§4.2不等式的解法第4章不等式及應(yīng)用1.理解一元一次不等式（組）、一元二次不等式、分式不等式、含絕對(duì)值不等式的定義。2.會(huì)求解一元一次不等式（組）、一元二次不等式、分式不等式、含絕對(duì)值不等式。學(xué)習(xí)目標(biāo)內(nèi)容提要不等式的解法一元一次不等式一元一次不等式組一元二次不等式分式不等式含絕對(duì)值的不等式1.一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式4.2.1一元一次不等式例如：2x>1；5x－2≥0；等都是一元一次不等式.2.一元一次不等式的解法

求不等式的解集稱為解不等式4.2.1一元一次不等式對(duì)于一元一次不等式，可以經(jīng)過(guò)同解變形，如去分母、去括號(hào)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)等，即可求得解集。2*

.一元一次不等式的解法4.2.1一元一次不等式一般地,一元一次不等式,經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后,都可以化成ax>b(ａ≠0)

的標(biāo)準(zhǔn)形式.根據(jù)不等式性質(zhì)可知:2*

.一元一次不等式的解法4.2.1一元一次不等式4.2.1一元一次不等式舉例

例1

解下列不等式:

（1）5ｘ＞10；（2）13－9ｘ≥2+2ｘ.4.2.1一元一次不等式舉例

例1

解下列不等式:（答案）

解:(1)兩邊同除以5,得ｘ>2,

所以,原不等式的解集為｛ｘ｜ｘ>2｝,

用區(qū)間表示為(2,+∞).(2)移項(xiàng)整理,得–9ｘ－2ｘ≥2－13,

－11ｘ≥－11,

兩邊同除以－11,得ｘ≤1,

所以,原不等式的解集為｛ｘ｜ｘ≤1｝,

用區(qū)間表示為(－∞,1].4.2.1一元一次不等式舉例

例2

解下列不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。4.2.1一元一次不等式舉例

例2：解不等式（答案）

這個(gè)解集在數(shù)軸上表示如下:提示：此題先去分母會(huì)比較簡(jiǎn)單哦解（略）4.2.1一元一次不等式想一想，練一練解下列一元一次不等式:(1)5－3x>11(2)2x+3≤x－7,2.求下列一元一次不等式的解集,并用區(qū)間表示:(2)2x－3≤5(1－2x).（1）4.2.2一元一次不等式組1.一元一次不等式組的定義

由幾個(gè)一元一次不等式聯(lián)立所組成的不等式組叫做一元一次不等式組.等都是一元一次不等式組.例如4.2.2一元一次不等式組2.一元一次不等式組的解法

求一元一次不等式組的解集的步驟是：①先求出不等式組中各個(gè)不等式的解集②然后再求出各個(gè)解集的交集,就得到不等式組的解集.4.2.2一元一次不等式組兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集有以下四種情形(設(shè)ａ<ｂ):．

的解集為｛ｘ|ｘ>ｂ｝,的解集為｛ｘ|ａ<ｘ<ｂ｝,區(qū)間表示為(ａ,ｂ);（1）（2）區(qū)間表示為(ｂ,+∞);4.2.2一元一次不等式組兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集有以下四種情形(設(shè)ａ<ｂ):．

的解集為｛ｘ|ｘ<ａ｝,

區(qū)間表示為(-∞,ａ);的解集為（3）（4）4.2.2一元一次不等式組．

舉例例3：求下列不等式組的解集,并用區(qū)間表示:（1）（2）4.2.2一元一次不等式組．

舉例例3：求下列不等式組的解集,并用區(qū)間表示（答案）（1）原不等式組可化為∴原不等式組的解集為｛ｘ｜－2<ｘ<1｝.

用區(qū)間表示為(－2,1),如下圖（a)所示.解:（2）原不等式組可化為∴原不等式組的解集為｛ｘ｜－1≤ｘ<1｝.

用區(qū)間表示為[－1,1),如下圖(ｂ)所示.4.2.2一元一次不等式組想一想，練一練求下列不等式組的解集，并用區(qū)間表示2.求下列一元一次不等式組的解集,并用區(qū)間表示:4.2.3一元二次不等式1.一元二次不等式的定義含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是:4.2.3一元二次不等式1.一元二次不等式的定義

例如.(2x+1)(x-3)＞0等都是一元二次不等式.4.2.3一元二次不等式舉例

例１解一元二次不等式:(1)(2)4.2.3一元二次不等式舉例

例１解一元二次不等式:（答案）

或②略解:(1)

因式分解得(x+3)(x–5)>0.原不等式化為以下兩個(gè)等價(jià)的一元一次不等式組:所以原一元二次不等式的解集是不等式組①和②的解集的并集.即(-∞,-3)∪(5,+∞).①分別解以上兩個(gè)一元一次不等式組……..（略）

或②略解:(2)

因式分解得(x+3)(x–5)＜0.原不等式化為以下兩個(gè)一元一次不等式組:

所以原一元二次不等式的解集是不等式組①和②的解集的并集.即(－3,5)∪Φ＝（－3，5）①分別解以上兩個(gè)一元一次不等式組(略)……….4.2.3一元二次不等式2.可分解因式的一元二次不等式的解法一元二次不等式化為其一般式不等式左邊分解因式等價(jià)的一元一次不等式組求解一元一次不等式組求得解集4.2.3一元二次不等式舉例

例2

解不等式4.2.3一元二次不等式舉例

例2

解不等式（答案）即：或②

解:

原不等式可化為

因式分解得(x+2)(x–2)≥0.

