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北京立新學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

是一個(gè)符合題目要求的

I.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底面為45“，腰和上底均為1的等腰梯形，那

么原平面圖形的面積是（）

1+W2+孤廠點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積的求法，解題的關(guān)鍵是求出球的半徑，同時(shí)考查直角二角形的性質(zhì)以及勾

股定理的逆定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題

A.2+J2B.-—C.--D.1+J2

1一1=1

參考答案：3.雙曲線102的焦距

A為（）

2.三棱錐S?ABC的頂點(diǎn)都在同?球面上，且SA=AC=SB=BC=0，SC=2,則該球的體積為（）

A.2點(diǎn)B.4aC.2后

D.4g

32衽4-

A.3B.3c.2nD.8n

參考答案：

參考答案：

D

B略

考點(diǎn)：球的體積和表面積.

4.如果AC〉0,BOO,那么直線Ax+By+C=0不通過（）

專題：計(jì)鳧題；空間位置關(guān)系與距離：球.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

分析：由勾股定理的逆定理可得SA_LAC,SB±BC,取SC的中點(diǎn)0,連接0A,0B,則由直角三角形的

參考答案：

斜邊上的中線即為斜邊的?半，即有球的半徑r為1,運(yùn)用球的體積公式計(jì)算即可得到.

解答：解：由于SA二AC=SB=BC=J2SC=2,A

略

則SAz+AOSC2,SBJ+BOSQ,

^_/=1

即有SAXAC,SB_LBC,5.過雙曲線169左焦點(diǎn)巳的弦AB長為6,則山婚瑪（院為右焦點(diǎn)）的周長是（

取SC的中點(diǎn)0,連接0A,0B,

A.28B.22C.14D.12

則由直角三角形的斜邊上的中線即為斜邊的一半，

參考答案:

可得0A=0B=0C=0S=l,

A

即有球的半徑r為1,

4_34幾略

-7Lr—-

則球的體積為3=3.6.已知函數(shù)/（x）=sinx+13則/⑴的值為（）

故選B.

A.1—coslB.1+coslC.cos1—1D.-1—cosl

參考答案：

B

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1_V3V2L3

則該四面體的體積最大值為V=3x4x283.

7.某人要制作一個(gè)三角形支架，要求它的三條高的長度分別為則此（）a2

A.不能作出這樣的三角形B.能作出一個(gè)銳角三角形故選C.

C.能作出一個(gè)直角三角形1）.能作出一個(gè)鈍角三角形

9.正方體AC1中.點(diǎn)P、Q分別為棱A1B1、DD1的中點(diǎn)，則PQ與AC1所成的角為（)

參考答案：

D

略

8.四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a,則該四面體的體積的最大值為（）

411A.30oB.45oC.6O0D.90o

參考答案：

A.8a3B."a?C."a3D.'2a3

參考答案：D

略

C10.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，&超C是邊長為1的正三角形，SC為球0的

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、極臺(tái)的體積.直徑，且第二2,則此楂錐的體積為（）

【分析】由已知中一個(gè)四面體有五條棱長都等于2,我們易得該四而體必然有兩個(gè)而為等邊三角形，立立巫立

我們根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱

A.6B.6c.3D.2

徒體積公式，即可得到答案.

參考答案：

【解答】解：若一個(gè)四面體有五條棱長都等于a,

A

則它必然有兩個(gè)面為等邊三角形，如下圖

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分洪28分

11.已知半徑為1的扇形面積為則此扇形的周長為.

參考答案：

17121r

由圖結(jié)合棱錐的體積公式，設(shè)扇形的弧長為I,則：2xlxl=5,故仁不

當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，底面枳是定值，高最大,

2n

故該四面體的體積最大，則此扇形的周長為1+2R=T+2.

