距離為，則，所以，，因此，，故選：C.變式24．（2023·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學?？计谥校┮阎獟佄锞€C：的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則（

）A．9 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】由題設(shè)，故直線，則，聯(lián)立拋物線得：，則，得或，由過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，故，則，所以.故選：A變式25．（2023·高二課時練習）已知直線與拋物線交于A，B兩點，若（為坐標原點）的面積為，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由題知直線過拋物線的焦點，所以，聯(lián)立方程得，顯然，設(shè)，則，所以，因為原點到直線的距離為，所以，，解得.故選：D變式26．（2023·云南昆明·高二?？茧A段練習）已知拋物線，直線經(jīng)過焦點交于兩點，其中點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：拋物線過點，，解得：，，，直線，即，由得：，解得：或，，；解法二：拋物線過點，，解得：，，，.故選：D.題型六：定點定值問題例16．（2023·全國·高二課堂例題）過的直線與拋物線交于，兩點，，則與的數(shù)量關(guān)系如何?并證明你的結(jié)論．【解析】，證明如下：設(shè)，，直線AB的方程為．聯(lián)立直線AB與拋物線的方程得，，因為，所以，．又，所以，所以直線AN，BN關(guān)于x軸對稱．故．例17．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線上一點P的橫坐標為4，且點P到焦點F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點．【解析】（1）由題可知，點P到拋物線準線的距離為5，因為拋物線的準線方程為，點P的橫坐標為4，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，且，聯(lián)立消去x可得，則，且，即，所以，由，得，即，解得（舍）或，故直線l的方程為，所以直線l必過定點．例18．（2023·寧夏銀川·高二銀川九中校考階段練習）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.(1)求該拋物線的標準方程；(2)若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.【解析】（1）∵拋物線焦點在軸上，且過點，∴設(shè)拋物線方程為（），由拋物線定義知，點到焦點的距離等于5，即點到準線的距離等于5，則，∴，∴拋物線方程為.（2）顯然直線的斜率不為0，又由于直線過點，所以可設(shè)直線的方程為：，由，化簡并整理得，恒成立，設(shè)，，則，則，∴.所以為定值.變式27．（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點，故設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，時，設(shè)兩點的坐標分別為，則，，由題可知，，即，解得，此時滿足，故直線恒過軸上的定點.變式28．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點．(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線與拋物線C交于A，B兩點，在拋物線C上是否存在點Q，使得直線QA，QB分別于y軸交于M，N兩點，且，若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，設(shè)拋物線，因為經(jīng)過點，所以故拋物線的方程為．（2）如圖所示：由可得，設(shè)，，∵，∴，且，．設(shè)拋物線C上存在點，使得直線，分別于y軸交于M，N兩點，且，則，．，∴，即，，故存在點，使得成立．變式29．（2023·高二課時練習）已知點在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.【解析】（1）∵點在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.（2）證明：設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去y可得，，由韋達定理有，，∴，即得證.變式30．（2023·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.（2）由（1）可知，設(shè).因為三點共線，所以，即，即，整理得.因為，所以.由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為關(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點.變式31．（2023·高二課時練習）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標．【解析】（1）點與點的距離比它到直線的距離小，點與點的距離和點到直線的距離相等，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即曲線的方程為：.（2）設(shè)，，，由得：，則，即；，，，；，，即；當時，，恒過定點.題型七：最值問題例19．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線：的焦點為，為上一點，為準線上一點，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點，若，求點到直線距離的最大值．【解析】（1）如圖所示：由題意可知，因為，，由，，可得，由拋物線的定義可知，，解得．則的方程為.（2）如圖所示：在拋物線上，所以，設(shè)直線的方程為，，，將代入，得則，，同理整理得，，直線的方程為，所以直線過定點.當時，點到直線距離最大，且最大距離為，經(jīng)檢驗符合題意.例20．（2023·湖南株洲·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C：（）與圓O：交于A，B兩點，且，直線l過C的焦點F，且與C交于M，N兩點.(1)拋物線C的方程；(2)求的最小值.【解析】（1）設(shè)，根據(jù)拋物線和圓的對稱性得，由，解得，故點在拋物線：上，所以，解得，故拋物線：；（2）由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，消去得，則，，故，則，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為.例21．（2023·高二課時練習）已知O為坐標原點，位于拋物線C：上，且到拋物線的準線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求的最小值以及此時直線l的方程．【解析】（1）根據(jù)題意可得，又，解方程組得，，故所求拋物線C方程，（2）設(shè)點，，拋物線的焦點坐標為．當直線l的斜率等于0時，不存在兩個交點，不符合題意；當直線l的斜率不等于0時，不妨設(shè)過拋物線焦點的直線l的方程為：；聯(lián)立拋物線方程可得，消去x得：，，得，由韋達定理得，，易知，故．所以當時，取得最小值為13．此時直線l的方程為．變式32．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┰O(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點，且.(1)求p；(2)設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，可得，所以，，所以，即，因為，解得；（2）由（1）得拋物線，因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，，由，可得，所以，，，因為，所以，即，亦即，將，代入得，，，所以，且，解得或，設(shè)點到直線的距離為，則，，所以的面積，而或，所以當時，的面積.變式33．（2023·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點，點P到E的準線的距離為5．(1)求E的標準方程；(2)設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為E的焦點，A，B為E上異于P的兩點，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點；（ii）求的最小值．【解析】（1）由題可知，解得.所以的標準方程為；（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當直線斜率存在時，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過定點；當直線的斜率不存在時，可得.綜上，直線過定點.（ii）設(shè)，當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以.所以，所以當時，的最小值為；當直線斜率不存在時，.由拋物線定義知.故的最小值為.變式34．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，點在拋物線上，且點到拋物線的焦點的距離為.(1)求；(2)設(shè)圓，點是圓上的動點，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩點，求的面積的最大值.【解析】（1）由題知準線方程為，則，得.（2）拋物線的方程為，把點代入到拋物線方程，，又，所以，則點的坐標為，依題知過點的直線斜率必存在，設(shè)過點的直線方程為，設(shè)，，的圓心為，半徑，則圓心到該直線的距離為，