原不等式化為以下兩個(gè)一元一次不等式組:①所以原一元二次不等式2x2≥8的解集是不等式組①和②的解集的并集，∪(-∞,-2].即[2,+∞)分別解以上兩個(gè)一元一次不等式組（略）…….4.2.3一元二次不等式想一想，練一練求下列一元二次不等式組的解集,并用區(qū)間表示.(1)(x+2)(x–3)<0（2）4x2－17x－15≤0（3）2（x2－3）≥x4.2.4分式不等式1.分式不等式的定義(一)

在分式的分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式。

例如:等都是分式不等式.4.2.4分式不等式1*

.分式不等式的定義(二)一般地，若f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，則不等式＞0和＜0稱為分式不等式.4.2.4分式不等式2

.分式不等式的解法

本節(jié)僅討論線性分式不等式:

或4.2.4分式不等式2

.分式不等式的解法

分式不等式恒等變形左邊一個(gè)分式右邊為0化為等價(jià)的兩個(gè)一元一次不等式組符號(hào)規(guī)律求解一元一次不等式組得到所求解4.2.4分式不等式2

*

.分式不等式的解法

思路點(diǎn)撥:轉(zhuǎn)化為分式不等式有理整式不等式如果能直接判斷分子(或分母)的符號(hào),可直接用分子(或分母)求解否則，應(yīng)化為以下形式：4.2.4分式不等式2

*

.分式不等式的解法

f(x)g(x)>0（1）（2）f(x)g(x)>0或f(x)=0.4.2.4分式不等式舉例例解下列分式不等式：（1）（2）4.2.4分式不等式舉例例解下列分式不等式（答案）.略解:（1）要使原分式不等式可化為以下兩個(gè)一元一次不等式組：或②必須使分式的分子、分母的符號(hào)相反．①

所以原分式不等式的解集是不等式組①和②分別解以上兩個(gè)一元一次不等式（略）的解集的并集,即Φ∪（－，3）＝（－，3）略解:（2）原分式不等式可化為原分式不等式可化為以下兩個(gè)一元一次不等式組：或②①

所以原分式不等式的解集是不等式組①和②分別解以上兩個(gè)一元一次不等式……（略）的解集的并集,即(2,+∞)∪(-∞,-1)要使，必須使分式的分子、分母的符號(hào)相同4.2.4分式不等式舉例例＊

解分式不等式.4.2.4分式不等式舉例例＊

解分式不等式（答案）.略解：原分式不等式化為

整理得：∴原分式不等式可化為以下兩個(gè)一元一次不等式組：①或②分別解以上兩個(gè)一元一次不等式組，并求其并集得原分式不等式的解集為：Φ∪(-3,3)=(-3,3).4.2.4分式不等式.想一想，練一練解下列分式不等式:（1）（4）＊

（3）（2）4.2.5絕對(duì)值不等式.1.含有絕對(duì)值的不等式在絕對(duì)值的符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫做含有絕對(duì)值的不等式

例如：等都是含絕對(duì)值的不等式．4.2.5絕對(duì)值不等式.2.含有絕對(duì)值的不等式的解法本節(jié)僅討論型的不等式的解法思路點(diǎn)撥解含絕對(duì)值不等式的基本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式來(lái)解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)公式法4.2.5絕對(duì)值不等式2.含有絕對(duì)值的不等式的解法根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義推導(dǎo)絕對(duì)值不等式求解公式：在實(shí)數(shù)集中，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有:（1）絕對(duì)值的定義：★（2）絕對(duì)值的幾何意義：

數(shù)x的絕對(duì)值|x|，在數(shù)軸上等于對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離4.2.5絕對(duì)值不等式2.含有絕對(duì)值的不等式的解法例如：在數(shù)軸上標(biāo)出不等式|x|＜2；|x|＞2及|x|＝2所表示的點(diǎn)集|x|=2表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)的集合（為－2與2兩個(gè)點(diǎn)）4.2.5絕對(duì)值不等式不等式|x|＜2表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于2的點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖(b)02－2x(b)不等式|x|＞2表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖(C)x－220(C)2.含有絕對(duì)值的不等式的解法4.2.5絕對(duì)值不等式2.含有絕對(duì)值的不等式的解法(公式）一般地，如果a>0,則2.含有絕對(duì)值的不等式的解法(公式）這兩個(gè)公式的前提條件是a>0，若忽視這一點(diǎn)就會(huì)出錯(cuò)。4.2.5絕對(duì)值不等式！如由|x|＜－2得出－2＜x＜2則是錯(cuò)誤的，事實(shí)上，這個(gè)不等式的解集是空集。所以，解絕對(duì)值不等式時(shí)，必須注意這一隱含條件。舉例

解下列含絕對(duì)值的不等式：4.2.5絕對(duì)值不等式（1）

（2）舉例

解下列含絕對(duì)值的不等式：（答案）

4.2.5絕對(duì)值不等式解：（1）原不等式可化為－10≤2x－500≤10,不等式兩邊分別加上500，得490≤2x≤510,不等式兩邊分別除以2，得245≤x≤255.所以不等式|2x－500|≤10的解集為｛ｘ｜245≤x≤255｝，用區(qū)間表示為[245，255]。利用整體思想，將看成整體“2x－500”利用整