第2課時

函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理專題歸納·核心突破

知識網(wǎng)絡(luò)

要點(diǎn)梳理1.什么是函數(shù)?函數(shù)的三要素是什么?如何判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)?提示:(1)函數(shù)的定義:給定實(shí)數(shù)集R中的兩個非空數(shù)集A和B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的每一個數(shù)x

,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f稱為定義在集合A上的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.(2)函數(shù)三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.(3)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).2.函數(shù)有哪些表示法?提示:函數(shù)的表示方法:解析法、圖象法、列表法.3.什么是增函數(shù)?什么是減函數(shù)?什么是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間?請完成下表:4.什么是函數(shù)的最大值?什么是函數(shù)的最小值?請完成下表:5.什么是奇函數(shù)?什么是偶函數(shù)?它們的圖象各有什么特征?請完成下表:6.冪函數(shù)的定義是什么?其一般性質(zhì)如何?提示:(1)一般地,形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù),即底數(shù)是自變量、指數(shù)是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).(2)冪函數(shù)的一般性質(zhì):①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義,圖象都過(1,1)點(diǎn);②若α>0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,圖象過(0,0)點(diǎn);若α<0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,圖象不過(0,0)點(diǎn).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a最多有2個交點(diǎn).(

×

)(2)函數(shù)f(x)=x2-2x與g(t)=t2-2t是同一個函數(shù).(

√

)(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(

×

)(5)對于函數(shù)f(x),x∈D,若?x1,x2∈D,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(

√

)(6)在閉區(qū)間上單調(diào)的函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到.(

√

)(7)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù).(

×

)(8)偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).(

×

)(9)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(

√

)(10)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.(

√

)(11)冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(1,1)和(0,0)點(diǎn).(

×

)專題歸納·核心突破專題整合高考體驗(yàn)專題一

求函數(shù)的定義域【例1】

(1)已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是(

)答案:A函數(shù)的定義域是指函數(shù)y=f(x)中自變量x的取值范圍.(1)已給出函數(shù)解析式:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合;(2)復(fù)合函數(shù):要弄清變量的范圍,根據(jù)復(fù)合關(guān)系求解;(3)實(shí)際問題:求函數(shù)的定義域既要考慮使解析式有意義,還要考慮使實(shí)際問題有意義.(2)將長為a的鐵絲折成矩形,求矩形面積y關(guān)于一邊長x的解析式,并寫出此函數(shù)的定義域.專題二

求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用換元法或配湊法.(2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或一元二次函數(shù)),使用待定系數(shù)法.(3)含f(x)與f(-x)或f(x)與

,使用解方程組法.(4)已知一個區(qū)間的解析式,求另一個區(qū)間的解析式,可用奇偶性轉(zhuǎn)移法.專題三

分段函數(shù)問題分析:根據(jù)每一段的范圍分類建立方程求解.分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù),其定義域是各子區(qū)間的并集,值域是各段上值域的并集.解決分段函數(shù)問題,要根據(jù)不同段分類求解.解析:f(x)在區(qū)間(-∞,0),[0,+∞)上都單調(diào)遞增,并且在x=0處函數(shù)圖象連續(xù),所以f(x)在R上是增函數(shù),所以f(2-a2)>f(a)等價(jià)于2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.答案:(-2,1)專題四

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性而f(1)=0,則f(-1)=-f(1)=0.所以當(dāng)x>0時,有f(x)<0=f(1);當(dāng)x<0時,有f(x)>0=f(-1).又f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.∴0<x<1,或-1<x<0.選D.答案:D巧用奇偶性及單調(diào)性解不等式:利用已知條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉(zhuǎn)化為xf(x)<0的形式.根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解.【變式訓(xùn)練4】

定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:②當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0.(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)判定函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上的單調(diào)性.解:(1)由題設(shè)知,f(x)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱,令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)在區(qū)間(-1,1)上是奇函數(shù).(2)設(shè)-1<x1<x2<0,則x2-x1>0.專題五

函數(shù)圖象及應(yīng)用【例5】

對于函數(shù)f(x)=x2-2|x|.(1)判斷其奇偶性,并指出圖象的對稱性;(2)畫出函數(shù)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.分析:(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷;(2)先去絕對值號,然后根據(jù)一元二次函數(shù)圖象的特征畫函數(shù)圖象.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|.則f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象知,函數(shù)f(x)的最小值是-1.單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,0],[1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1],[0,1].【變式訓(xùn)練5】

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).(1)證明:函數(shù)f(x)是偶函數(shù);(2)畫出這個函數(shù)的圖象;(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性;(4)求函數(shù)的值域.(1)證明:∵函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)解:當(dāng)0≤x≤3時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.當(dāng)-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.(3)解:函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3].f(x)在區(qū)間[-3,-1]和[0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-1,0]和[1,3]上單調(diào)遞增.(4)解:當(dāng)0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當(dāng)-3≤x≤0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,2].專題六

冪函數(shù)及其應(yīng)用(1)求出m的值和函數(shù)g(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)=ag(x)+a2x+3(a∈R)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及m∈Z,得到m=0,1,2,再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得m=1即可得到答案;(2)代入g(x)的解析式后,根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象的對稱軸與區(qū)間的端點(diǎn)值的關(guān)系列式可解得.(2)因?yàn)閒(x)=ag(x)+a2x+3=ax2+a2x+3(a∈R)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞增,故a的取值范圍為(-∞,0)∪[4,+∞).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若f(a+1)<f(3-2a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)一

函數(shù)的概念與表示A.2 B.4

C.6

D.8解析:f(x)的大致圖象如圖所示.又f(a)=f(a+1),答案:C答案:2解析:要使式子有意義,則7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7.答案:[-1,7]考點(diǎn)二

函數(shù)的性質(zhì)4.(2021·全國乙高考)設(shè)函數(shù)

,則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

).A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1故該函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(-1,-1).將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-1)+1,其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,即為奇函數(shù).故選B.答案:B解析:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=f(x),答案:C6.(2021·全國甲高考)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則解析:∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)