XV12

此時(shí)棱錐的底面積S=2xa2xsin60o=40,

■、[d。為參數(shù)）

返

，+/=4相較于八、13兩點(diǎn)，則

棱錐的高卜=2°,口.過點(diǎn)尸a2）的直線。=2+曳，與圓

|AB|=

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參考答案：【解答】解：法(1)：由題意，S=l=lX2o,S=4=2X2),

I2

當(dāng)n=3時(shí)，S=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)二12=3X2,

2后3

當(dāng)n=4時(shí)，S=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3+2)+(3-2+1)+

13.三個(gè)互不重合的平面把空間分成H部分,則n所有可能值為.4

(4-3+2+1)=32=4X23,

參考答案：

???根據(jù)前4項(xiàng)猜測(cè)集合N={L2,3,…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S”?2~

或

4,6,78法(2)：同法(1)可得S=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12,

3

若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為,部分；

對(duì)于集合N=U,2,3,4,…，n},分析可得其共有2n個(gè)子集，

若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交,則可將空間分為際分；將其子集分為兩類：第一類包含元素n,第二類不包含元素n,其余的元素相同；

若三個(gè)平面交于一線，則可將空間分成6部分；這兩類子集可建立--對(duì)應(yīng)關(guān)系，如{1，n}和"},g}和空集，…

若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分成據(jù)分；共有2,…「對(duì)這樣的子集，

若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)(如墻角三個(gè)墻面的關(guān)系)，則可將空間分成甯【對(duì)于每一對(duì)這樣的子集，如A和B,

分尸故,的版有而隨為，，或.Tn大于B中任意元素，

?,?如果子集B的交替和為b,則子集A的交替和為n?b

14.函數(shù)丫='—KT《/V1)的值域是______________________________________________

這樣，A與B的交替和之和為n,

參考答案：

則5『?21

[--,2]故答案為：12,n?2n?

4

17.曲線尸二山工匕的點(diǎn)到直線2T一尸+3=°的最短距離是.

15.在aABC中，若溫=%加),則B等于

參考答案：參考答案：

n2開^5(4+1>2)

3r~T

5

16.已知集合^{1,2,3,4,…，n},A為非空集合,且A?N,定義A的“交替和”如下：將集合A1111

中的元素按由大到小排列，然后從最大的數(shù)開始，交替地減、加后續(xù)的數(shù)，直到最后?個(gè)數(shù)，并規(guī)定直線斜率是2,y'='=2,x=2,即y=ln,ln)處切線斜率是2

單元素集合的交替和為該元素.例如集合U，2,5,7,8)的交替和為8-7+5?2+1=5,集合{4}的交

所以切線是則和的距離就是最短距離

替和為4,當(dāng)n=2時(shí)，集合N={1,2}的非空子集為{1},{2},{1,2),記三個(gè)集合的交替和的總和為y-lnf)=2(x2),2x-y-l-ln2=0,2x-y+3=0

S=l+2+(2-1)=4,則n=3時(shí)，集合N={1,2,3}的所有非空子集的交替和的總和S=；集合呼|(4-ln2K'5

23----------

5

N={1,2,3,4,…，n}的所有非空子集的交替和的總和S：.在2x-y+3=0上任取一點(diǎn)(0,3),至U2x-y-l-ln2=0距離寸”「=。

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

12;_n?2nI.

214

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理：元素與集合關(guān)系的判斷.18.三角形跖C的頂點(diǎn)A(l,7),S(-4,2)t重心叼?

【分析】根據(jù)“交替和”的定義：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加

后繼的數(shù)可求出“交替和”的總和S，再根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合脂{1,2,3,…，n}的每一個(gè)非空子集(1)求三角形3c的面積；

3

的“交替和”的總和S即可.

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(2)求三角形48c外接圓的方程.由ICQ|=V(3-l)2+(l-2)2=5,

可得Q在圓C內(nèi)，則直線1與。C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

參考答案：

(2)由題意知，設(shè)點(diǎn)P(x,y)為弦AB的中點(diǎn),

解：(1)由重心坐標(biāo)公式可得點(diǎn)。色》，所以?=(-5,-5),(4,-2),那么三角形3c由(D可知CP_LPQ,

S=」Ox(-2)-(-5)x4|=15點(diǎn)P的軌跡方程是以CQ為直徑的圓，

的面積為23.

