2022-2023學年山東省泰安市寧陽四中高二（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→ C2．（5分）已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）直線x+y＝0的傾斜角為（）A．45° B．60° C．90° D．135°4．（5分）過點（3，﹣6）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是（）A．2x+y＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+3＝0 D．x+y+3＝0或2x+y＝05．（5分）雙曲線3x2﹣y2＝9的焦距為（）A．6 B．26 C．23 D．436．（5分）拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2-y2A．12 B．32 C．1 D7．（5分）在等差數列{an}中，若a2+a3＝4，a4+a5＝6，則a9+a10＝（）A．9 B．10 C．11 D．128．（5分）設Sn為等比數列{an}的前n項和，a1＝1且a1a2a3＝﹣8，則S5A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）若直線l的方向向量為a→=（1，0，2），平面α的法向量為n→=（﹣2，A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α相交10．（5分）把圓x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半徑減小一個單位長度正好與直線3x﹣4y﹣4＝0相切，則正實數a的值為（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1（多選）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1（m，n∈R），則（）A．當mn＞0時，方程表示橢圓 B．當mn＜0時，方程表示雙曲線 C．當m＝0時，方程表示兩條直線 D．方程表示的曲線不可能為拋物線（多選）12．（5分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an﹣1，數列{2nan?an+1}的前n項和為A．數列{an﹣1}是等比數列 B．數列{an}是等比數列 C．數列{an}的通項公式為an＝2n﹣1+1 D．Tn≥2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為．14．（5分）已知直線l的斜率為16，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為15．（5分）以雙曲線x24-y212=16．（5分）已知數列an=n-1，n為奇數，n，n為偶數，其前n項和為Sn四、解答題：本題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在四棱錐M﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，N是CM的中點，設a→=AB→，b→=AD→，c→=AM→18．（12分）已知正方形的中心為直線x﹣y+1＝0和2x+y+2＝0的交點，正方形一條邊所在直線的方程為x+3y﹣2＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．19．（12分）已知P是直線l：3x+4y+8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的兩條切線，A、B是切點．（1）求四邊形PACB面積的最小值；（2）直線l上是否存在點P，使∠BPA＝60°？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．21．（12分）已知公差不為零的等差數列{an}滿足S5＝35，且a2，a7，a22成等比數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn=4(an-1)(an+3)，且數列{bn}的前n22．（12分）設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）設動直線l：y＝kx+m橢圓C有且僅有一個公共點M，且與直線x＝4相交于點N．試探究：在坐標平面內是否存在定點P，使得以MN為直徑的圓恒過點P？若存在求出點P的坐標，若不存在．請說明理由．

