第七章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的是().①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的;②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等;③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等;④樣本點(diǎn)總數(shù)為n,若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn),則P(A)=knA.②④ B.①③④C.①④ D.③④答案:B2.已知事件A,B,若P(A)=15,P(B)=12,P(A∪B)=710,則A,B之間的關(guān)系一定為(A.兩個(gè)任意事件B.互斥事件C.互斥但不對(duì)立事件D.非對(duì)立事件解析:因?yàn)镻(A)+P(B)=15+12=710=P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系可能為互斥事件,但A,B一定不是對(duì)立事件.因?yàn)镻(A)答案:D3.已知定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的四個(gè)函數(shù)y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,從四個(gè)函數(shù)中任取兩個(gè)函數(shù)相乘,所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是().A.12 B.13 C.35答案:B4.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例,勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年,我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)(a,b,c)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)這10組勾股數(shù)中隨機(jī)抽取1組,則被抽出的這組勾股數(shù)滿足2b=a+c的概率為().A.25 B.79 C.78解析:從這10組勾股數(shù)隨機(jī)抽取1組,共10種抽取方法,其中滿足2b=a+c的有(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4種,故所求概率P=410答案:A5.口袋內(nèi)裝有一些大小、質(zhì)地相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,則摸出黑球的概率是().A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7答案:C6.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,則稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,他們“心有靈犀”的概率為().A.19 B.29 C.718解析:首先要弄清楚“心有靈犀”的實(shí)質(zhì)是|a-b|≤1.由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},則滿足要求的事件可能的結(jié)果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16種,而依題意得樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為36.因此他們“心有靈犀”的概率為1636=49答案:D7.有兩張卡片,一張的正反面分別畫(huà)著老鼠和小雞,另一張的正反面分別畫(huà)著老鷹和蛇,現(xiàn)在有兩個(gè)小孩隨機(jī)地將兩張卡片排在一起放在桌面上,不考慮順序,則向上的圖案是老鷹和小雞的概率是().A.12 B.13 C.14答案:C8.甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是().A.318 B.418 C.518解析:正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線,甲、乙各自任選一條共有36個(gè)樣本點(diǎn).兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和1組對(duì)角線),所以包含10個(gè)樣本點(diǎn).故所求概率為518答案:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.從裝有白球、紅球和黑球各兩個(gè)的口袋內(nèi)一次取出兩球,這些球除顏色外均相同.則下列事件能與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的為().A.兩球都不是白球B.兩球恰有一個(gè)白球C.兩球至少有一個(gè)白球D.兩球都為黑球解析:從裝有白球、紅球和黑球各兩個(gè)的口袋內(nèi)一次取出兩個(gè)球,所有的樣本點(diǎn)為白白,白紅,白黑,紅紅,紅黑,黑黑.除“兩球都不是白球”外,還有其他事件可能發(fā)生,故A與“兩球都為白球”互斥但不對(duì)立.B,D符合,理由同上.兩球至少有一個(gè)白球,其中包含兩個(gè)都是白球,故不互斥,故C不符合.答案:ABD10.在五件產(chǎn)品中,有三件一等品和兩件二等品,從中任取兩件,以710為概率的事件不可能是()A.恰有一件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品解析:將三件一等品編號(hào)為1,2,3,兩件二等品編號(hào)為4,5,從中任取兩件有10種取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有一件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P1=35;恰有兩件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有兩件一等品的概率P2=310,其對(duì)立事件是“至多有一件一等品”,概率P3=1-P2=1-310=710.則至少有一件一等品的概率是P4=P1+P2=910,都不是一等品的概率是P5答案:ABD11.下面說(shuō)法正確的有().A.若P(A)+P(B)=1,則事件A與B是對(duì)立事件B.若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與B是相互獨(dú)立事件C.若事件A與B是互斥事件,則A與B也是互斥事件D.若事件A與B是相互獨(dú)立事件,則A與B也是相互獨(dú)立事件解析:對(duì)于A選項(xiàng),要使A,B為對(duì)立事件,除P(A)+P(B)=1還需滿足P(AB)=0,即A,B不能同時(shí)發(fā)生,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識(shí)可知,B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),A包含于B,所以A與B不是互斥事件,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識(shí)可知,D選項(xiàng)正確.故選BD.答案:BD12.某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(jī)作為樣本,得到頻率分布表如下:組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組[230,235)80.16第二組[235,240)①0.24第三組[240,245)15②第四組[245,250)100.20第五組[250,255]50.10合計(jì)501.00以下結(jié)論正確的有().A.表中①位置的數(shù)據(jù)是12B.表中②位置的數(shù)據(jù)是0.30C.在第三、四、五組中用分層隨機(jī)抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核,則第三組抽取2人D.在第三、四、五組中用分層隨機(jī)抽樣法抽取的6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生,則2人中至少有1名是第四組的概率為0.5解析:①位置的數(shù)據(jù)為50-(8+15+10+5)=12,正確;②位置的數(shù)據(jù)為1550=0.30,B正確;由分層隨機(jī)抽樣得,第三、四、五組參加第二輪考核的人數(shù)分別為3,2,1,C錯(cuò)誤;設(shè)抽取的6人為a,b,c,d,e,f(其中第四組的兩人分別為d,e),則從6人中任取2人的所有情況為ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種.記“2人中至少有1名是第四組的”為事件A,則事件A所含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9.所以P(A)=915=35,故2人中至少有1名是第四組的概率為35答案:AB三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.口袋中裝有100個(gè)大小、質(zhì)地相同的紅球、白球、黑球,其中紅球45個(gè),從口袋中摸出一個(gè)球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為.