由直線與圓相切，所以，解得，，

聯(lián)立，消y得，，則，又，不妨設(shè)，同理，

故，，得，所以直線：，即，

（定值），要使的面積最大，則中邊上的高最大即可，又因為圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的最大值為，即中邊上的高的最大值為,所以.

變式35．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為且.(1)求拋物線的方程；(2)過直線上的點作拋物線的兩條切線，設(shè)切點分別為，，求點到直線的距離的最大值.【解析】（1）拋物線的準線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）記，，則可設(shè)直線，由消去并整理得，則由題意得，又得，所以直線的方程為，同理，直線的方程為，若設(shè)，則，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離，即，當，即時，；當時，因為則即，所以且；綜上，.所以點到直線的距離的最大值為5.變式36．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知動圓過定點，且與直線相切．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)過點且斜率為的兩條直線分別交曲線于點，點分別是線段的中點，若，求點到直線的距離的最大值．【解析】（1）由題意知：動圓圓心到定點的距離與到直線的距離相等，動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，動圓圓心的軌跡的方程為：.（2）設(shè)直線，，，由得：，則，，，，同理可得：，直線，又，直線，直線恒過定點，點到直線距離的最大值為.一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】因為拋物線的焦點為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標準方程為，因為直線過焦點且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標準方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達定理得，，所以弦長.故選：A2．（2023·高二課時練習）已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【解析】拋物線的準線為，又圓與該拋物線的準線相切,圓心到準線的距離：.故選：D.3．（2023·高二課時練習）過拋物線的焦點F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點，若，則直線AB的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別過A，B兩點作橫軸的垂線，垂足分別為，設(shè)直線AB的傾斜角為，由題意可設(shè)，因為，所以為鈍角，如下圖所示：由，因為，所以有，所以，在直角三角形中中，，所以．故選：C4．（2023·高二課時練習）已知直線與拋物線相交于兩點，若線段的中點坐標為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由得：，線段的中點為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.5．（2023·云南楚雄·高二校考階段練習）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.過點A作AM垂直于準線于點M，過點B作BN垂直于準線于點N，由拋物線定義可知，，∴.故選：C6．（2023·高二課時練習）過拋物線：上一點作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【解析】設(shè)，，故，則因為在拋物線上，所以，所以，所以，解之，得，故選：C.7．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)，因為，所以，過點分別作準線于點，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故，故，的最小值為.故選：B8．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【解析】因為線段的垂直平分線交于兩點，所以結(jié)合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設(shè)點且則線段的垂直平分線方程為，令與軸交于點,又，則在直角三角形中繼而可得，所以點坐標為，代入拋物線，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長為.故選：A.二、多選題9．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點【答案】ABC【解析】如圖所示：對選項A，拋物線的焦點為，所以直線l的方程為，故A正確；對選項B，，故B正確.對選項C，聯(lián)立，設(shè)，，則，，所以，故C正確.對選項D，，故D錯誤.故選：ABC10．（2023·高二課時練習）以軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由題意，若，則焦點為，故，所以，即；若，則焦點為，故，所以，即；綜上，，則.故選：AB11．（2023·高二課時練習）已知拋物線經(jīng)過點，其焦點為，過點的直線與拋物線交于點，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為拋物線經(jīng)過點，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD12．（2023·全國·高二專題練習）已知為坐標原點，拋物線的焦點到其準線的距離為4，過點作直線交于，兩點，則（

）A．的準線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【解析】由題意得，，則的準線為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯誤；，當時，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2023·高二課時練習）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，且，則直線l的傾斜角為．【答案】【解析】如圖，直線為拋物線的準線，過點分別作垂直于，