2022-2023學年山東省泰安市寧陽四中高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→ C【解答】解：AB→故選：B．2．（5分）已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），則BC的中點D的坐標為（2，1，4）則AD即為△ABC中BC邊上的中線∵|AD|=(3-2故選：B．3．（5分）直線x+y＝0的傾斜角為（）A．45° B．60° C．90° D．135°【解答】解：∵直線x+y＝0的斜率為﹣1，設直線x+y＝0的傾斜角為α，又0≤α＜180°，∴α＝135°．故選：D．4．（5分）過點（3，﹣6）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是（）A．2x+y＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+3＝0 D．x+y+3＝0或2x+y＝0【解答】解：當直線過原點時，方程為y＝﹣2x，即2x+y＝0．當直線不過原點時，設直線的方程為x+y＝k，把點（3，﹣6）代入直線的方程可得k＝﹣3，故直線方程是x+y+3＝0．綜上，所求的直線方程為x+y+3＝0或2x+y＝0，故選：D．5．（5分）雙曲線3x2﹣y2＝9的焦距為（）A．6 B．26 C．23 D．43【解答】解：雙曲線3x2﹣y2＝9的實半軸a=3，虛半軸b＝3則c=9+3=2雙曲線x2﹣3y2＝9的焦距為：43．故選：D．6．（5分）拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2-y2A．12 B．32 C．1 D【解答】解：∵拋物線方程為y2＝4x∴2p＝4，可得p2=1，拋物線的焦點F（1，又∵雙曲線的方程為x∴a2＝1且b2＝3，可得a＝1且b=3雙曲線的漸近線方程為y＝±bax，即y＝±3化成一般式得：3x±y=0因此，拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線漸近線的距離為d=故選：B．7．（5分）在等差數列{an}中，若a2+a3＝4，a4+a5＝6，則a9+a10＝（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵a2+a3＝（a1+d）+（a1+2d）＝2a1+3d＝4①，a4+a5＝（a1+3d）+（a1+4d）＝2a1+7d＝6②，∴②﹣①得：4d＝2，解得：d=1把d=12代入①，解得：a1則a9+a10＝（a1+8d）+（a1+9d）＝2a1+17d＝2×54+17故選：C．8．（5分）設Sn為等比數列{an}的前n項和，a1＝1且a1a2a3＝﹣8，則S5A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11【解答】解：因為等比數列{an}中，a1＝1且a1a2a3=a2所以a2＝﹣2，q＝﹣2，則S5S故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）若直線l的方向向量為a→=（1，0，2），平面α的法向量為n→=（﹣2，A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α相交【解答】解：由于直線l的方向向量為a→=（1，0，2），平面α的法向量為n→=（﹣2，所以n→故n→∥a→，即由于直線n是平面α的法向量，所以n⊥α，由于n∥l，所以l⊥α，所以l與平面α相交．故選：BD．10．（5分）把圓x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半徑減小一個單位長度正好與直線3x﹣4y﹣4＝0相切，則正實數a的值為（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【解答】解：圓x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的圓心（﹣1，2），半徑r=1圓心（﹣1，2）到直線3x﹣4y﹣4＝0距離為：d=|-3-8-4|9+16∵圓x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半徑減小一個單位則正好與直線3x﹣4y﹣4＝0相切，∴7+a2-1解得a＝±3，又a＞0，∴a＝3．故選：B．（多選）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1（m，n∈R），則（）A．當mn＞0時，方程表示橢圓 B．當mn＜0時，方程表示雙曲線 C．當m＝0時，方程表示兩條直線 D．方程表示的曲線不可能為拋物線【解答】解：對于A，mn＞0時，若m＞0且n＞0，則方程mx2+ny2＝1表示圓或橢圓；若m＜0且n＜0，則方程mx2+ny2＝1不表示任何圖形；所以A錯誤．對于B，mn＜0時，若m＞0且n＜0，則方程mx2+ny2＝1表示焦點在x軸上的雙曲線；若m＜0且n＞0，則方程mx2+ny2＝1表示焦點在y軸上的雙曲線；所以B正確．對于C，m＝0時，若n＞0，則方程mx2+ny2＝1表示兩條曲線；若n≤0，則方程mx2+ny2＝1不表示任何圖形；所以C錯誤．對于D，無論m、n取何值時，方程mx2+ny2＝1都不可能為x或y的一次解析式，所以方程mx2+ny2＝1不可能表示拋物線；所以D正確．故選：BD．（多選）12．（5分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an﹣1，數列{2nan?an+1}的前n項和為A．數列{an﹣1}是等比數列 B．數列{an}是等比數列 C．數列{an}的通項公式為an＝2n﹣1+1 D．Tn≥2【解答】解：因為Sn+1＝Sn+2an﹣1，所以當n＝1時，S2＝S1+2a1﹣1，所以a2＝1，Sn+1﹣Sn＝2an﹣1，即an+1＝2an﹣1，即an+1﹣1＝2（an﹣1），因為a1＝1，所以a1﹣1＝0，所以an＝1，所以數列{an}是等比數列也是等差數列，所以數列{an﹣1}是等差數列，故A不正確，B正確，C不正確；于是2nanan+1故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為55【解答】解：不妨令CB＝1，則CA＝CC1＝2．