第一章2023第2課時(shí)用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握直線的方向向量和平面的法向量的求法.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面之間的垂直關(guān)系.4.體會(huì)向量方法在研究直線、平面的位置關(guān)系中的應(yīng)用.5.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)空間中直線、平面的垂直1.設(shè)空間兩條直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,兩個(gè)平面α,β的法向量分別為n1,n2.類似空間中直線、平面平行的向量表示,試根據(jù)直線的方向向量、平面的法向量的定義回答下列問題:(1)如何用u1,u2表示l1⊥l2?提示:l1⊥l2?u1⊥u2.(2)如何用u1,n1表示l1⊥α?提示:l1⊥α?u1∥n1(3)如何用n1,n2表示α⊥β?提示:α⊥β?n1⊥n22.空間中直線、平面的垂直

3.(1)若直線l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交(2)若平面α,β的法向量分別為m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,則x的值為(

)解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,∴n∥a.∴l(xiāng)⊥α.(2)∵α⊥β,∴它們的法向量互相垂直.∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故選B.答案:(1)B

(2)B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若兩條直線的方向向量互相垂直,則這兩條直線垂直.(√)(2)若直線的方向向量與平面的法向量垂直,則直線與平面垂直.(×)(3)若兩個(gè)平面垂直,則這兩個(gè)平面的法向量所成的角一定是90°.(√)(4)若兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(×)(5)若平面α,β的法向量分別為n1=(1,0,1),n2=(0,2,0),則α⊥β.(√)合作探究釋疑解惑探究一利用向量證明線線垂直【例1】

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.則{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底.由已知條件和正三棱柱的性質(zhì),得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.證法二:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為O,連接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于點(diǎn)O1.由題意知,可以以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.反思感悟

利用空間向量證明兩條直線垂直的常用方法及步驟:(1)基向量法①選取三個(gè)不共線的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底;②把兩條直線的方向向量用基底表示;③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩條直線垂直.(2)坐標(biāo)法①根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩條直線方向向量的坐標(biāo);③計(jì)算兩條直線方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩直線垂直.【變式訓(xùn)練1】

如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中點(diǎn).在DD1上是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥DC1?并說明理由.

解:存在點(diǎn)N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C1(0,2,3),M.假設(shè)在DD1上存在一點(diǎn)N,使MN⊥DC1.設(shè)N(0,0,h),0≤h≤3,探究二利用向量證明線面垂直【例2】如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為棱CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.證明:如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.又因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.又因?yàn)锽A1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.(方法二)設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),本例中增加條件:E,F分別是BC,BB1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面ADE.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,所以EF⊥EA,EF⊥ED.又因?yàn)镋A∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.反思感悟

1.坐標(biāo)法證明線面垂直有兩種思路方法一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量;(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0.方法二:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;(3)求出平面的法向量;(4)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.2.使用坐標(biāo)法證明時(shí),如果平面的法向量很明顯,可以用方法二,否則常常選用方法一解決.【變式訓(xùn)練2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1B,DC的中點(diǎn),求證:AE⊥平面A1D1F.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1,取z=1,則y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一個(gè)法向量.探究三利用向量證明面面垂直【例3】

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC中點(diǎn).證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.因?yàn)锽C?平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.因?yàn)閚1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思感悟

1.利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得證面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.【變式訓(xùn)練3】

在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),求證:平面BEF⊥平面ABC.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD?平面BCD,∴AB⊥CD.又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.設(shè)n=(x,y,z)是平面BEF的法向量,【規(guī)范解答】

【典例】

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,C1B1的中點(diǎn),G為CC1上任一點(diǎn),tan∠ECD=4.(1)求證:AG⊥EF;(2)確定點(diǎn)G的位置,使AG⊥平面CEF,并說明理由.審題策略:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明;(2)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo),利用線面垂直這個(gè)條件求解.規(guī)范展示:因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四邊形ABCD是正方形,設(shè)其邊長為2a.∠ECD是EC與底面所成的角,而∠ECD=∠CEC1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a.以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo),則A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),答題模板:第1步:設(shè)出正方形的邊長,計(jì)算棱柱的高?第2步:建立空間直角坐標(biāo)系?第3步:求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)?第4步:求出直線的方向向量的坐標(biāo),利用方向向量垂直,證明線線垂直?第5步:根據(jù)點(diǎn)G在CC1上,設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)?第6步:利用AG⊥CE,對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積為0,列出等式,得到點(diǎn)G的坐標(biāo)?第7步:根據(jù)點(diǎn)G的坐標(biāo),下結(jié)論反思感悟

通過分析,得出規(guī)范解答本題的要點(diǎn)如下:(1)建系之前,根據(jù)已知條件整理好正四棱柱的長、寬、高的長度,長度設(shè)得巧妙;(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或點(diǎn)共線的關(guān)系求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)正確計(jì)算出向量的坐標(biāo)和記住數(shù)量積的坐標(biāo)公式;(4)正確將線線垂直、線面垂直轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量之間的關(guān)系;(5)正確把握探究性問題的解題思路.

【變式訓(xùn)練】

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥DC;(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB.(1)證明:由題意知,DA,DC,DP兩兩垂直.以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(2)解:G∈平面PAD,設(shè)G(x,0,z)滿足條件.隨堂練習(xí)1.若平面α,β的法向量分別為a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),則α與β的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.無法確定解析:∵a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b.∴α⊥β.答案:B2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于(

)A.AC

B.BD

C.A1D

D.A1A解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),答案:B3.直線l1與l2的方向向量分別為a1,a2,若a1⊥a2,則l1與l2的位置關(guān)系為

.

解析:兩直線的方向向量垂直,則這兩條直線也垂直.答案:垂直4.已知直線l與