解析:摸出紅球的概率為45100=0.45,因?yàn)槊黾t球、摸出白球和摸出黑球兩兩互斥,因此摸出黑球的概率為1-0.45-0.23=0.32答案:0.3214.甲、乙兩人玩“剪刀、石頭、布”游戲,隨機(jī)出手一次,則甲不輸?shù)母怕适?

解析:畫(huà)出樹(shù)狀圖,如圖所示.從樹(shù)狀圖可以看出,所有可能的結(jié)果共有9種,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,P(甲獲勝)=13;P(平局)=13,則玩一局甲不輸?shù)母怕适谴鸢?215.口袋里裝有5個(gè)球,分別標(biāo)記1,2,3,4,5這5個(gè)號(hào)碼,設(shè)號(hào)碼為x的球的質(zhì)量為(x2-5x+30)克,這些球以同等的機(jī)會(huì)(不受質(zhì)量的影響)從口袋里取出.若同時(shí)從袋內(nèi)任意取出2個(gè)球,則它們的質(zhì)量相等的概率是.

解析:設(shè)取出的2個(gè)球的號(hào)碼分別為m,n(m≠n),則有m2-5m+30=n2-5n+30,所以m+n=5.而從5個(gè)球中任意取2個(gè)球的樣本空間為Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},樣本點(diǎn)總數(shù)為10.符合題意的只有兩種,即2個(gè)球的號(hào)碼分別是1,4或2,3.所以所求概率P=210答案:116.小麗和小明一起用A,B兩枚質(zhì)地均勻的小正方體(正方體的每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)玩游戲,記小麗擲出A正方體朝上的數(shù)字為x,小明擲出B正方體朝上的數(shù)字為y,那么他們各擲一次所確定的點(diǎn)P(x,y)落在拋物線y=-x2+4x上的概率為.

解析:小麗擲A正方體一次,小明擲B正方體一次,出現(xiàn)的結(jié)果(x,y)有36種可能,易得在拋物線y=-x2+4x上的點(diǎn)有(1,3),(2,4),(3,3),共3種.因此所求的概率為336答案:1四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)對(duì)一批U盤(pán)進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:抽取件數(shù)a50100200250400500次品件數(shù)b345589次品率b(1)計(jì)算表中各次品率;(2)從這批U盤(pán)中任取一個(gè)是次品的概率約是多少?解:(1)表中次品率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)由(1)計(jì)算得到的次品率知,當(dāng)抽取件數(shù)a越來(lái)越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng),所以從這批U盤(pán)中任抽一個(gè)是次品的概率約是0.02.18.(12分)隨機(jī)地排列數(shù)字1,5,6得到一個(gè)三位數(shù),計(jì)算下列事件的概率:(1)所得的三位數(shù)大于400;(2)所得的三位數(shù)是偶數(shù).解:隨機(jī)排列數(shù)字1,5,6可得三位數(shù):156,165,516,561,615,651,共6個(gè).設(shè)“所得的三位數(shù)大于400”為事件A,“所得的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件B.由古典概型的概率公式可得(1)P(A)=46(2)P(B)=2619.(12分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù),求方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根的概率.解:樣本空間的樣本點(diǎn)共有36個(gè),且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根等價(jià)于a-2>0,16-b2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2>16.設(shè)“一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根”為事件A,則事件A所包含的樣本點(diǎn)為(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4個(gè).故所求概率為P(A)=43620.(12分)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為56和45,且各株大樹(shù)是否成活互不影響,求移栽的4株大樹(shù)中,解:設(shè)Ak表示第k株甲種大樹(shù)成活,k=1,2,Bl表示第l株乙種大樹(shù)成活,l=1,2,則A1,A2,B1,B2相互獨(dú)立,且P(A1)=P(A2)=56,P(B1)=P(B2)=4至少有1株成活的概率P=1-1-21.(12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)(單位:人)如下表:參加演講社團(tuán)情況參加書(shū)法社團(tuán)情況參加書(shū)法社團(tuán)未參加書(shū)法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解:(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書(shū)法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15(人),所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P1=1545(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,樣本空間Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)},共15個(gè)樣本點(diǎn).根據(jù)題意,這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的樣本點(diǎn)有(A1,B2),(A1,B3),共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P2=21522.(12分)如圖,甲、乙是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),甲轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成3個(gè)扇形,乙轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成4個(gè)扇形,每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字.小明和小紅利用它們做游戲,游戲規(guī)則是:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于9,小明獲勝;指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于9,為平局;指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于9,小紅獲勝(如果指針恰好指在分割線上,那么再轉(zhuǎn)一