線段CQ的中點(diǎn)為(2,2),CQ二匹

⑵設(shè)三角形而C外接圓為"+八&+切+5=0,代入三點(diǎn)的坐標(biāo)得(x-2)2+(y-1-)2二/

則線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為24：

'l+49+D+7￡+7?=0'D=-2由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)Q(3,1)是弦AB的中點(diǎn)時(shí)，|AB|最

16+4—4Z)+2￡,+/*'=0小.疏網(wǎng)="oc的半徑為5.

25425+5D+5￡+F=0…田=-2°,所以三角形4s0的外接圓方程為

解得可得|AB|=245?-(而產(chǎn)=4而.

ABC-A^.ABCIAABB.

x2+/-2x-4y-20=020.(本題滿分12分)如圖，在直三棱柱?11中，平面"‘側(cè)面飛】且

=AB=2

19.已知(DC：X2+y：；-2x-4y-20=0,直線1：(2m+l)x+<m+l)y-7m-4=0.

/[、ef-I-BC

(I)求證：；

①求證：直線1與。C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

7T

②若直線1與。C的兩個(gè)不同交點(diǎn)分別為A,B.求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程，并求弦AB的最小AC45C7A-AC-B

(II)若直線與平面所成的角為",求銳二面角的大小.

值.

參考答案：

【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用.

【分析】(1)求出圓C的圓心和半徑，整理直線方程為m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,求出直線

2x+y-7=0,x+y-4=0的交點(diǎn)，判斷它在圓內(nèi)，即可得證:

(2)由題意知，設(shè)點(diǎn)P(x,y)為弦AB的中點(diǎn)，連接CP,則CP_LPQ,由平而幾何知識(shí)可得點(diǎn)P的軌

跡方程是以CQ為直徑的圓，求得圓心和半徑，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由當(dāng)Q(3,1)是弦AB的中參考答案：

點(diǎn)時(shí)，|AB|最小，運(yùn)用勾股定理即可得到所求值.Afi口AA^=ABAD_LA^B

(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因，則.....1分由

【解答】解：(D證明：OC：x2+yz-2x-4y-20=0,

4乂助I43cpi用二力也AD_L平面43c

即(x-1)2+(y-2)2=25,圓心C(1,2),半徑r=5,平面?zhèn)让妫移矫鎮(zhèn)让?，得?/p>

又直線1：(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0,SCu型CAD1BCABC-A^

又平面，所以?.....3分.因?yàn)槿庵侵比庵?，則

化為m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,441底畫州CAA1BCAAr\AD=A3cLAABBiABa

[2x+y-7=01x=31X[

，所以.…5分.又，從而側(cè)面，又側(cè)

[x+y-4=0Iy=l

由‘解得'，4乂%ABLBC

面，故...............6分

則直線1恒過定點(diǎn)Q(3,1),

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又PO_L底面。0,AC底面。0

所以AC_LPO,而OD,P0是平面內(nèi)的兩條相交直線

所以ACJ_平面POD；

a

（2）（方法一）由（1）知，AC_L平面POD,又AC平面PAC

di）解法一：連接⑵，由⑴可知公，平面4叱則8是正在平面4s，內(nèi)的射影...

所以平面PODJ_平面PAC

7T

乙4co即為直線4c與平面4"，所成的角，貝IJ乙4C"8在平面POD中，過0作OH_LPD于H,則OH_L平面PAC

7分連接CH,則CH是0C在平面上的射影，

在等腰直角⑷5中，公"=2,且點(diǎn)Q是儂中點(diǎn),

所以N0CH是直線0C和平面PAC所成的角

在RtAPOD中，

AD=-AlB=-y/2ZADC=-^ACD=-

:.2，且2,6.AC=2圾8分0

過點(diǎn)4乍公，小于點(diǎn)￡,連荻，由（.）知功,平面4股，則且這"必=*