可得O（0，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，1），∴BC1→=（0，2，﹣1），AB1→∴cos＜BC1→∴BC1→與AB1→的夾角即為直線∴直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為5514．（5分）已知直線l的斜率為16，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為x﹣6y+6＝0或x﹣6y﹣6＝0【解答】解：根據題意，設直線l的方程為xa+所以12|ab|＝3，且-ba=1所以直線l的方程為x-6+y＝1或x6-y＝1，即x﹣6y+6＝0或x﹣6y﹣故答案為：x﹣6y+6＝0或x﹣6y﹣6＝0．15．（5分）以雙曲線x24-y212=1【解答】解：雙曲線x24-y212=1的頂點為（2，0）和（﹣2，0），焦點為（﹣4∴橢圓的焦點坐標是（2，0）和（﹣2，0），頂點為（﹣4，0）和（4，0）．∴橢圓方程為x216故答案為：x21616．（5分）已知數列an=n-1，n為奇數，n，n為偶數，其前n項和為Sn【解答】解：因為an=所以S100＝a1+a2+a3+…+a99+a100＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a98+a100）＝（0+2+4+…+98）+（2+4+6+…+100）＝5000．故答案為：5000．四、解答題：本題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在四棱錐M﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，N是CM的中點，設a→=AB→，b→=AD→，c→=AM→【解答】解：∵N是CM的中點，設a→=AB→，b→底面ABCD是邊長為2的正方形，∴BN=1=-∵在四棱錐M﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，∴|a→|＝|b→|＝2，|c→|＝3，a→?c→=2×3×cos60°＝3，b→?c∴BN→2=（＝1+1+9∴|BN→|=172，即BN18．（12分）已知正方形的中心為直線x﹣y+1＝0和2x+y+2＝0的交點，正方形一條邊所在直線的方程為x+3y﹣2＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．【解答】解：聯(lián)立x-y+1=02x+y+2=0，解得x=-1y=0，可得正方形的中心為設正方形相鄰兩邊的方程為：x+3y+m＝0（m≠﹣2），3x﹣y+n＝0，由正方形的性質可得：|-1+m|10=|-1-2|10=|-3+n|10，解得m＝4∴正方形其他三邊所在直線的方程為：x+3y+4＝0，3x﹣y＝0，3x﹣y+6＝0．19．（12分）已知P是直線l：3x+4y+8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的兩條切線，A、B是切點．（1）求四邊形PACB面積的最小值；（2）直線l上是否存在點P，使∠BPA＝60°？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．【解答】解：圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓．由于四邊形PACB面積等于2×12PA×AC＝PA，而PA故當PC最小時，四邊形PACB面積最小．又PC的最小值等于圓心C到直線l：3x+4y+8＝0的距離d，而d=|3+4+8|9+16故四邊形PACB面積的最小的最小值為9-1=（2）假設存在一點使∠BPA＝60°，此時∠CPA＝30，根據直角三角形性質可知，圓心到直線上P（x，y）點距離為半徑2倍，也就是2，可見它小于圓心到直線的最短距離3，因此該點不存在．20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，可得VA設A到平面A1BC的距離為d，由VA∴13S△A1BC?d=43，∴13（2）連接AB1交A1B于點E，∵AA1＝AB，∴四邊形ABB1A1為正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B為坐標原點，BC，BA，BB1所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，∵AA1＝AB，∴BC×2AB×12=22，又12AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），則BA→=（0，2，0），BD→=（1，1，1），BC→=（設平面ABD的一個法向量為n→=（x，y，則n→?BA→=2y=0n→?BD→=x+y+z=0，令x∴平面ABD的一個法向量為n→=（1，0，﹣設平面BCD的一個法向量為m→=（a，b，m→?BC→=2a=0m→?BD→=a+b+c=0，令b平面BCD的一個法向量為m→=（0，1，﹣cos＜n→，二面角A﹣BD﹣C的正弦值為1-21．（12分）已知公差不為零的等差數列{an}滿足S5＝