2024屆浙江省余姚名校高三下學期第一次統(tǒng)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．2．在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．3．若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．7．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．8．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．9．已知是虛數(shù)單位，若，，則實數(shù)（）A．或 B．-1或1 C．1 D．10．的二項展開式中，的系數(shù)是（）A．70 B．-70 C．28 D．-2811．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．14．某市公租房源位于、、三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有人申請小區(qū)房源的概率是______.（用數(shù)字作答）15．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_______．16．點到直線的距離為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學期望.（2）當游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當時，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.18．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動．學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學生只能參加一個讀書小組）學生抽取12名學生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．19．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.20．（12分）已知橢圓的右頂點為，點在軸上，線段與橢圓的交點在第一象限，過點的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設過點且平行于直線的直線交軸于點.（Ⅰ）當為線段的中點時，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.點在曲線上，點滿足.（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求動點的軌跡的極坐標方程；（2）點，分別是曲線上第一象限，第二象限上兩點，且滿足，求的值.22．（10分）設數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【題目詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【題目點撥】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.2、B【解題分析】

計算出的值，推導出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【題目詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【題目點撥】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.3、D【解題分析】

推導出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數(shù)的值，并對的值進行檢驗，即可得出結(jié)果.【題目詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應用，解答的關(guān)鍵就是推導出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、A【解題分析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【題目詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【題目點撥】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.5、D【解題分析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【題目詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.6、A【解題分析】分析：設，則，把用表示，然后令，由導數(shù)求得的最小值．詳解：設，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點睛：本題易錯選B，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯．7、D【解題分析】

設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．8、D【解題分析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．9、B【解題分析】

由題意得，，然后求解即可【題目詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題10、A【解題分析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數(shù)是，故選A．考點：二項式定理的應用．11、A【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域為，所以，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.12、D【解題分析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因為雞蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【題目詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.14、【解題分析】

基本事件總數(shù)，恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù)，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源的概率．【題目詳解】解：某市公租房源位于、、三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數(shù)，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù)：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源的概率是．故答案為：．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．15、【解題分析】由分層抽樣的知識可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應填答案．16、2【解題分析】

直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出?！绢}目詳解】依據(jù)點到直線的距離公式，點到直線的距離為?！绢}目點撥】本題主要考查點到直線的距離公式的應用。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，數(shù)學期望為6；（2）①；②證明見解析【解題分析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對應的概率，進而可求出變量的分布列和數(shù)學期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當且時，，結(jié)合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結(jié)合，可推出，進而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【題目詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時，有，則時，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.18、（1）（2）見解析，【解題分析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】（1）由題設易得，問卷調(diào)查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調(diào)查的12名學生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調(diào)查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因為所以隨機變量的分布列為：012所求的期望為【題目點撥】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當時，的面積取得最大值，此時，，在中，再利用余弦定理即可解決.【題目詳解】（1）由正弦定理及已知得，結(jié)合，得，因為，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因為，所以，當且僅當時，的面積取得最大值，此時.在中，由余弦定理得.即.【題目點撥】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算能力，是一道容易題.20、（Ⅰ）直線的方程為（Ⅱ）【解題分析】

（1）設點，利用中點坐標公式表示點B，并代入橢圓方程解得，從而求出直線的方程；（2）設直線的方程為：，表示點，然后聯(lián)立方程，利用相切得出，然后求出切點，再設出設直線的方程，求出點，利用兩點坐標，求出直線的方程，從而求出，最后利用以上已求點的坐標表示面